2022年數(shù)學分析教案(華東師大版)第六章微分中值定理及其應用

1、學習必備歡迎下載第六章 微分中值定理及其應用教學目的：1. 把握微分學中值定理， 領悟其實質(zhì)，為微分學的應用打好堅實的理論基礎；2. 嫻熟把握洛比塔法就，會正確應用它求某些不定式的極限；3. 把握泰勒公式，并能應用它解決一些有關的問題；4. 使同學把握運用導數(shù)爭論函數(shù)在區(qū)間上整體性態(tài)的理論依據(jù)和方法，能依據(jù)函數(shù)的整體性態(tài)較為精確地描畫函數(shù)的圖象；5. 會求函數(shù)的最大值、最小值，明白牛頓切線法；教學重點、難點 ：本章的重點是中值定理和泰勒公式， 利用導數(shù)爭論函數(shù)單調(diào)性、 極值與凸性；難點是用幫助函數(shù)解決問題的方法；教學時數(shù) ： 14 學時§ 1中值定理 （ 4 學時）教學目的： 把握微

2、分學中值定理， 領悟其實質(zhì)， 為微分學的應用打下堅實的理論基礎；教學要求： 深刻懂得中值定理及其分析意義與幾何意義，把握三個定理的證明方法，知道三者之間的包含關系；教學重點： 中值定理；教學難點： 定理的證明；教學難點： 系統(tǒng)講解法；一、引入新課：通過復習數(shù)學中的 “導數(shù)” 與物理上的 “速度” 、幾何上的“切線”之聯(lián)系， 引導同學從直覺上感到導數(shù)是一個特別重要而有用的數(shù)學概念；在同學把握了 “如何求函數(shù)的導數(shù)” 的前提下， 自然提出另外一個基本問題： 導數(shù)有什么用？ 俗語說得好：工欲善其事，必先利其器；因此，我們第一要磨銳利導數(shù)的刀刃；我們要問：如函數(shù)可導，就它應當有什么特性？由此引入新課第

3、六章微分中值定理及其應用 § 1 拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性（板書課題）二、講授新課：（一）極值概念：1. 極值： 圖解，定義 區(qū)分一般極值和嚴格極值 . 2. 可微極值點的必要條件 : th fermat證 函數(shù)的穩(wěn)固點 ,穩(wěn)固點的求法 .（二） 微分中值定理 :1. rolle中值定理 :表達為 th1.證 定理條件的充分但不必要性 .2. lagrange 中值定理 :表達為 th2. 證 圖解 .用分析方法引進幫助函數(shù) ,證明定理 . 用幾何直觀引進幫助函數(shù)的方法參閱1p157.lagrange 中值定理的各種形式 .關于中值點的位置 .推論 1 函數(shù)在區(qū)間 i 上可導且為

4、i 上的常值函數(shù) . 證推論 2 函數(shù)和在區(qū)間 i 上可導且推論 3設函數(shù)在點的某右鄰域上連續(xù), 在內(nèi)可導.如存在, 就右導數(shù)也存在, 且有 證但是,不存在時 ,卻未必有不存在.例如對函數(shù)雖然不存在, 但卻在點可導 可用定義求得.th 導數(shù)極限定理 設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù), 在內(nèi)可導.如極限存在,就也存在,且證 由該定理可見 , 如函數(shù)在區(qū)間 i 上可導, 就區(qū)間 i 上的每一點 , 要么是導函數(shù)的連續(xù)點 , 要么是的其次類間斷點 . 這就是說 , 當函數(shù)在區(qū)間 i 上點點可導時 , 導函數(shù)在區(qū)間 i 上不行能有其次類間斷點 .推論 4 導函數(shù)的介值性 如函數(shù)在閉區(qū)間上可導,且證 thdar

5、boux 設函數(shù)在區(qū)間上可導且.如為介于與之間的任一實數(shù) ,就設對幫助函數(shù),應用系 4 的結(jié)果.證 3. cauchy 中值定理 :th 3設函數(shù)和在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導,和在內(nèi)不同時為零 ,又就在內(nèi)至少存在一點使.證分析引出幫助函數(shù).驗證在上滿意 rolle 定理的條件 ,必有,由于否就就有. 這與條件“和在內(nèi)不同時為零”沖突 .cauchy 中值定理的幾何意義 .（三） 中值定理的簡潔應用 :1. 證明中值點的存在性例 1設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),在內(nèi)可導,就,使得.證 在 cauchy 中值定理中取.例 2設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 在內(nèi)可導, 且有.試證明:.例 5設對,有,其中是正常數(shù).

6、就函數(shù)是常值函數(shù) .證明.2.證明恒等式 :原理.例 3證明:對,有.例 4設函數(shù)和可導且又就.證明.3.證明不等式 :例 6證明不等式 :時,.例 7證明不等式 :對，有.4.證明方程根的存在性 :證明方程在內(nèi)有實根 .例 8證明方程在內(nèi)有實根 .§ 2柯西中值定理和不定式的極限（ 2 學時）教學目的：1. 把握爭論函數(shù)單調(diào)性方法；2. 把握 lhospital 法就，或正確運用后求某些不定式的極限；教學要求：1. 嫻熟把握 lhospital 法就，并能正確運用后快速正確地求某些不定式的極限；2. 深刻懂得函數(shù)在一區(qū)間上單調(diào)以及嚴格單調(diào)的意義和條件；嫻熟把握運用導數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性

7、與單調(diào)區(qū)間的方法；能利用函數(shù)的單調(diào)性證明某些不等式；教學重點： 利用函數(shù)的單調(diào)性， lhospital 法就教學難點： lhospital 法就的使用技巧；用幫助函數(shù)解決問題的方法；教學方法： 問題教學法，結(jié)合練習；一.型:th 1hospital法就 證 應用技巧 .例 1例 2.例 3. 作代換或利用等價無窮小代換直接運算. 例 4.hospital法就失效的例 二.型:th 2hospital法就 證略 例 5.例 6.註:關于當時的階.例 7.hospital法就失效的例 三.其他待定型 :. 前四個是冪指型的 .例 8例 9.例 10.例 11.例 12.例 13.例 14設且求解.

8、§ 3taylor 公式（ 2 學時）教學目的： 把握 taylor 公式，并能應用它解決一些有關的問題；教學要求：1. 深刻懂得 taylor 定理，把握 taylor 公式，熟識兩種不同余項的 taylor 公式及其之間的差異；2. 把握并熟記一些常用初等函數(shù)和taylor 綻開公式，并能加以應用；3. 會用帶 taylor 型余項的 taylor 公式進行近似運算并估量誤差；會用代peanlo余項的 taylor 公式求某些函數(shù)的極限；教學重點： taylor 公式教學難點： taylor 定理的證明及應用；教學方法： 系統(tǒng)講授法；一.問題和任務 :用多項式靠近函數(shù)的可能性 ;

9、 對已知的函數(shù) , 期望找一個多項式靠近到要求的精度.二.taylor 1685 1731 多項式 :分析前述任務，引出用來靠近的多項式應具有的形式定義taylor多項式及 maclaurin多項式例 1求函數(shù)在點的 taylor多項式. 1p174.留作閱讀 三.taylor公式和誤差估量 :稱為余項. 稱給出的定量或定性描述的式為函數(shù)的 taylor公式.1. 誤差的定量刻畫 整體性質(zhì) taylor中值定理 :th 1設函數(shù)滿意條件 :>在閉區(qū)間上有直到 階連續(xù)導數(shù) ;使>在開區(qū)間內(nèi)有階導數(shù). 就對.證 1p175176.稱這種形式的余項為 lagrange 型余項.并稱帶有這

10、種形式余項的taylor公式為具 lagrange 型余項的 taylor 公式. lagrange 型余項仍可寫為.時,稱上述 taylor公式為 maclaurin公式,此時余項常寫為.2. 誤差的定性描述 局部性質(zhì) peano型余項:th 2如函數(shù)在點 的某鄰域內(nèi)具有階導數(shù), 且存在,就,.證 設,.應用hospital法就次, 并留意到存在,就有=.稱為 taylor公式的 peano型余項,相應的 maclaurin 公式的 peano型余項為.并稱帶有這種形式余項的 taylor 公式為具 peano型余項的 taylor公式或 maclaurin公式 .四.函數(shù)的 taylor公

11、式或 maclaurin公式 綻開:1. 直接綻開 :例 2求的 maclaurin公式.解.例 3求的 maclaurin公式.解,.例 4求函數(shù)的具 peano型余項的 maclaurin公式 .解.例 5把函數(shù)綻開成含項的具 peano型余項的 maclaurin公式 . 1p179 e5,留為閱讀 . 2. 間接綻開 : 利用已知的綻開式 , 施行代數(shù)運算或變量代換 , 求新的綻開式 .例 6把函數(shù)綻開成含項的具 peano型余項的 maclaurin公式 .解,.例 7把函數(shù)綻開成含項的具 peano型余項的 maclaurin公式 .解,留意,.例 8先把函數(shù)綻開成具 peano型

12、余項的 maclaurin公式 . 利用得到的綻開式 ,把函數(shù)在點綻開成具 peano型余項的 taylor公式.解.=+例 9把函數(shù)綻開成具 peano型余項的 maclaurin公式 ，并與的相應綻開式進行比較 .解;.而.五. taylor公式應用舉例 :1. 證明是無理數(shù) :例 10證明是無理數(shù) .證把綻開成具 lagrange 型余項的 maclaurin公式,有.反設是有理數(shù) ,即和為整數(shù) ,就有整數(shù) +.對也是整數(shù) .于是,整數(shù) =整數(shù)整數(shù) =整數(shù). 但由因而當時，不行能是整數(shù) .沖突.2. 運算函數(shù)的近似值 :例 11求精確到的近似值 .解.留意到有.為使,只要取.現(xiàn)取,即得數(shù)

13、的精確到的近似值為.3. 利用 taylor 公式求極限 :原理:例 12求極限.解,;4. 證明不等式：原理.例 13證明:時,有不等式.3p130 e33.§4 函數(shù)的極值與最大（?。┲担? 學時）教學目的： 會求函數(shù)的極值和最值；教學要求：1. 會求函數(shù)的極值與最值；2. 弄清函數(shù)極值的概念，取得極值必要條件以及第一、其次充分條件；掌 握求函數(shù)極值的一般方法和步驟； 能敏捷運用第一、 其次充分條件判定函數(shù)的極值與最值；會利用函數(shù)的極值確定函數(shù)的最值，對于取得極值的第三充分條件， 也應用基本的明白；教學重點： 利用導數(shù)求極值的方法教學難點： 極值的判定教學方法： 講授法演示例題一

14、可微函數(shù)單調(diào)性判別法：1單調(diào)性判法：th 1設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導.就在內(nèi) 或內(nèi)或.證證.th 2設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導.就在內(nèi) 或?qū)τ谢?在內(nèi)任子區(qū)間上2.單調(diào)區(qū)間的分別 :的升、降區(qū)間分別對應的非負、非正值區(qū)間 .例 1分別函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 .在>>更一般的例可參閱 4p147 148 e13，14.二. 可微極值點判別法 : 極值問題 : 極值點, 極大值仍是微小值 , 極值是多少 .1. 可微極值點的必要條件 : fermat定理表述為 th3 .函數(shù)的駐點和 連續(xù)但 不行導點統(tǒng)稱為可疑點 ,可疑點的求法 .2. 極值點的充分條件 : 對每個可疑點 , 用以下充分條件進一步鑒別是否為

15、極值點.th 4 充分條件 設函數(shù)在點連續(xù),在鄰域和內(nèi)可導.就>在內(nèi)在內(nèi)時,為的一個微小值點 ;>在內(nèi)在內(nèi)時, 為的一個極大值點 ;>如在上述兩個區(qū)間內(nèi)同號 ,就不是極值點 .th 5 充分條件“雨水法就” 設點為函數(shù)的駐點且存在. 就>當時,為的一個極大值點 ;>當時,為的一個微小值點 .證法一當時,在點的某空心鄰域內(nèi)與異號, 證法二用 taylor 公式綻開到二階 ,帶 peano型余項.th 6 充分條件 設, 而. 就>為奇數(shù)時 ,不是極值點 ;>為偶數(shù)時 ,是極值點 . 且對應微小 ;對應極大.例 2求函數(shù)的極值.1p190 e3例 3求函數(shù)

16、的極值.1p190 e43. 函數(shù)的最值 :設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)且僅有有限個可疑點.就=;.函數(shù)最值的幾個特例 :>單調(diào)函數(shù)的最值 :>假如函數(shù)在區(qū)間上可導且僅有一個駐點 ,就當為極大值點時 ,亦為最大值點 ;當為微小值點時 ,亦為最小值點 .>如函數(shù)在內(nèi)可導且僅有一個極大 或小 值點,就該點亦為最大 或小 值點.>對具有實際意義的函數(shù), 常用實際判定原就確定最大 或小 值點.三.最值應用問題 :例 4、兩村距輸電線（直線） 分別為和（如圖），長.現(xiàn)兩村合用一臺變壓器供電 .問變壓器設在何處 , 輸電線總長最小.解 設如圖，并設輸電線總長為. 就有,解得和捨去 .答：

17、四.利用導數(shù)證明不等式 :我們曾在前面簡介過用中值定理或taylor 公式證明不等式的一些方法 .其實,利用導數(shù)證明不等式的方法至少可以提出七種參閱3p112 142 .本段僅介紹利用單調(diào)性或極值證明不等式的簡潔原理.1. 利用單調(diào)性證明不等式 :原理:如,就對,有不等式.例 5證明:對任意實數(shù)和,成立不等式證 取在內(nèi) .于是,由,就有,即.2. 不等式原理 :4p169 171.不等式原理 :設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 在區(qū)間內(nèi)可導, 且;又就時,不等式原理的其他形式.例 6證明:時,.例 7證明:時,.2. 利用極值證明不等式 :例 8證明:時,.§ 5函數(shù)的凸性與拐點（ 2 學時）教

18、學目的： 把握爭論函數(shù)的凹凸性和方法；教學要求： 弄清函數(shù)凸性的概念， 把握函數(shù)凸性的幾個等價論斷， 會求曲線的拐點，能應用函數(shù)的凸性證明某些有關的命題；教學重點： 利用導數(shù)爭論函數(shù)的凸性教學難點： 利用凸性證明相關命題教學方法： 系統(tǒng)講授法演示例題一凸性的定義及判定：1. 凸性的定義： 由直觀引入 .強調(diào)曲線彎曲方向與上升方向的區(qū)分 .定義 設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù).如對,恒有,或.就稱曲線在區(qū)間上是凹 或凸 的.如在上式中 ,當時, 有嚴格不等號成立 ,就稱曲線在區(qū)間上是嚴格凹 或嚴格凸 的. 凹和凸也分別稱為上凸和下凸 .凸性的幾何意義 :倘有切線 ,與切線的位置關系 ;與弦的位置關系 ;曲線

19、的彎曲方向 .2. 利用二階導數(shù)判定曲線的凸向 :th設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導數(shù) ,就在內(nèi)在內(nèi)嚴格上凸 ;在內(nèi)嚴格下凸 .該判別法也俗稱為 “雨水法就” .證法一 用 taylor公式 對設,把在點綻開成具 lagrange 型余項的 taylor公式,有.其中和在與之間.留意到,就有,于是如有上式中, 即嚴格上凸 .如有上式中, 即嚴格下凸 .證法二 利用 lagrange 中值定理 . 如就有 ,不妨設, 并設, 分別在區(qū)間和上應用lagrange 中值定理 ,有,.有又由，<,， 即，嚴格下凸 .可類證的情形.3. 凸區(qū)間的分別 :的正、負值區(qū)間分別對應函數(shù)的下凸和上凸區(qū)間.二.曲線的拐點 :拐點的定義