綱目版高二數(shù)學下§63不等式證實(1)(修改稿23-32頁)

1、* 6. 3不等式的證明(1)*麗啟衢核心知幟歸納：不等式的證明方法較多，木節(jié)主要介紹四種基木方法：比較法、綜合法、分析法、反 證法，但不管哪種方法都要用到以卜一-些結(jié)論。 /$() (qgr) («-/?)2() (a、變形形式 a2+b22ab(° + ")2 三肋 /+/異2 丄(d+b)，2 2 若°、圧對，陌，特別- + ->22a b«24-z?2+c2ab+hc+ac (d、b、cwr)1. 比較法：原理：等價性方法：比差一分解因比或配方一判定符號比商一整理成某一已知正數(shù)一判定與1的關系2. 綜合法：原理：由因?qū)Ч椒ǎ悍治?/p>

2、已知與求證之間的關系，不等式左右兩端的茅異與聯(lián)系，合理利用一些已 知結(jié)論進行變換。3. 分析法：原理：執(zhí)果索因方法：尋找每一個要證不等式成立的充分條件。格式：要證命題b真，只需證b真，要證命題b真，只需證明a真，由已知a真, 故有b真。4. 反證法：原理：原命題與逆否命題等價方法：從否定結(jié)論出發(fā)，推出與已知或與公理、定理相才盾的結(jié)論，從而斷定原不等 式成立。翁爲雹難點疑點炎破：1. 方法選擇: 不等式兩邊為多項式且作差后能迅速分解因式或配方的宜用比差法。不等式兩邊為單項式，宜用比商法。 不等式一邊為多項高次，另一邊為低次或單項，宜用綜合法。 不等式兩邊為分數(shù)指數(shù)或分式形式的多項式，宜用分析法。

3、 順序較困難的至多、至少或存在性不等式宜用反證法。2. 幾種的區(qū)別與聯(lián)系： 綜合法與分析法的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：兩種證題方法書寫格式不一樣，但分析法過程倒過來寫就是綜合法。聯(lián)系：用綜合法證題時，就包含了分析的過程。 分析法與反證法相同與不同:相同點：都是從耍證不等式出發(fā)，尋找一種已知結(jié)論。不同點：分析法從正而尋找正確結(jié)論。反證法從反面尋找才盾結(jié)論。1. 比較法證明不等式，比差還是比商當欲證的不等式兩端是多項式或分式時，常川比差法。當欲證的不等式兩端是乘積形式或幕指數(shù)式時，常用比商法。 例1:設方為不等的兩個正實數(shù)，求證：2(0.'+)>(a3+ha2+b2)證明:*.* 2(a5+

4、b5)(ai+b3)(a2+b2)=a5+b5a2b3b2cii=(aib3)(az-b2)且已知ahb, a、b均為正數(shù)，/-滬與/_尸符號相同，即(/-麗)(/動2)>0故 2(/+滬)>(/+滬)(/+方2)這里如果用比商法，則不妥，因為作商后的代數(shù)式不好再進行變形來判定與1的關系。2. 分析法與綜合法的區(qū)別例 2：已知 °、b、cwr*,且 a+b+c=,求證:a2b2+c2 3證法1：分析法'/ 6f2+z?2+c22 丄 o 3(a2+b2c2) 21 <=> 3(tz2+/?2+c2) 2(a+b+c)2 o «2+/?2+c2

5、m2(ab+bc+ca)(q-b)，+(b - 0)'+(0 - a)? 20原不等式成立執(zhí)果索因，若過程可逆推，則將分析法過程逆過來寫，就是綜合法。證法2：綜合法 t=(a+b+c)2= a2b2+c2+2(ab-bc+ca) 又'：2ab wfl2+/?2, 2bcwb'+c?, 2ca wc2+«22(ab+bc+ca) 02(/+/,+/)/. tz2+/?2+c2+2(«/?4-/?c+cf/) 3(t72+/?2+<?2).*.tz2+z?2+c2 & (a+b+c)2= 33山因?qū)Ч?，分析法從正而尋找結(jié)論；組織充要條件，從

6、反而尋找使假設不成立的才盾。3. 分析法與反證法的區(qū)別證法 3：假設 a2+z?2+c2< ,貝d 3(6z2+/?2+c2)< 1 =(t7+/?+c)23o 2(«2+/;2+c2) < 2(ab+bc+ca)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2<0 這是不可能的.6t2+/?2+c2 3把反證結(jié)論作為條件，進行分析推證，得出矛盾，它是綜合法與分析法的有機結(jié)合。忿爾解題規(guī)律與技巧：1. 比較法證明不等式 例 1：d、z?gr,求證：6z2+/j2+1 >ab+a已知加、求證：匕匕 三吧bn”n"2解題規(guī)律：對作差后不能直接分解因式或配方

7、的不等 式，經(jīng)常需要湊配恰當?shù)淖帜赶禂?shù)或重新纟fl合 后，再配方或分解因式，從而達到能判定符號的 目的。 解析：不等式兩邊均為多項式，直接用均值不等式不能解決問題，但作羌后能分解 因式或配方。證明:*/ /+滬+ l-ab+a=丄 (a22abb2)+a22a+1 +/?24-1 2=-(fl-z?)2+(«-i)w+1 > o2.*.a2-b2+l>ab+a 解析：不等式左邊為和，右邊為積，但這個積不是j贏，那么甌與”譏w是否有一定的大小關系呢？按原命題應有斥1三呵m喬。rcnmn證明：w= mrnnnm丄m2 /i2nm血 nt-n .卅 mn_ m 2(m+n) 2

8、(加+)_ (巴)2(m+n)n解題規(guī)律：找一個中間數(shù)作為媒介，再利用傳遞性來 證明不等式，實際上就是一個放縮的過程。這種 技巧證題的關鍵是要認真分析出不等式兩邊會 接近一個什么樣的中間數(shù)，一般地從蝕常用的不 等式去想問題。因為在不等式的證明中，均值不 等式是時刻要想到的。解題規(guī)律：在判定字母與具 體數(shù)字的大小時，時常需 要進行討論，使模糊問題 明晰化。m即w>1則：當mn時,> 1,加一斤>0,n 當mn時，w=1 當 m<n 時，0<<1,即 w>1nm + n /故對任意的加"r+,均有> mrnnnm22. 分析法證明不等式ci

9、 hc例厶®a.機c是三角形的三邊，求證：丄一+>a + m b + /n c + m已知 a>b>c,求證： + a-h h-c a-c分析：山于從已知出發(fā)，難以得到解題的思路，推證的方向，故改從結(jié)論入手，采用分析 法去尋找結(jié)論成立的條件。證明：要證>一a+m h+m c+m口需證 d + ?) + b(a +加)> c(d + m)(b + m) c + in即證2ah + m(a +/?)ah + in(a + h) + m2lb、十 ab + m(a+b) + mcm只需訕<2ab + m(a + b)c只盂證nt -ab2ab + m(a

10、 + b)只需證 cmabc<2mab+m(a+b) 即證 nc(a+b) <ab(2m+c) 在三角形中,有c<a+b, 乂加>0,-成立,解題規(guī)律：,、本題的問題及的證法1,-其分析法的成立論證過程的每一步皆是前一步的充要條件，但分析法在理論上只要求提供前一步成立的充 分條件即nj |fij問題的方法2中的(a-b)1 > (b-c就僅是前一步a-byx+(b-cyx>(a-cyx 充 分而非必要條件。一般地，分式不等式較-般 不等式復雜，故一般用分析法證明。木題屮的問題，若注意到三正數(shù)的關系: (a-b)+(b-c)=a-cf則可釆用三角代換來證,即

11、令 6/-/?=(«-c)cos2 a , b-c(6/-c)sin2 a ()< a < 7c i - _. xi 111一)，從 iflj 有左邊二(+)2a-c cosa sina14、 4 亠“=()2> 右邊。a-c sin 2a a-c故上式左端小于0,右端大于()，說明這個不等式是成立的，故耍證的不等式成立。方法1:要證+丄,即證一匚一>-a-b b-c a-c(a -/?)(/?-c) a-c由已知 a-/?、b-c、a-c 均為正數(shù)，故只需llf:.(a-c)2>(a-b)(b-c) 即證(ab)+(bc)2>(ab)(bc),只

12、需證(«-/?)2+(z?-c)2>-(ab)(bc) 上式左端為正，右端為負，故成立，所以原不等式成立。方法2：證 一+由已知 >0,故只需證 一>,再由a-b b-c a-cb-ca-b a-cah>0, 6/-c>0,則只需證 a-h<iac, 得證。只需證c-/?<0, ill己知c-/?<0成立，故原不等式思維互動生：從這個不等式的證明過程可以 看出逆推也是一種證法,是否還存在其 它從右到左的證法呢？師：將右邊通分就可得丄+丄+丄 a b c蠱押恩維扌石畏發(fā)散：例1：已知正數(shù)°、b、c互不相等，且abc=l,求證：4

13、a +v& +4c < + + 丄a b c證明:ta、慶c互不相等的正數(shù),且abc=,111111h h fv b c | a c | a b2 t 21 1 1=ff a b c方法規(guī)律：i般地，不等式兩邊復雜程度差別不大 時，既可從左證到右，也可從右證到左，但有時難 易程度不同，故在分析問題時，若從左找不到好方法，則可以從容不迫右邊來找突破口。3. 綜合法證明不等式i|25例 2：若 a>0, b>0, hq+/?=1,求證：(a+ ) +(/?+ ab22 2 分析：*/ x2+y2 三 2xy2x2+2y2 2 (x+y)2 即 2 ( “ 十)22 21

14、9 1 9 1 1 1 ?證明： (a+ )-+(/?+ 一)2$ ( a+ +b+ fa b 2 a b又 a>0, b>0,及 a+b=lfk «+ +/?+ 2 4ab 2 j =4,a bjab故>4方法規(guī)律：運用基本不等式的變式，將平方和變?yōu)楹偷钠椒?，向已知條件靠攏，這 是思考問題的一種方法，然后加上已知條件推證出欲證不等式，這正體現(xiàn)了 綜合法的特點。例3：如果三角形的三邊a、b、c成等差數(shù)列，求證：b邊所對的角不人于60°。證明：由4 b、c成等差數(shù)列，2b=d+ccosb=門2 |w r丿ci + c 2qc2 (a + c)3/+3c1、3

15、$ sac 48込一丄二丄而be(o,兀)，bw蘭ac 4 23方法規(guī)律：在三角形內(nèi)考慮與一個角有關的問題，一般地用余弦定理，再利用余地弦函數(shù) 單調(diào)性，由值的大小關系得出角的大小關系。4. 反證法證明不等式例 4：實數(shù) a、b、c、d 滿足 a+b=c+d= 1, jzl ac+bd> 1,求證：a、b、c、d 中至少有 一個是負數(shù)。分析：木題屬于至多、至少問題，應從反面分析較簡單。證法 1：假設 d、b、c、d 都是非負數(shù)，由 a+b=c+d= 1 矢口： a、b、c、dwo, 1證法 2：假設 a、b、c、d 都是非負數(shù),貝0 l=(a+b)(c+d)=(ac+hd)+(ah+cd)

16、ac+bd這與己知ac+bd> 1才盾。證法3：三角代換假設a、b、c、d都是非負數(shù)，ftl a+b=c+d=lcccr可設 a二cos a , b=sirt a , c=cos p , d=sirt b ,貝lj ac+bd=co a cos+ rr)q a 證明：欲證不等式成立，只須證4sin a cos a < 因 0 v a v jt 時，sin a >0,故只須證 4sin2 a cos a wl+cos a 4( 1 - cos2 a ) cos a w 1+cos a(1+cos a )4(1 - cos a ) cos a t wo 3 + sin2 a si

17、n2 p wcos? a + sin2 a =1方法規(guī)律：至多、至少、存在問題從正面論證較為困難，宜用反證法。(7sincr例5：已知ov a v ji ,證明2sin2 a wcot,并討論a為何值時等號成立。思維互動：生：在用分析法證題吋，什么吋候能用“”符號, 什么時候不能用？師：只有相鄰兩式間互為充要條件時才能使用, 否則不能用“”符號，而只能用要證、可證格式。1 ,一4（l+cos（】）（cos a 一一 ）w0由 1 +cosa >0, （ cos a ）2>02知，最后一步成立，并且步步可逆，得證原不等式成立。乂由最后一步知，當（cosa-）2>0時，u=60&

18、#176; ,不等式取等號。2方法規(guī)律：在證明三角不等式吋，需認真觀察不等式的兩邊，分析怎樣統(tǒng)一角和函數(shù)名稱。 第一步是統(tǒng)一角，用了倍角公式與半角公式；第二步是統(tǒng)一函數(shù)名稱，用了平方和公式； 第三步配方是通常的代數(shù)運算。潛能挑戰(zhàn)測試:本例用作差法可寫成：左-右+ ce）（2cosq _1）_ wo sin a基礎知識1. 已知a、b為正數(shù)，下列不等式不正確的是()ba jb2a2ba11、2ababcrtrci bcrb" ah2. 若0</<1,且()<y<l,兀hy,則異+)/, x+yf 2ry, 2-jxy 中最大的一個是()a. 2xyb. x+yc

19、. 2d. x2+y23. 已知b>d>0, a+b=l,下列四個中最大的是()a. -1b. log2 b c. log2 /? + log2 a +1 d. log2(f/2 +b2)4. a、 p er,貝“a >2, p >2” 是 “a+b>4_ua p >4” 的()a.充分非必要條件b.必要非充分條件c.充要條件d.既卄充分也非必要條件5. 設 0vx<l,則 a-4x , b=+x, c=-中最人的一個是（）l-xa. ab. bc. cd.不能確定6. 己知 d、b、c、dwr*,貝0(h)(i)2oc a b d7. 若x>y

20、>0,則的大小關系是。8. 若a2+b2=, c2w2=l,則abed的取值范圍是；思維拓展13. 已知a+/?>(), 求證： 工 + 斗三 丄+丄a2 b2 a bc ci h a14. 已知 a、b> cr+,求證lglgnlgjlgja h a b15. 已知正數(shù)滿 a、b、c 滿足 a+b+c=l,求證:(1 -«)(1 -/?)(1 c)sahc16. (1)已知 a、bg(0, 1),求證：一+ncl-a2-b2 -ab1 | 2(2)已矢ux、xy=l 求證： +w 2+x 2+y317. 已知 ”、qgr,且p3+3=2,求證 p+qw2應用創(chuàng)新9

21、. 某種飲料分兩次提價，捉價方案有三種，方案甲：第一次提價777%,第二次提價斤；m + fi方案乙 捉一次捉價侃，第二次捉價?；方案丙：每次提價 ，如果，那么提價 2最多的方案是010. 一批救災物資隨17列火車以v公里/小時的速度勻速直達400公里外的災區(qū)，為安全v r起見，兩輛火車的間距不得小于()2公里，問這批物資全部到達災區(qū)最少要多少小時？11. 某廠牛產(chǎn)一批無蓋的圓柱桶，每個桶的容積為-uni3,用來做底血的金屬3元/na2做側(cè)而的金屬2元/n?,問如何設計，才能使成本最低？(捉示：v圓柱二底而積x髙)12. 甲、乙兩地相距s千米,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不超過c千米/小時,

22、已知 汽車每小時的運輸成木(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，町變部分與速度v (t 米/小時)的平方成正比，比例常數(shù)為4固定部分為。元。(1)把全程運輸成本y元表示為速度卩(千米/小時)的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域。(2)為了使全程成本最小，汽車應以多大的速度行駛？標準答案與提示1. c點拔：可用特值法檢驗；分析法證明2. b點拔：x+y2yxy n2xy, 乂x+yx2+y2')3. b點拔：*b>a>of 且 a+b=, 1 >b> >d>0, a2+b2>2ab29 ? 1 1a log2(/ +/r) a + log? /? + l

23、og2 a ,又： b> , a log2 b > log2 1由計算知:b>b2f /. log2z?>log2(a2 +b2)4. a點拔：令a =3, p=v2否定必要性即 c>b)6.4點拔:兩個括號內(nèi)分別使川均值不等式7.b+lv x2 +1y2 +1點拔：3二輕辺=空空>1xy2(x2 +1) x2j2 + y2x2冷4】點拔:9.b a (/ +b')-(a + b)ab (a +h)(a2 +h2 - lab)+ a2 b1 a b9 j 2 crlr(a + b)(a bya等號不成立。15解：最后一列車等待出發(fā)的時間為:16-(2

24、0)2_j6v400乂最后一列車行駛?cè)逃脮r:400v16v400 t=1400 v>2 t v400 c c i hi ci10. 要證lg lg- & lg j lg ，只要證 4(lgctga)(lgctgb)2(lgbtga)(lgatg/" a b v a v b只要證 41gl-2ab + a2b2 l-ab“、i 14 + x+y1 ri 332(2)1= 1 w 11=2 + 兀 2 + y 5 + 2(兀 + y) 25 + 2(兀 + y) 25 + 4/xy313. 證明：假設 p+q>2,即 p>2- q, /.p3>(2q) 3=8-12q+6q2-q3, 即 8t2q+&卜(q ?+p3) <0,將 p'+=2 代入，得 612g+6<0t/2-2+l<0,即(gt)2<(), er, .*.(</-1)2假設不成立，:p+qw214. 解：設飲料原價為°,則兩次提價后的價格為：方案甲：«(l+/n%)(l+/i%)；方案乙：d(l+n%)(l+)；方案內(nèi)：d(l +%)