2022年2022年數(shù)學知識點整理

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載數(shù) 學 必 修1 知 識 點 總 結(jié)第一章集合與函數(shù)概念一.集合有關概念1.集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素；2.集合的中元素的三個特性：1. 元素的確定性；2. 元素的互異性；3. 元素的無序性說明： 1 對于一個給定的集合,集合中的元素為確定的,任何一個對象為或者不為這個給定的集合的元素；(2) 任何一個給定的集合中,任何兩個元素都為不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素；(3) 集合中的元素為公平的,沒有先后次序,因此判定兩個集合為否一樣,僅需比較它們的元素為否一樣,不需考查排列次序為否一

2、樣；(4) 集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性；3.集合的表示：如 我校的籃球隊員 , 太平洋 、 大西洋 、 印度洋 、 北冰洋 1.用拉丁字母表示集合：a= 我校的籃球隊員、b=1、2、3、4、5 2集合的表示方法：列舉法與描述法；留意?。撼Ｓ脭?shù)集及其記法：非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作： n正整數(shù)集n* 或 n+整數(shù)集 z 有理數(shù)集q 實 數(shù) 集 r關于“屬于”的概念集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如：a 為集合 a 的元素,就說a 屬于集合a 記作 a a ,相反, a 不屬于集合a 記 作 aa列舉法：把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個大括

3、號括上；描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法；用確定的條件表示某些對象為否屬于這個集合的方法；語言描述法：例： 不為直角三角形的三角形數(shù)學式子描述法：例：不等式x-3>2 的解集為 xr| x-3>2或x| x-3>24.集合的分類：1有限集含有有限個元素的集合2無限集含有無限個元素的集合3空集不含任何元素的集合例 ： x|x2= 5二.集合間的基本關系1. “包含”關系子集留意：有兩種可能（1）a 為 b 的一部分,；（ 2） a 與 b 為同一集合；反之 :集合 a 不包含于集合b、 或集合 b 不包含集合a、 記

4、作 a b 或 b a 2“相等”關系5 5,且 5 5,就 5=5實例：設a=x|x2-1=0 b=-1、1“元素相同”結(jié)論：對于兩個集合a 與 b,假如集合a 的任何一個元素都為集合b 的元素,同時、 集合 b 的任何一個元素都為集合 a 的元素,我們就說集合a等于集合b,即： a=b任何一個集合為它本身的子集；aa真子集 : 假如 ab、 且 a b 那就說集合a 為集合 b 的真子集,記作a b 或 b a假如ab、 bc 、那 么 ac假如

5、ab 同時 ba那 么 a=b3.不含任何元素的集合叫做空集,記為規(guī)定 :空集為任何集合的子集,空集為任何非空集合的真子集；三.集合的運算1交集的定義：一般地,由全部屬于a 且屬于 b 的元素所組成的集合、 叫做 a、b 的交集記作 a b 讀作 a 交 b ,即 a b=x|x a,且 x b 2.并集的定義：一般地,由全部屬于集合a 或?qū)儆诩蟗 的元素所組成的集合,叫做a、b 的并集；記作：a精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載 b 讀 作 a 并 b , 即 a b=x|x a, 或 x b 3.交集與并集的性質(zhì)

6、：a a = a、 a = 、 a b = b a,a a = a、 a = a 、ab = b a.4.全集與補集（ 1）補集：設s 為一個集合,a 為 s 的一個子集（即）,由 s 中全部不屬于a 的元素組成的集合,叫做s 中子集 a 的補集（或余集）記作：csa 即 csa =x  xs且 xa（ 2）全集：假如集合s 含有我們所要討論的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集；通常用u來表示；（ 3）性質(zhì)： cuc ua=a c ua a= cua a=u二.函數(shù)的有關概念1函數(shù)的概念：設a.b 為非空的數(shù)集

7、,假如依據(jù)某個確定的對應關系f ,使對于集合a 中的任意一個數(shù)x ,在集合 b中都有唯獨確定的數(shù)fx和它對應, 那么就稱 f ：a b為從集合a到集合 b的一個函數(shù) 記作：y=fx, x a其中, x 叫做自變量,x 的取值范疇a 叫做函數(shù)的定義域；與x 的值相對應的y 值叫做函數(shù)值,函數(shù)值 的集合 fx| x a 叫做函數(shù)的值域留意： 2 假如只給出解析式y(tǒng)=fx,而沒有指明它的定義域,就函數(shù)的定義域即為指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合；3 函數(shù)的定義域.值域要寫成集合或區(qū)間的形式定義域補充能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x 的集合稱為函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)為：1 分式的分

8、母不等于零；2偶次方根的被開方數(shù)不小于零；3對數(shù)式的真數(shù)必需大于零；4 指數(shù).對數(shù)式的底必需大于零且不等于1. 5 假如函數(shù)為由一些基本函數(shù)通過四就運算結(jié)合而成的. 那么,它的定義域為使各部分都有意義的x 的值組成的集合. （ 6）指數(shù)為零底不行以等于零6實際問題中的函數(shù)的定義域仍要保證明際問題有意義. 又留意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域；構成函數(shù)的三要素：定義域.對應關系和值域再留意：（ 1）構成函數(shù)三個要素為定義域.對應關系和值域由于值域為由定義域和對應關系打算的,所以,假如兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一樣,即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）（ 2）兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義

9、域和對應關系完全一樣,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關；相同函數(shù)的判定方法：表達式相同；定義域一樣 兩點必需同時具備 見課本 21 頁相關例2值域補充(1) .函數(shù)的值域取決于定義域和對應法就,不論實行什么方法求函數(shù)的值域都應先考慮其定義域. 2.應熟識把握一次函數(shù).二次函數(shù).指數(shù).對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域,它為求解復雜函數(shù)值域的基礎；3.函數(shù)圖象學問歸納1定義：在平面直角坐標系中,以函數(shù)y=fx 、 x a中的 x為橫坐標,函數(shù)值y 為縱坐標的點px , y的集合 c,叫做函數(shù)y=fx、x a 的圖象 c 上每一點的坐標x ,y 均滿意函數(shù)關系y=fx,反過來,以滿意y=fx的每一組有序?qū)?/p>

10、數(shù)對x.y 為坐標的點x ,y ,均在 c上 .即記為c= px、y | y= fx 、 x a 圖象 c 一般的為一條光滑的連續(xù)曲線 或直線 、 也可能為由與任意平行與y 軸的直線最多只有一個交點的如干條曲線或離散點組成；(2) 畫法a.描點法：依據(jù)函數(shù)解析式和定義域,求出x、y的一些對應值并列表,以x、y為坐標在坐標系內(nèi)描出相應的 點 px、 y,最終用平滑的曲線將這些點連接起來.b.圖象變換法（請參考必修4 三角函數(shù)）常用變換方法有三種,即平移變換.伸縮變換和對稱變換(3) 作用：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載1.直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；2.利用數(shù)形結(jié)合的方

11、法分析解題的思路；提高解題的速度；發(fā)覺解題中的錯誤；4快去明白區(qū)間的概念（ 1）區(qū)間的分類：開區(qū)間.閉區(qū)間.半開半閉區(qū)間；（ 2）無窮區(qū)間； （ 3）區(qū)間的數(shù)軸表示 5什么叫做映射一般地,設a.b 為兩個非空的集合,假如按某一個確定的對應法就f ,使對于集合a 中的任意一個元素x ,在集合 b 中都有唯獨確定的元素y 與之對應, 那么就稱對應f ：a b 為從集合a 到集合 b 的一個映射； 記作“ f ： a b ”給定一個集合a 到 b 的映射,假如aa、b b. 且元素a 和元素b 對應,那么,我們把元素b 叫做元素a 的象,元素 a 叫做元素b 的原象說明：函數(shù)為一種特殊的映射,映射為

12、一種特殊的對應,集合a.b 及對應法就f 為確定的；對應法就有 “方向性”,即強調(diào)從集合a 到集合 b 的對應,它與從b 到 a 的對應關系一般為不同的；對于映射f ： ab來說,就應滿意： （）集合a 中的每一個元素,在集合b 中都有象,并且象為唯獨的；（）集合a 中不同的元素,在集合b 中對應的象可以為同一個；（）不要求集合b 中的每一個元素在集合a 中都有原象；常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點： 1 函數(shù)圖象既可以為連續(xù)的曲線,也可以為直線.折線.離散的點等等,留意判定一個圖形為否為函數(shù)圖象的依據(jù)；2 解析法：必需注明函數(shù)的定義域；3 圖象法：描點法作圖要留意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解

13、析式；觀看函數(shù)的特點；4 列表法：選取的自變量要有代表性,應能反映定義域的特點留意?。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮?shù)值；列表法：便于查出函數(shù)值；圖象法：便于量出函數(shù)值補充一：分段函數(shù)（參見課本p24-25 ）在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)；在不同的范疇里求函數(shù)值時必需把自變量代入相應的表達式；分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程,而就寫函數(shù)值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來,并分別注明各部分的自變量的取值情形（ 1）分段函數(shù)為一個函數(shù),不要把它誤認為為幾個函數(shù)；（ 2）分段函數(shù)的定義域為各段定義域的并集,值域為各段值域的并集補充二：復合函數(shù)假如 y=fu、u m、u=gx、x a、

14、 就 y=fgx=fx,x a稱為 f .g 的復合函數(shù)；例 如 : y=2sinx y=2cosx2+17函數(shù)單調(diào)性（ 1）增函數(shù)設函數(shù)y=fx的定義域為i ,假如對于定義域i 內(nèi)的某個區(qū)間d內(nèi)的任意兩個自變量x1, x2, 當 x1<x2 時,都有 fx1<fx2,那么就說fx在區(qū)間 d 上為增函數(shù)；區(qū)間d 稱為 y=fx的單調(diào)增區(qū)間（睇清晰課本單調(diào)區(qū)間的概念）假如對于區(qū)間d 上的任意兩個自變量的值x1 ,x2,當 x1<x2 時,都有fx1 fx2,那么就說fx在這個區(qū)間上為減函數(shù). 區(qū)間 d稱為 y=fx的單調(diào)減區(qū)間.留意： 1 函數(shù)的單調(diào)性為在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的

15、性質(zhì),為函數(shù)的局部性質(zhì)； 2 必需為對于區(qū)間d 內(nèi)的任意兩個自變量x1, x2；當 x1<x2 時,總有fx1<fx2；（ 2） 圖象的特點假如函數(shù)y=fx在某個區(qū)間為增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)y=fx在這一區(qū)間上具有 嚴格的 單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右為上升的,減函數(shù)的圖象從左到右為下降的. 3.函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(a) 定義法： 1 任 取 x1,x2 d, 且 x1<x2； 2 作 差 fx1 fx2； 3 變形（通常為因式分解和配方）；4 定號（即判定差 fx1fx2的正負）； 5 下結(jié)論（指出函數(shù)fx在給定的區(qū)間d 上的單調(diào)性） (b) 圖

16、象法 從圖象上看升降_(c) 復合函數(shù)的單調(diào)性復合函數(shù)fgx的單調(diào)性與構成它的函數(shù)u=gx , y=fu的單調(diào)性親密相關,其規(guī)律如下：函數(shù)單調(diào)性精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載u=gx增增減減y=fu增減增減y=fgx增減減增留意： 1.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能為其定義域的子區(qū)間、 不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集. 2 .仍記得我們在選修里學習簡潔易行的導數(shù)法判定單調(diào)性嗎？8函數(shù)的奇偶性（ 1）偶函數(shù)一般地,對于函數(shù)fx的定義域內(nèi)的任意一個x, 都 有 f x=fx,那么 fx就叫做偶函數(shù)（ 2）奇函數(shù)一般地,對于函數(shù) fx 的定義域內(nèi)的任意一個 x,都有 f

17、 x= fx ,那么 fx 就叫做奇函數(shù) 留意： 1 函數(shù)為奇函數(shù)或為偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性為函數(shù)的整體性質(zhì)；函數(shù)可能沒有奇偶性 、 也可能既為奇函數(shù)又為偶函數(shù)； 2 由函數(shù)的奇偶性定義可知,函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件為,對于定義域內(nèi)的任意一個x ,就 x 也肯定為定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關于原點對稱）（ 3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特點偶函數(shù)的圖象關于y 軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱總結(jié)：利用定義判定函數(shù)奇偶性的格式步驟：1 第一確定函數(shù)的定義域,并判定其定義域為否關于原點對稱 ； 2 確 定 f x 與 fx的關系； 3 作出相應結(jié)論：如f x = fx或 f x

18、 fx = 0, 就 fx為偶函數(shù)；如f x = fx或 f x fx = 0,就 fx為奇函數(shù)留意?。汉瘮?shù)定義域關于原點對稱為函數(shù)具有奇偶性的必要條件第一看函數(shù)的定義域為否關于原點對稱,如不對稱就函數(shù)為非奇非偶函數(shù). 如對稱, 1 再依據(jù)定義判定; 2 有時判定f-x=± fx比較困難,可考慮依據(jù)為否有f-x± fx=0或 fx/f-x=± 1 來判定 ; 3利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定.9.函數(shù)的解析表達式（ 1） . 函數(shù)的解析式為函數(shù)的一種表示方法,要求兩個變量之間的函數(shù)關系時,一為要求出它們之間的對應法就,二為要求出函數(shù)的定義域.（ 2） . 求函數(shù)的

19、解析式的主要方法有：待定系數(shù)法.換元法.消參法等,假如已知函數(shù)解析式的構造時,可用待定系數(shù)法；已知復合函數(shù)fgx的表達式時,可用換元法,這時要留意元的取值范疇；當已知表達式較簡潔時,也可用湊配法；如已知抽象函數(shù)表達式,就常用解方程組消參的方法求出fx 10函數(shù)最大（?。┲担ǘx見課本p36 頁） 1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值2 利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲? 利 用函數(shù)單調(diào)性的判定函數(shù)的最大（小）值：假如函數(shù)y=fx在區(qū)間 a , b 上單調(diào)遞增,在區(qū)間b , c 上單調(diào)遞減就函數(shù) y=fx在 x=b處有最大值fb；假如函數(shù)y=fx在區(qū)間 a ,b 上單調(diào)遞減,在區(qū)間b

20、 ,c 上單調(diào)遞增就函數(shù) y=fx在 x=b處有最小值fb；其次章基本初等函數(shù)一.指數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運算1根式的概念：一般地,假如,那么叫做的次方根（ n th root）,其中>1 ,且 * 當為奇數(shù)時,正數(shù)的次方根為一個正數(shù),負數(shù)的次方根為一個負數(shù)此時,的 次方根用符號表示式子叫做根式（ radical）,這里叫做根指數(shù)（radical exponent）, 叫做被開方數(shù)（radicand ）當為偶數(shù)時,正數(shù)的次方根有兩個,這兩個數(shù)互為相反數(shù)此時,正數(shù)的正的次方根用符號表示,負的次方根用符號表示正的次方根與負的次方根可以合并成±（ >0 ）由此可得：負數(shù)沒有

21、偶次方根；0 的任何次方根都為0,記作；留意：當為奇數(shù)時,當為偶數(shù)時,2分數(shù)指數(shù)冪正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定：,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載0 的正分數(shù)指數(shù)冪等于0, 0 的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義指出：規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù),那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪3實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)（ 1） &#8226;；（ 2） ；（ 3） （二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)的概念：一般地,函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)（exponential function）,其中 x 為自變量,函數(shù)的定義域 為 r留意：指數(shù)函數(shù)

22、的底數(shù)的取值范疇,底數(shù)不能為負數(shù).零和1 2.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>1 0<a<1圖象特點函數(shù)性質(zhì)向 x.y 軸正負方向無限延長函數(shù)的定義域為r圖象關于原點和 y 軸不對稱 非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都在 x 軸上方 函數(shù)的值域為 r+ 函數(shù)圖象都過定點（ 0,1）自左向右看,圖象逐步上升自左向右看, 圖象逐步下降增函數(shù)減函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標都大于1在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標都小于1在其次象限內(nèi)的圖象縱坐標都小于1在其次象限內(nèi)的圖象縱坐標都大于1圖象上升趨勢為越來越陡圖象上升趨勢為越來越緩函數(shù)值開頭增長較慢,到了某一值后增長速度極快；函數(shù)值開頭減小極快,到了某一值后減小速度

23、較慢；留意：利用函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合圖象仍可以看出：（ 1）在 a , b 上,值域為或 ；（ 2）如,就； 取遍全部正數(shù)當且僅當；（ 3）對于指數(shù)函數(shù),總有；（ 4）當時,如,就；二.對數(shù)函數(shù)（一）對數(shù)1對數(shù)的概念：一般地,假如,那么數(shù)叫做以為底的對數(shù),記作：（底數(shù),真數(shù), 對數(shù)式）說明： 1 留意底數(shù)的限制,且； 2 留意對數(shù)的書寫格式兩個重要對數(shù)： 1 常用對數(shù)：以10 為底的對數(shù)； 2 自然對數(shù)：以無理數(shù)為底的對數(shù)的對數(shù) 對數(shù)式與指數(shù)式的互化（二）對數(shù)的運算性質(zhì)假如,且, , , 那 么：留意：換底公式（,且；,且；）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載利用換底公式推導下面的結(jié)論（1） ；（ 2） （二）對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù),且叫做對數(shù)函數(shù),其中為自變量,函數(shù)的定義域為（0, +）留意： 1 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都為形式定義,留意