2018年上海市普陀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

1、. 1 頁(yè)2018 年上海市普陀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷一.填空題（本大題共12題， 1-6 每題 4 分，7-12 每題 5 分，共 54分）1 （4 分）設(shè)全集 u= 1，2，3，4，5，若集合 a= 3，4，5 ，則?ua=2 （4 分）若，則=3 （4 分）方程 log2（2x）+log2（3x）=log212 的解 x=4 （4 分）的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)的值為5 （4 分）不等式的解集為6 （4 分）函數(shù)的值域?yàn)? （5 分）已知 i 是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù) z的共軛復(fù)數(shù)，若，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為第象限8 （5 分）若數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和（nn*） ，則=9 （5 分）若直

2、線 l：x+y=5與曲線 c ：x2+y2=16交于兩點(diǎn) a（x1，y1） 、b（x2，y2） ，則 x1y2+x2y1的值為10 （5 分）設(shè) a1、a2、a3、a4是 1，2，3，4 的一個(gè)排列，若至少有一個(gè)i（i=1，2，3，4）使得 ai=i 成立，則滿(mǎn)足此條件的不同排列的個(gè)數(shù)為11 （5 分）已知正三角形 abc的邊長(zhǎng)為，點(diǎn) m 是abc所在平面內(nèi)的任一動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍為12 （5 分）雙曲線繞坐標(biāo)原點(diǎn) o旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度可以成為函數(shù)f（x）的圖象，關(guān)于此函數(shù)f（x）有如下四個(gè)命題：f（x）是奇函數(shù)；f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)或；f（x）的值域是；函數(shù) y=f（x）x 有兩個(gè)零點(diǎn)；則其中所

3、有真命題的序號(hào)為二.選擇題（本大題共4 題，每題 5 分，共 20 分）. 2 頁(yè)13 （5 分）若數(shù)列 an（nn*）是等比數(shù)列，則矩陣所表示方程組的解的個(gè)數(shù)是（）a0 個(gè) b 1 個(gè) c 無(wú)數(shù)個(gè)d不確定14 （5 分）“m 0” 是“ 函數(shù) f（x）=| x（mx+2）| 在區(qū)間（ 0，+）上為增函數(shù) ”的（）a充分非必要條件 b 必要非充分條件c充要條件d既非充分也非必要條件15 （5 分）用長(zhǎng)度分別為2、3、5、6、9（單位： cm）的五根木棒連接（只允許連接，不允許折斷） ，組成共頂點(diǎn)的長(zhǎng)方體的三條棱，則能夠得到的長(zhǎng)方體的最大表面積為（）a258cm2b414cm2c416cm2d4

4、18cm216 （5 分）定義在 r上的函數(shù) f（x）滿(mǎn)足，且 f（x1）=f（x+1） ，則函數(shù)在區(qū)間 1，5 上的所有零點(diǎn)之和為（）a4 b5 c 7 d8三.解答題（本大題共5 題，共 14+14+14+16+18=76分）17 （14分）如圖所示的圓錐的體積為，底面直徑 ab=2，點(diǎn) c是弧的中點(diǎn)，點(diǎn) d 是母線 pa的中點(diǎn)（1）求該圓錐的側(cè)面積；（2）求異面直線 pb與 cd所成角的大小18 （14 分）某快遞公司在某市的貨物轉(zhuǎn)運(yùn)中心，擬引進(jìn)智能機(jī)器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效率和降低物流成本，已知購(gòu)買(mǎi)x 臺(tái)機(jī)器人的總成本p（x）=+x+150 萬(wàn)元（1）若使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低，問(wèn)

5、應(yīng)買(mǎi)多少臺(tái)？（2）現(xiàn)按（ 1）中的數(shù)量購(gòu)買(mǎi)機(jī)器人，需要安排m 人將郵件放在機(jī)器人上，機(jī)器人將郵件送達(dá)指定落袋格口完成分揀（如圖），經(jīng)實(shí)驗(yàn)知，每臺(tái)機(jī)器人的日平. 3 頁(yè)均分揀量 q（m）=（單位：件），已知傳統(tǒng)人工分揀每人每日的平均分揀量為1200 件，問(wèn)引進(jìn)機(jī)器人后，日平均分揀量達(dá)最大值時(shí)，用人數(shù)量比引進(jìn)機(jī)器人前的用人數(shù)量最多可減少百分之幾？19 （14 分）設(shè)函數(shù) f（x）=sin（x + ） （ 0，） ，已知角 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn) m（x1，y1） 、n（x2，y2）是函數(shù) f（x）圖象上的任意兩點(diǎn)，當(dāng)| f（x1）f（x2）| =2 時(shí)，| x1x2| 的最小值是（1）求函數(shù) y=f（x

6、）的解析式；（2）已知 abc面積為，角 c所對(duì)的邊，求abc的周長(zhǎng)20 （16 分）設(shè)點(diǎn) f1、f2分別是橢圓（t0）的左、右焦點(diǎn)，且橢圓 c上的點(diǎn)到點(diǎn) f2的距離的最小值為，點(diǎn) m、n 是橢圓 c上位于 x 軸上方的兩點(diǎn)，且向量與向量平行（1）求橢圓 c的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求 f1mn 的面積；（3）當(dāng)時(shí)，求直線 f2n 的方程21 （18 分）設(shè)d 為等差數(shù)列 an 的公差，數(shù)列bn 的前n 項(xiàng)和 tn，滿(mǎn)足（nn*） ，且 d=a5=b2，若實(shí)數(shù) mpk=x| ak2xak+3（kn*，k3） ，則稱(chēng) m 具有性質(zhì) pk（1）請(qǐng)判斷 b1、b2是否具有性質(zhì) p6，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)

7、sn為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和，若 sn2an 是單調(diào)遞增數(shù)列，求證：對(duì)任意的 k（kn*，k3） ，實(shí)數(shù) 都不具有性質(zhì) pk；（3）設(shè) hn是數(shù)列 tn的前 n 項(xiàng)和，若對(duì)任意的 nn*，h2n1都具有性質(zhì) pk，求所有滿(mǎn)足條件的 k 的值2018 年上海市普陀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析. 4 頁(yè)一.填空題（本大題共12題， 1-6 每題 4 分，7-12 每題 5 分，共 54分）1 （4 分）設(shè)全集 u= 1，2，3，4，5 ，若集合 a= 3，4，5 ，則?ua= 1，2 【解答】 解：全集 u= 1，2，3，4，5 ，集合 a=3，4，5 ，?ua= 1，2故答案為： 1

8、，2 2 （4 分）若，則=【解答】 解：，=故答案為：3 （4 分）方程 log2（2x）+log2（3x）=log212 的解 x=1【解答】 解：方程 log2（2x）+log2（3x）=log212，即，解得 x=1故答案為： 14 （4 分）的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)的值為84【解答】 解：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)=，由，得 r=3的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為故答案為： 845 （4 分）不等式的解集為 0，1）（ 1，2 【解答】 解：由題意得：，解得： 0 x1 或 1x2，故答案為： 0，1）（ 1，2 . 5 頁(yè)6 （4 分）函數(shù)的值域?yàn)?1，3 【解答】 解：=sinx+cosx+1=2s

9、in（x+）+1，sin（x+） 1，1 ，f（x）=2sin（x+）+1 1，3 故答案為： 1，3 7 （5 分）已知 i 是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù) z的共軛復(fù)數(shù)，若，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為第一象限【解答】 解：，設(shè) z=a+bi，則 z2i（1+i）=0，即（a+bi）2i1i=0，則 2ai2b1i=0，2b1+（2a1）i=0，則，則，z= i，則 =+ i，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故答案為：一8 （5 分）若數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和（nn*） ，則=2【解答】 解：數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和（nn*） ，可得 n=1 時(shí)，a1=s1=3+2+1=0；當(dāng) n2 時(shí)，a

10、n=snsn1=3n2+2n+1+3（n1）22n+21=6n+5，則=（2+）=2+0=2故答案為： 29 （5 分）若直線 l：x+y=5與曲線 c ：x2+y2=16交于兩點(diǎn) a（x1，y1） 、b（x2，y2） ，則 x1y2+x2y1的值為16【解答】解：直線 l：x+y=5 與曲線 c：x2+y2=16 交于兩點(diǎn) a（x1，y1） 、b（x2，y2） ，. 6 頁(yè)則：，所以： 2x210 x+9=0，則：x1+x2=5，則：x1y2+x2y1=x1（5x2）+x2（5x1） ，=5（x1+x2）2x1x2，=259，=16故答案為： 1610 （5 分）設(shè) a1、a2、a3、a4是

11、 1，2，3，4 的一個(gè)排列，若至少有一個(gè)i（i=1，2，3，4）使得 ai=i 成立，則滿(mǎn)足此條件的不同排列的個(gè)數(shù)為15【解答】 解：根據(jù)題意， a1、a2、a3、a4是 1，2，3，4 的一個(gè)排列，則所有的排列有 a44=24個(gè)，假設(shè)不存在 i（i=1，2，3，4）使得 ai=i成立，則 a1可以在第 2、3、4 位置，有 3種情況，假設(shè) a1在第二個(gè)位置，則 a1可以在第 1、3、4 位置，也有 3 種情況，此時(shí) a3、a4只有 1 種排法，剩余的兩個(gè)數(shù)在其余兩個(gè)位置，有1 種情況，則不存在 i（i=1，2，3，4）使得 ai=i成立的情況有 33=9種，則至少有一個(gè) i（i=1，2，3

12、，4）使得 ai=i成立排列數(shù)有 249=15個(gè)；故答案為： 1511 （5 分）已知正三角形 abc的邊長(zhǎng)為，點(diǎn) m 是abc所在平面內(nèi)的任一動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍為 0，6 【解答】 解：以 a 點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則 a（0，0） ，b（，0） ，c（，） ，不妨設(shè) m（cos ，sin ） ，+=（cos ，sin ）+（cos ，sin ）+（cos ，sin ）. 7 頁(yè)=（3cos ，3sin ） ，|+|2=（3cos ）2+（3sin ）2=9（2cos sin ）=1818sin（ +） ，1sin（ +）1，01818sin（ +）36，的取值范圍為

13、0，6 ，故答案為： 0，612 （5 分）雙曲線繞坐標(biāo)原點(diǎn) o旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度可以成為函數(shù)f（x）的圖象，關(guān)于此函數(shù)f（x）有如下四個(gè)命題：f（x）是奇函數(shù)；f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)或；f（x）的值域是；函數(shù) y=f（x）x 有兩個(gè)零點(diǎn)；則其中所有真命題的序號(hào)為【解答】 解：雙曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可得旋轉(zhuǎn)后得到的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即有 f（x）為奇函數(shù)，故對(duì)；由雙曲線的頂點(diǎn)為（，0） ，漸近線方程為 y=x，可得 f（x）的圖象的漸近線為x=0和 y=x，圖象關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱(chēng)，可得 f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)，或，由對(duì)稱(chēng)性可得 f（x）的圖象按逆時(shí)針60 旋轉(zhuǎn)位于一三象限；按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

14、60 位于二四象限；故對(duì)；f（x）的圖象按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 位于一三象限，. 8 頁(yè)由圖象可得頂點(diǎn)為點(diǎn)，或，不是極值點(diǎn)，則 f（x）的值域不是；f（x）的圖象按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 位于二四象限，由對(duì)稱(chēng)性可得 f（x）的值域也不是故不對(duì)；當(dāng) f（x）的圖象位于一三象限時(shí)，f（x）的圖象與直線 y=x有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù) y=f（x）x 有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) f（x）的圖象位于二四象限時(shí)，f（x）的圖象與直線 y=x沒(méi)有交點(diǎn)，函數(shù) y=f（x）x 沒(méi)有零點(diǎn)故錯(cuò)故答案為：二.選擇題（本大題共4 題，每題 5 分，共 20 分）13 （5 分）若數(shù)列 an（nn*）是等比數(shù)列，則矩陣所表示方程組的解的個(gè)數(shù)是（）a0

15、個(gè) b 1 個(gè) c 無(wú)數(shù)個(gè)d不確定【解答】 解：根據(jù)題意，矩陣所表示方程組為，又由數(shù)列 an （nn*）是等比數(shù)列，則有=，則方程組的解有無(wú)數(shù)個(gè)；故選： c14 （5 分）“m 0” 是“ 函數(shù) f（x）=| x（mx+2）| 在區(qū)間（ 0，+）上為增函數(shù) ”的（）a充分非必要條件 b 必要非充分條件c充要條件d既非充分也非必要條件. 9 頁(yè)【解答】 解： m0，函數(shù) f（x）=| x（mx+2）| =| mx2+2x| ，f（0）=0，f（x）在區(qū)間（ 0，+）上為增函數(shù) ” ；函數(shù) f（x）=| x（mx+2）| =| mx2+2x| 在區(qū)間（ 0，+）上為增函數(shù)，f（0）=0，mr，“m

16、 0” 是“ 函數(shù) f（x）=| x（mx+2）| 在區(qū)間（ 0，+）上為增函數(shù) ” 的充分非必要條件故選： a15 （5 分）用長(zhǎng)度分別為2、3、5、6、9（單位： cm）的五根木棒連接（只允許連接，不允許折斷） ，組成共頂點(diǎn)的長(zhǎng)方體的三條棱，則能夠得到的長(zhǎng)方體的最大表面積為（）a258cm2b414cm2c416cm2d418cm2【解答】 解：設(shè)長(zhǎng)方體的三條棱分別為a，b，c，則長(zhǎng)方體的表面積s=2（ab+bc+ac）（ a+b）2+（b+c）2+（a+c）2，當(dāng)且僅當(dāng) a=b=c時(shí)上式 “=”成立由題意可知， a，b，c 不可能相等，故考慮當(dāng) a，b，c 三邊長(zhǎng)最接近時(shí)面積最大，此時(shí)三

17、邊長(zhǎng)為8，8，9，用 2、6 連接， 3、5 連接各為一條棱，第三條棱為9 組成長(zhǎng)方體，此時(shí)能夠得到的長(zhǎng)方體的最大表面積為2（88+89+89）=416（cm2） 故選： c16 （5 分）定義在 r上的函數(shù) f（x）滿(mǎn)足，且 f（x1）=f（x+1） ，則函數(shù)在區(qū)間 1，5 上的所有零點(diǎn)之和為（）a4 b5 c 7 d8【解答】 解：函數(shù)，且 f（x1）=f（x+1） ，函數(shù)的周期為 2，函數(shù)，的零點(diǎn)，就是 y=f（x）與 y=圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，. 10 頁(yè)y=f（x）關(guān)于點(diǎn)（ 0，3）中心對(duì)稱(chēng)，將函數(shù)兩次向右平移2 個(gè)單位，得到函數(shù)y=f（x）在 1，5 上的圖象，每段曲線不包含右端點(diǎn)（

18、如下圖），去掉端點(diǎn)后關(guān)于（ 2，3）中心對(duì)稱(chēng)又y=3+關(guān)于（2，3）中心對(duì)稱(chēng)，故方程 f（x）=g（x）在區(qū)間 1，5 上的根就是函數(shù) y=f（x）和 y=g（x）的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，共有三個(gè)交點(diǎn)，自左向右橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，其中 x1和 x3關(guān)于（ 2，3）中心對(duì)稱(chēng)，x1+x3=4，x2=1，故 x1+x2+x3=5故選： b三.解答題（本大題共5 題，共 14+14+14+16+18=76分）17 （14分）如圖所示的圓錐的體積為，底面直徑 ab=2，點(diǎn) c是弧的中點(diǎn)，點(diǎn) d 是母線 pa的中點(diǎn)（1）求該圓錐的側(cè)面積；（2）求異面直線 pb與 cd所成角的大小【解答】 解： （1）圓錐

19、的體積為，底面直徑 ab=2，解得 po=，pa=2，. 11 頁(yè)該圓錐的側(cè)面積s=rl= 12=2 （2）圓錐的體積為，底面直徑 ab=2，點(diǎn) c是弧的中點(diǎn)，點(diǎn) d 是母線 pa的中點(diǎn)po 平面 abc ，oc ab，以 o為原點(diǎn)， oc為 x 軸，ob為 y 軸，op為 z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 a（0，1，0） ，p（0，0，） ，d（0，） ，b（0，1，0） ，c（1，0，0） ，=（0，1，） ，=（1，） ，設(shè)異面直線 pb與 cd所成角為 ，則 cos=，=異面直線 pb與 cd所成角為18 （14 分）某快遞公司在某市的貨物轉(zhuǎn)運(yùn)中心，擬引進(jìn)智能機(jī)器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效

20、率和降低物流成本，已知購(gòu)買(mǎi)x 臺(tái)機(jī)器人的總成本p（x）=+x+150 萬(wàn)元（1）若使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低，問(wèn)應(yīng)買(mǎi)多少臺(tái)？（2）現(xiàn)按（ 1）中的數(shù)量購(gòu)買(mǎi)機(jī)器人，需要安排m 人將郵件放在機(jī)器人上，機(jī)器人將郵件送達(dá)指定落袋格口完成分揀（如圖），經(jīng)實(shí)驗(yàn)知，每臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量 q（m）=（單位：件），已知傳統(tǒng)人工分揀每人每日的平均分揀量為1200 件，問(wèn)引進(jìn)機(jī)器人后，日平均分揀量達(dá)最大值時(shí)，用人數(shù)量比引進(jìn)機(jī)器人前的用人數(shù)量最多可減少百分之幾？【解答】 解： （1）由總成本 p（x）=+x+150 萬(wàn)元，可得每臺(tái)機(jī)器人的平均成本. 12 頁(yè)y=2當(dāng)且僅當(dāng)，即 x=300時(shí)，上式等號(hào)成立若使每臺(tái)機(jī)

21、器人的平均成本最低，應(yīng)買(mǎi)300 臺(tái)；（ 2 ） 引 進(jìn) 機(jī) 器 人 后 ， 每 臺(tái) 機(jī) 器 人 的 日 平 均 分 揀 量q （ m ）=，當(dāng) 1 m30 時(shí)， 300 臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量為160m（60 m） =160m2+9600m，當(dāng) m=30 時(shí)，日平均分揀量有最大值144000當(dāng) m30 時(shí)，日平均分揀量為480300=144000300 臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量的最大值為144000 件若傳統(tǒng)人工分揀 144000件，則需要人數(shù)為人日平均分揀量達(dá)最大值時(shí)，用人數(shù)量比引進(jìn)機(jī)器人前的用人數(shù)量最多可減少=75%19 （14 分）設(shè)函數(shù) f（x）=sin（x + ） （ 0，） ，已知角

22、 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn) m（x1，y1） 、n（x2，y2）是函數(shù) f（x）圖象上的任意兩點(diǎn)，當(dāng)| f（x1）f（x2）| =2 時(shí)，| x1x2| 的最小值是（1）求函數(shù) y=f（x）的解析式；（2）已知 abc面積為，角 c所對(duì)的邊，求abc的周長(zhǎng)【解答】 解： （1）已知角 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則：=，點(diǎn) m（x1，y1） 、n（x2，y2）是函數(shù) f（x）圖象上的任意兩點(diǎn)，當(dāng)| f（x1）f（x2）| =2 時(shí)，| x1x2| 的最小值是則：t= ，. 13 頁(yè)所以： =，所以：；（2）由于：=sin（）=，且 0c ，解得： c=，abc面積為，所以：，解得： ab=20由于： c2=a2

23、+b22abcosc ，c=2，所以： 20=（a+b）23ab，解得： a+b=4，所以：20 （16 分）設(shè)點(diǎn) f1、f2分別是橢圓（t0）的左、右焦點(diǎn)，且橢圓 c上的點(diǎn)到點(diǎn) f2的距離的最小值為，點(diǎn) m、n 是橢圓 c上位于 x 軸上方的兩點(diǎn)，且向量與向量平行（1）求橢圓 c的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求 f1mn 的面積；（3）當(dāng)時(shí)，求直線 f2n 的方程【解答】 解： （1）點(diǎn) f1、f2分別是橢圓（t0）的左、右焦點(diǎn)，a=t，c=t，橢圓 c上的點(diǎn)到點(diǎn) f2的距離的最小值為，ac=tt=22，解得 t=2，橢圓的方程為+=1，. 14 頁(yè)（2）由（ 1）可得 f1（2，0） ，f2（2，0

24、） ，點(diǎn) m、n 是橢圓 c上位于 x 軸上方的兩點(diǎn)，可設(shè) n（2cos ，2sin ） ，=（2cos +2，2sin ） ，=（2cos 2，2sin ） ，（2cos +2） （2cos 2）+4sin2=0 ，解得 cos=0 ，sin =1，n（0，2） ，=（2，2） ，k=1，向量與向量平行，直線 f1m 的斜率為 1，直線方程為 y=x2，聯(lián)立方程組，解得 x=0，y=2（舍去） ，或 x=，y=，m（，） ，| f1m| =，點(diǎn) n 到直線直線 y=x2 的距離為 d=2，f1mn 的面積 =| f1m| ?d=2=，（3）向量與向量平行，=，（ 1）| =，即 1，設(shè) m（

25、x1，y1） ，n（x2，y2） ，. 15 頁(yè) （x1+2）=x22，y2=y1，x2=x1+2（ +1）+=1，x22+2y22=8， x1+2（ +1）2+22y12=122+8 +4+4 （ +1）x1=8，4 （ +1）x1=（13 ） （ +1） ，x1=3，y12=4，|2=（x1+2）2+y12=（3+2）2+4=，| =，（ 1）?=，22 1=0解得 =2 +，或 =2 （舍去）x1=3=3=1，y12=4=2=，y1=，k=，直線 f2n 的方程為 y0=（x2） ，即為 x+y2=021 （18 分）設(shè)d 為等差數(shù)列 an 的公差，數(shù)列bn 的前n 項(xiàng)和 tn，滿(mǎn)足（nn*） ，且 d=a5=b2，若實(shí)數(shù) mpk=x| ak2xak+3（kn*，k3） ，則稱(chēng) m 具有性質(zhì) pk（