高三文科數(shù)學圓錐曲線綜合復習講義

1、1 21 212120 021 21 2高三文科數(shù)學圓錐曲線綜合復習講義一、基礎(chǔ)知識【理解去記】1橢圓的定義，第一定義：平面上到兩個定點的距離之和等于定長（大于兩個定點之間的距離）的點的軌跡，即 |PF |+|PF |=2a (2a>|F F |=2c).第二定義：平面上到一個定點的距離與到一條定直線的距離之比為同一個常數(shù)e(0<e<1)的點的軌跡（其中定點不在 定直線上），即| PF |d=e(0<e<1).2橢圓的方程，如果以橢圓的中心為原點，焦點所在的直線為坐標軸建立坐標系，由定義可求得它的標準方程， 若焦點在 x 軸上，列標準方程為x 2 y 2+ =1a

2、 2 b 2(a>b>0)，ì 參數(shù)方程為 íîx =a cos q y =b sin q（q 為參數(shù)）。若焦點在 y 軸上，列標準方程為：y 2 y 2+ =1a 2 b 2(a>b>0)。3橢圓中的相關(guān)概念，對于中心在原點，焦點在 x 軸上的橢圓：x 2 y 2+ =1a 2 b 2，a 稱半長軸長，b 稱半短軸長，c 稱為半焦距，長軸端點、短軸端點、兩個焦點的坐標分別為(±a, 0), (0, ±b), ( ±c, 0)；與左焦點對應(yīng)的準線（即第二定義中的定直線）為x =-a 2ca 2，與右焦點對應(yīng)的準

3、線為 x = ；定義中的比ce 稱為離心率，且e =ca，由 c2+b2=a2知 0<e<1.橢圓有兩條對稱軸，分別是長軸、短軸。4橢圓的焦半徑公式：對于橢圓點，則|PF |=a+ex, |PF |=a-ex. 5.補充知識點：幾個常用結(jié)論：x 2 y 2+ =a 2 b 21(a>b>0), F (-c, 0), F (c, 0)是它的兩焦點。若 P(x, y)是橢圓上的任意一1）過橢圓上一點 P(x , y )的切線方程為：x x y y 0 + 0 =1 a 2 b 2；2）斜率為 k 的切線方程為y =kx ±a 2 k 2 +b 2；3）過焦點 F

4、(c, 0)傾斜角為的弦的長為l =a22ab 2-c 2 cos2q。6雙曲線的定義，第一定義：滿足|PF |-|PF |=2a(2a<2c=|F F |, a>0)的點 P 的軌跡；第二定義：到定點的距離與到定直線距離之比為常數(shù) e(>1)的點的軌跡。 7雙曲線的方程：中心在原點，焦點在 x 軸上的雙曲線方程為x 2 y 2- =1a 2 b 2，î121212120 0001 1 2 2îîî1 2 1 2ìx =a sec j 參數(shù)方程為 í （y =b tan jj為參數(shù)）。焦點在 y 軸上的雙曲線的標準方

5、程為：y 2 x 2- =1a 2 b 2。8雙曲線的相關(guān)概念，中心在原點，焦點在 x 軸上的雙曲線：x 2 y 2- =1a 2 b 2(a, b>0),a 稱半實軸長，b 稱為半虛軸長，c 為半焦距，實軸的兩個端點為(-a, 0), (a, 0). 左、右焦點為 F (-c,0), F (c, 0)，對應(yīng)的左、右準線方程分別為x =-a 2 a 2, x = .c cc離心率 e = ，由 a2+b2=c2 知 e>1。兩條漸近線方程為 aky =± xa，雙曲線x 2 y 2 x 2 y 2- =1 與 - =-1 a 2 b 2 a 2 b 2有相同的漸近線，它們

6、的四個焦點在同一個圓上。若 a=b，則稱為等軸雙曲線。9補充知識點：雙曲線的常用結(jié)論，1）焦半徑公式，對于雙曲線x 2 y 2- =1a 2 b 2，F(xiàn) （-c,0）, F (c, 0)是它的兩個焦點。設(shè) P(x,y)是雙曲線上的任一點，若P 在右支上，則|PF |=ex+a, |PF |=ex-a；若 P（x,y）在左支上，則|PF |=-ex-a，|PF |=-ex+a.2) 過焦點的傾斜角為的弦長是2ab 2 a 2 -c 2 cos 2q。10拋物線：平面內(nèi)與一個定點 F 和一條定直線 l 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點 F 叫焦點，直線 l 叫做拋 物線的準線。若取經(jīng)過焦點 F

7、且垂直于準線 l 的直線為 x 軸，x 軸與 l 相交于 K，以線段 KF 的垂直平分線為 y 軸，建立直角坐標系，設(shè)|KF|=p，則焦點 F 坐標為(p2,0)p，準線方程為 x =- ，標準方程為 y22=2px(p>0)，離心率 e=1.11補充知識點拋物線常用結(jié)論：若 P(x , y )為拋物線上任一點，p1）焦半徑|PF|= x + ；22）過點 P 的切線方程為 y y=p(x+x )；3）過焦點傾斜角為的弦長為2 p1 -cos2q。二、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一、知識整理：1.考點分析：此部分的解答題以直線與圓錐曲線相交占多數(shù)，并以橢圓、拋物線為載體較多。多數(shù)涉及求圓錐曲

8、線的方程、求參數(shù)的取值范圍等等。2解答直線與圓錐曲線相交問題的一般步驟：設(shè)線、設(shè)點， 聯(lián)立、消元， 韋達、代入、化簡。第一步：討論直線斜率的存在性，斜率存在時設(shè)直線的方程為 y=kx+b（或斜率不為零時，設(shè) x=my+a）； 第二步：設(shè)直線與圓錐曲線的兩個交點為 A(x ,y )B(x ,y );ìy =kx +b第三步：聯(lián)立方程組 í ，消去 y 得關(guān)于 x 的一元二次方程；f (x, y) =0ì二次系數(shù)不為零 ì第四步：由判別式和韋達定理列出直線與曲線相交滿足的條件í ， íD>0第五步：把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為 x +x

9、、x x ，然后代入、化簡。x +x =1 2x ×x =1 2o o1 12 2023弦中點問題的特殊解法-點差法：即若已知弦 AB 的中點為 M(x ,y )，先設(shè)兩個交點為 A(x ,y )，B(x ,y );分別 代入圓錐曲線的方程，得 f (x , y ) =0, f (x , y ) =0 ，兩式相減、分解因式，再將 x +x =2x , y +y =2y 代1 1 2 2 1 2 o 1 2 o入其中，即可求出直線的斜率。4.弦長公式: | AB |= 1 +k 高考真題:2| x -x |= 1 2(1 +k2)(x +x )1 22-4x x 1 2( k 為弦 A

10、B 所在直線的斜率)1.【2012 高考新課標文 4】設(shè)F F 是橢圓 E : 1 2x 2 y 2+ =1(a >b >0) a 2 b 2的左、右焦點，P為直線 x =3a2上一點，DF PF 2 1是底角為 30o的等腰三角形，則 E 的離心率為（ ）( A)1 2( B )2 3( C )34( D )45【答案】C【命題意圖】本題主要考查橢圓的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想，是簡單題.【解析】 F PF 是底角為 30 0 的等腰三角形，2 1 ÐPF A =60 ， | PF |=|F F |=2c ， | AF | = 2 2 1 2 2c，32c = a2，e3= ，

11、4故選 C.2.【2012 高考新課標文 10】等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2=16 x的準線交于 A, B兩點，AB =4 3 ；則 C 的實軸長為（ ）( A)2( B )2 2( C ) 4( D )8【答案】C【命題意圖】本題主要考查拋物線的準線、直線與雙曲線的位置關(guān)系，是簡單題.【解析】由題設(shè)知拋物線的準線為：x =4，設(shè)等軸雙曲線方程為：x 2 -y 2 =a 2，將 x =4 代入等軸雙曲線方程解得 y = ± 16 -a2， | AB | = 4 3 ， 2 16 -a2= 4 3 ，解得 a =2， C 的實軸長為 4，故選 C.3.【201

12、2 高考山東文 11】已知雙曲線 C ：1x 2 y 2- =1(a >0, b >0) 的離心率為 2.若拋物線 C : x a2 b 22=2 py ( p >0) 的焦點到雙曲線 C 的漸近線的距離為 2，則拋物線 C 的方程為1 2(A) x2=8 3 16 3y (B) x 2 =3 3y(C) x2=8 y(D) x2=16 y【答案】D考點：圓錐曲線的性質(zhì)解析：由雙曲線離心率為 2 且雙曲線中 a，b，c 的關(guān)系可知b =3a，此題應(yīng)注意 C2 的焦點在 y 軸上，即（0，p/2）到直線y =3 x的距離為 2，可知 p=8 或數(shù)形結(jié)合，利用直角三角形求解。4【

13、2012 高考全國文 10】已知F1、F2為雙曲線C : x 2 -y 2 =2的左、右焦點，點P在C上，| PF |=2 | PF | 1 2，則cos ÐF PF = 1 2（A）1 3 3 4（B） （C） （D）4 5 4 5【答案】C0【命題意圖】本試題主要考查了雙曲線的定義的運用和性質(zhì)的運用，以及余弦定理的運用。首先運用定義得到兩個 焦半徑的值，然后結(jié)合三角形中的余弦定理求解即可?！窘馕觥拷猓河深}意可知，a =2 =b , c =2 ，設(shè) | PF |=2 x,| PF |=x ，則 | PF | -| PF |=x =2a =2 21 2 1 2，故| PF |=4 2

14、,| PF |=2 2 1 2，F(xiàn) F =41 2，利用余弦定理可得cos ÐF PF = 1 2PF 21+PF 2 -F F 2 1 22PF ×PF1 22=(4 2) 2 +(2 2) 2 -4 2 ´2 2 ´4 22=34。5(2011 年高考廣東卷文科 8)設(shè)圓 C 與圓 錯誤！未找到引用源。 外切，與直線 y =0 錯誤！未找到引用源。相 切則 C 的圓心軌跡為（ ）A 拋物線B 雙曲線C 橢圓D 圓6.【2012 高考四川文 9】已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，并且經(jīng)過點M (2, y )0。若點M到該拋物線焦點的距離為3

15、，則| OM |=（ ）A、2 2B、2 3C、4D、2 5【答案】B解析設(shè)拋物線方程為 y2=2px(p>0),則焦點坐標為（p2,0），準線方程為 x=-p2,Q M在拋物線上， M到焦點的距離等于到準線的距離，即p p （2 - ）2 +y 2 = （2 + ）22 2 解得：p =1, y =2 20=3點M（2,2 2），根據(jù)兩點距離公式有：| OM |= 22+(2 2)2=2 3點評本題旨在考查拋物線的定義: |MF|=d,(M 為拋物線上任意一點，F(xiàn) 為拋物線的焦點，d 為點 M 到準線的距離).7.（2011 年高考湖南卷文科 6)設(shè)雙曲線x 2 y 2-a 2 9=1

16、(a >0)的漸近線方程為3x ±2 y =0, 則 a 的值為（ ）A4 B3 C2 D1 答案：C解析：由雙曲線方程可知漸近線方程為y =±3ax，故可知 a =2 。2 22 28.【2012 高考四川文 15】橢圓x 2 y 2+a 2 5=1(a為定值，且a > 5)的的左焦點為F，直線x =m與橢圓相交于點A、B，DFAB的周長的最大值是 12，則該橢圓的離心率是_。【答案】23，解析根據(jù)橢圓定義知：4a=12, 得 a=3 , 又Q ac 2 c =2, e =a 32 -c 2=5點評本題考查對橢圓概念的掌握程度.突出展現(xiàn)高考前的復習要回歸課本的

17、新課標理念.9.【2012 高考遼寧文 15】已知雙曲線 x2-y2 =1,點 F ,F 為其兩個焦點，點 P 為雙曲線上一點，若 P F P F ,則1 2 1 2P F +P F 的值為_. 1 2【答案】2 3【命題意圖】本題主要考查雙曲線的定義、標準方程以及轉(zhuǎn)化思想和運算求解能力，難度適中?！窘馕觥坑呻p曲線的方程可知a =1, c =2, PF - PF =2 a =2,1 2 PF -2 PF PF + PF 1 1 2 2Q PF PF , PF + PF 1 2 1 2=4=(2c) 2 =8, 2 PF PF =4,1 2 ( PF + PF ) 1 22=8 +4 =12,

18、PF + PF =2 31 2【點評】解題時要充分利用雙曲線的定義和勾股定理，實現(xiàn)差積和的轉(zhuǎn)化。10.【2012 高考江蘇 8】（5 分）在平面直角坐標系 xOy 中，若雙曲線 【答案】2?！究键c】雙曲線的性質(zhì)。x 2 y 2- =1 的離心率為 5 ，則 m 的值為 m m 2 +4【解析】由x 2 y 2- =1 得 a = m， b = m m m 2 +42+4， c = m +m 2 +4 。c m +m 2 +4 e = =a m= 5，即 m2-4 m +4=0 ，解得 m =2 。11.【2012 高考安徽文 14】過拋物線3【答案】2y2=4 x 的焦點 F 的直線交該拋物線

19、于 A, B 兩點，若| AF |=3 ，則| BF | =_?！窘馕觥吭O(shè)ÐAFx =q(0 <q<p)及 BF =m ；則點A到準線l : x =-1的距離為3得：3 =2 +3cosqÛ cosq=1 2 3 又 m =2 +m cos(p-q)Û m = =3 1 +cos q 212.（2011 年高考遼寧卷文科 7)已知 F 是拋物線 y 2 =x 的焦點，AB 是該拋物線上的兩點,|AF|+|BF|=3,則線段îï ïî îAB 的中點到 y 軸的距離為。5解析：設(shè) A、B 的橫坐標分別是

20、m、n，由拋物線定義，得 m +n 5=4，故線段 AB 的中點到 y 軸的距離為 。 2 4AF +BF =3=m+1 1 1 5 +n+ = m+n+ =3，故 m+n= ，4 4 2 213、【2012 高考廣東文 20】（本小題滿分 14 分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓 C ：1x 2 y 2+ =1a2 b2（a >b >0）的左焦點為F ( -1,0)1，且點P(0,1) 在 C1上.（1）求橢圓 C 的方程；1（2）設(shè)直線 l 同時與橢圓 C 和拋物線 C ： y1 22=4 x相切，求直線 l 的方程.【解析】（1）因為橢圓C1的左焦點為F ( -1,0)1

21、，所以c =1，點P(0,1)代入橢圓x 2 y 2 1 + =1 ，得a2 b2 b2=1，即b =1，所以a 2 =b 2 +c 2 =2，所以橢圓 C 的方程為1x 22+y2=1.（2）直線 l 的斜率顯然存在，設(shè)直線 l 的方程為y =kx +m，ìx2ï +yí22=1，消去y并整理得(1+2 k 2 ) x 2 +4 kmx +2 m 2 -2 =0，ïîy =kx +m因為直線l與橢圓C1相切，所以D=16 k 2 m 2 -4(1+2 k 2 )(2 m 2 -2) =0，整理得2k 2 -m 2 +1 =0ìy2

22、=4 x íy =kx +m，消去y并整理得k 2 x 2 +(2 km -4) x +m 2 =0。因為直線l與拋物線 C 相切，所以 D=(2 km -4) 2 -4 k 2 m 2 =0 2，整理得km =1ì 2 ìïk = ïk =-綜合，解得 í 2 或 í22 。m = 2 m =- 2所以直線l的方程為y =2 2x + 2 或 y =- x - 2 2 2。= BF + F F2 1ï2 2 2 214、【2012 高考安徽文 20】（本小題滿分 13 分）如圖，F(xiàn) , F1 2分別是橢圓 C ：

23、x 2 y 2+ =1（a 2 b 2a >b >0）的左、右焦點， A 是橢圓 C 的頂點， B 是直線 AF2與橢圓C的另一個交點，ÐF A F1 2=60°.（）求橢圓C的離心率；（）已知A F B1的面積為 403，求 a, b 的值.【解析】（I）ÐF AF =60oÛ a =2c Û e = 1 2c 1=a 2（）設(shè)BF =m ；則 BF =2a -m 2 1在DBF F1 2中，BF12 2 22 1 2-2 BF ´F F ´cos120o 2 1 2Û (2 a -m )2 =m 2

24、 +a 2+am Û m =35aDAF B11 1 3 3S = ´F F ´ AB ´sin 60oÛ ´a ´(a + a ) ´ =40 3 面積 2 2 5 2Û a =10, c =5, b =5 315.【2102 高考北京文 19】(本小題共 14 分)已知橢圓 C：x2 y 2 2+ =1（ab0）的一個頂點為 A （2,0），離心率為 ， 直線 y=k(x-1)與橢圓 C 交與不同的 a2 b2 2兩點 M,N（）求橢圓 C 的方程（）當AMN 的面積為103時，求 k 的值【考點定位

25、】此題難度集中在運算，但是整體題目難度確實不大，從形式到條件的設(shè)計都是非常熟悉的，相信平時 對曲線的練習程度不錯的學生做起來應(yīng)該是比較容易的。ìa =2ïï解：（1）由題意得 íïïaî2c 2=a 2 =b 2 +c2解得b = 2.所以橢圓 C 的方程為x 2 y 2+ =14 2.（2）由ìy =k ( x -1) ïíx 2 y 2 + =1î4 2得(1+2 k 2 ) x 2 -4 k 2 x +2 k 2 -4 =0.設(shè)點 M,N 的坐標分別為( x , y ) ，( x

26、 , y ) ，則 y =k ( x -1) ， y =k ( x -1) ，x +x = 1 1 2 2 1 1 2 2 1 24k 21 +2 k2，x x =1 22k 2 -4 1 +2 k 2.所以|MN|=( x -x ) +( y -y ) = (1+k )( x +x ) -4 x x 2 1 2 1 1 2 1 2=2 (1+k 2 )(4 +6 k 2 )1 +2 k 2.由因為點 A(2,0)到直線y =k ( x -1）的距離d =| k |1 +2 k2，所以AMN 的面積為S =1 | k | 4 +6 k 2 | k | 4 +6 k 2 10 | MN | &#

27、215;d= . 由 =2 1 +2 k 2 1 +2 k 2 3，解得k =±1.0000016.【2102 高考福建文 21】（本小題滿分 12 分）如圖，等邊三角形 OAB 的邊長為8 3，且其三個頂點均在拋物線 E：x2=2py（p0）上。（1） 求拋物線 E 的方程；（2） 設(shè)動直線 l 與拋物線 E 相切于點 P，與直線 y=-1 相較于點 Q。證明以 PQ 為直徑的圓恒過 y 軸上某定點。 考點：圓錐曲線的定義，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，定值的證明。難度：難。分析：本題考查的知識點為拋物線方程的求解，直線和圓錐曲線的聯(lián)立，定值的表示及計算。解答：（I）設(shè)A( x , y

28、 ), B ( x , y ) ；則 x 2 1 1 2 2 1=2 py , x 122=2 py2OA =OB Û x 2 +y 2 =x 2 +y 2 Û 2 py +y 2 =2 py +y1 1 2 2 1 1 222Û ( y -y )(2 p +y +y ) =0 Û y =y (Q 2 p, y , y >0)1 2 1 2 1 2 1 2得：點A, B關(guān)于y軸對稱（lfxlby）OA = OB = AB =8 3 Þ A( -4 3,12), B (4 3,12)代入拋物線E的方程得：p =x22 y=2 Þ拋

29、物線E的方程為x2=4 y（II）設(shè)P ( x ,0x 20 )4；則1 1 y = x 2 Þ y¢= x4 2過點P的切線方程為y -1 1 1 1 x 2 = x ( x -x ) 即 y = x x - x 24 2 2 4令x 2 -4x =-1Þ Q ( 0 , -1)2 x0設(shè)M (0, t )滿足：uuur uuuur MP gMQ =0及uuur uuuur MP =( x , y -t ), MQ =(0 0x 2 -402 x0, -1-t)得：4(t 2 +t -2) +(1 -t ) x 2 =00對x ¹00均成立Û t 2 +t -2 =0,1 -t =0 Û t =1以 PQ 為直徑的圓恒過 y 軸上定點M (0,1)2î| b|ï1 22 -k21 12 22î2 -k22b217.【2012 高考上海文 22】（本題滿分 16 分）本題共有 3 個小題，第 1 小題滿分 5 分，第 2 小題滿分 5 分，第 3 小 題滿分 6 分在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C : 2 x2 -y 2=1（1）設(shè)F是C的左焦點，M是C右支上一點，若MF =2 2，求點