2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第9節(jié) 函數(shù)與方程 教案

1、第九節(jié)函數(shù)與方程最新考綱結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個數(shù)1函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義對于函數(shù)yf(x)(xd)，把使f(x)0的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xd)的零點(2)三個等價關(guān)系方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根2二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖

2、象與零點的關(guān)系000二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸的交點(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點零點個數(shù)210有關(guān)函數(shù)零點的3個結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點()(2)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)0.()(3)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)

3、·f(b)0，則函數(shù)f(x)在a，b上有且只有一個零點()(4)二次函數(shù)yax2bxc在b24ac0時沒有零點()答案(1)×(2)×(3)×(4)二、教材改編1已知函數(shù)yf(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對應(yīng)值表：x123456y124.4337424.536.7123.6則函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,6上的零點至少有()a2個b3個c4個 d5個bf(2)·f(3)0，f(3)·f(4)0，f(4)·f(5)0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間1,6內(nèi)至少有3個零點2函數(shù)f(x)ln x2x6的零點所在的區(qū)間是()a(0,1)

4、b(1,2)c(2,3) d(3,4)c由題意得f(1)ln 12640，f(2)ln 246ln 220，f(3)ln 366ln 30，f(4)ln 486ln 420，f(x)的零點所在的區(qū)間為(2,3)3函數(shù)f(x)ex3x的零點個數(shù)是_1由已知得f(x)ex30，所以f(x)在r上單調(diào)遞增，又f(1)30，f(0)10，因此函數(shù)f(x)有且只有一個零點4函數(shù)f(x)xx的零點個數(shù)為_1作函數(shù)y1x和y2x的圖象如圖所示由圖象知函數(shù)f(x)有1個零點考點1函數(shù)零點所在區(qū)間的判定判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法(1)解方程法，當(dāng)對應(yīng)方程易解時，可直接解方程(2)零點存在性定理(3)數(shù)形結(jié)合法，

5、畫出相應(yīng)函數(shù)圖象，觀察與x軸交點來判斷，或轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象在所給區(qū)間上是否有交點來判斷1.函數(shù)f(x)ln x的零點所在的區(qū)間為()a(0,1)b(1,2)c(2,3) d(3,4)b由題意知函數(shù)f(x)是增函數(shù)，因為f(1)0，f(2)ln 2ln 2ln 0，所以函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間是(1,2)故選b.2若abc，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間()a(a，b)和(b，c)內(nèi)b(，a)和(a，b)內(nèi)c(b，c)和(c，)內(nèi)d(，a)和(c，)內(nèi)aabc，f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(

6、cb)0，由函數(shù)零點存在性判定定理可知：在區(qū)間(a，b)(b，c)內(nèi)分別存在一個零點；又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個零點，因此函數(shù)f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)，故選a.3已知函數(shù)f(x)ln x2x6的零點在(kz)內(nèi)，那么k_.5f(x)20，x(0，)，f(x)在x(0，)上單調(diào)遞增，且fln 10，f(3)ln 30，f(x)的零點在內(nèi)，則整數(shù)k5.(1)f(a)·f(b)0是連續(xù)函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a，b上有零點的充分不必要條件(2)若函數(shù)f(x)在a，b上是單調(diào)函數(shù)，且f(x)的圖象連續(xù)不斷，則f(a)·f(b)0函數(shù)f(x)在區(qū)

7、間a，b上只有一個零點考點2函數(shù)零點個數(shù)的判斷函數(shù)零點個數(shù)的討論，基本解法有(1)直接法，令f(x)0，在定義域范圍內(nèi)有多少個解則有多少個零點(2)定理法，利用定理時往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等(3)圖象法，一般是把函數(shù)分拆為兩個簡單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)得出函數(shù)的零點個數(shù)(1)(2019·全國卷)函數(shù)f(x)2sin xsin 2x在0,2的零點個數(shù)為()a2 b3c4 d5(2)函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為()a0 b1c2 d3(3)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)exx3，則f(x)的零點個數(shù)為()a1 b2c3 d4(1)b(2)d(3)c(

8、1)由f(x)2sin xsin 2x2sin x2sin xcos x2sin x·(1cos x)0得sin x0或cos x1，xk，kz，又x0,2，x0，2，即零點有3個，故選b.(2)依題意，在考慮x0時可以畫出函數(shù)yln x與yx22x的圖象(如圖)，可知兩個函數(shù)的圖象有兩個交點，當(dāng)x0時，函數(shù)f(x)2x1與x軸只有一個交點，綜上，函數(shù)f(x)有3個零點故選d.(3)因為函數(shù)f(x)是定義域為r的奇函數(shù)，所以f(0)0，即x0是函數(shù)f(x)的1個零點當(dāng)x0時，令f(x)exx30，則exx3，分別畫出函數(shù)yex和yx3的圖象，如圖所示，兩函數(shù)圖象有1個交點，所以函數(shù)f

9、(x)有1個零點根據(jù)對稱性知，當(dāng)x0時，函數(shù)f(x)也有1個零點綜上所述，f(x)的零點個數(shù)為3.(1)利用函數(shù)的零點存在性定理時，不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點(2)圖象法求函數(shù)零點個數(shù)的關(guān)鍵是正確畫出函數(shù)的圖象在畫函數(shù)的圖象時，常利用函數(shù)的性質(zhì)，如周期性、對稱性等，同時還要注意函數(shù)定義域的限制1.函數(shù)f(x)2x|log0.5 x|1的零點個數(shù)為()a1 b2c3 d4b令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|x.設(shè)g(x)|log0.5x|，h(x)x.在同

10、一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)g(x)，h(x)的圖象，可以發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)圖象一定有2個交點，因此函數(shù)f(x)有2個零點故選b.2已知函數(shù)f(x)若f(0)2，f(1)1，則函數(shù)g(x)f(x)x的零點個數(shù)為_3依題意得由此解得由g(x)0得f(x)x0，該方程等價于 或 解得x2，解得x1或x2.因此，函數(shù)g(x)f(x)x的零點個數(shù)為3.考點3函數(shù)零點的應(yīng)用根據(jù)函數(shù)零點的情況求參數(shù)的3種常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象

11、，然后數(shù)形結(jié)合求解根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)已知函數(shù)f(x)|x23x|，xr，若方程f(x)a|x1|0恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是_(0,1)(9，)設(shè)y1f(x)|x23x|，y2a|x1|，在同一直角坐標(biāo)系中作出y1|x23x|，y2a|x1|的圖象如圖所示由圖可知f(x)a|x1|0有4個互異的實數(shù)根等價于y1|x23x|與y2a|x1|的圖象有4個不同的交點且4個交點的橫坐標(biāo)都小于1，所以 有兩組不同解，消去y得x2(3a)xa0有兩個不等實根，所以(3a)24a0，即a210a90，解得a1或a9.又由圖象得a0，0a1或a9.由函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的值或范圍的策略已知

12、函數(shù)的零點個數(shù)，一般利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，這時圖形一定要準(zhǔn)確，這種數(shù)形結(jié)合的方法能夠幫助我們直觀解題根據(jù)函數(shù)有無零點求參數(shù)已知函數(shù)f(x)則使函數(shù)g(x)f(x)xm有零點的實數(shù)m的取值范圍是_(，0(1，)函數(shù)g(x)f(x)xm的零點就是方程f(x)xm的根，畫出h(x)f(x)x的大致圖象(圖略)觀察它與直線ym的交點，得知當(dāng)m0或m1時，有交點，即函數(shù)g(x)f(x)xm有零點函數(shù)有無零點問題函數(shù)圖象與x軸有無公共點問題根據(jù)零點的范圍求參數(shù)若函數(shù)f(x)(m2)x2mx(2m1)的兩個零點分別在區(qū)間(1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則m的取值范圍是_依題意，結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象分析可知m需滿足即解得m.此類問題多轉(zhuǎn)化為討論區(qū)間端點處函數(shù)值的符號求解1.函數(shù)f(x)2xa的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是()a(1,3) b(1,2)c(0,3) d(0,2)c因為f(x)在(0，)上是增函數(shù)，則由題意得f(1)·f(2)(0a)(3a)0，解得0a3，故選c.2方程log(a