高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總教案：5.6　函數(shù)y＝Asin(ωx＋ )的圖象和性質(zhì)

1、5.6函數(shù)yasin(x)的圖象和性質(zhì)典例精析題型一“五點(diǎn)法”作函數(shù)圖象【例1】設(shè)函數(shù)f(x)sin xcos x(0)的周期為.(1)求它的振幅、初相；(2)用五點(diǎn)法作出它在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖象；(3)說明函數(shù)f(x)的圖象可由ysin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到.【解析】(1)f(x)sin xcos x2(sin xcos x)2sin(x)，又因?yàn)閠，所以，即2，所以f(x)2sin(2x)，所以函數(shù)f(x)sin xcos x(0)的振幅為2，初相為.(2)列出下表，并描點(diǎn)畫出圖象如圖所示.來(lái)源:(3)把ysin x圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)sin(x)的圖象，再

2、把ysin(x)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)sin(2x)的圖象，然后把ysin(2x)的圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)2sin(2x)的圖象.【點(diǎn)撥】用“五點(diǎn)法”作圖，先將原函數(shù)化為yasin(x)(a0，0)形式，再令x0，2求出相應(yīng)的x值及相應(yīng)的y值，就可以得到函數(shù)圖象上一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)點(diǎn)，用平滑的曲線連接五個(gè)點(diǎn)，再向兩端延伸即可得到函數(shù)在整個(gè)定義域上的圖象.來(lái)源:【變式訓(xùn)練1】函數(shù)的圖象如圖所示，則()a.k，b.k，c.k，2，d.k2，【解析】本題的函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，其中一個(gè)是一次函數(shù)，其圖象是一條直線，由圖象可判斷

3、該直線的斜率k.另一個(gè)函數(shù)是三角函數(shù)，三角函數(shù)解析式中的參數(shù)由三角函數(shù)的周期決定，由圖象可知函數(shù)的周期為t4×()4，故.將點(diǎn)(，0)代入解析式y(tǒng)2sin(x)，得×k，kz，所以k，kz.結(jié)合各選項(xiàng)可知，選項(xiàng)a正確.來(lái)源:題型二三角函數(shù)的單調(diào)性與值域【例2】已知函數(shù)f(x)sin2xsin xsin(x)2cos2x，xr(0)在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.(1)求的值；(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】(1)f(x)sin 2

4、xcos 2xsin(2x).令2x，將x代入可得1.(2)由(1)得f(x)sin(2x)，經(jīng)過題設(shè)的變化得到函數(shù)g(x)sin(x)，當(dāng)x4k，kz時(shí)，函數(shù)g(x)取得最大值.令2kx2k，即4k，4k(kz)為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用、三角函數(shù)圖象性質(zhì)及變換.【變式訓(xùn)練2】若將函數(shù)y2sin(3x)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱，則|的最小值是()a.b.c.d.來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)【解析】將函數(shù)y2sin(3x)的圖象向右平移個(gè)單位后得到y(tǒng)2sin3(x)2sin(3x)的圖象.因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱，所以2sin(3&#

5、215;)2sin()0，故有k(kz)，解得k(kz).當(dāng)k0時(shí)，|取得最小值，故選a.題型三三角函數(shù)的綜合應(yīng)用【例3】已知函數(shù)yf(x)asin2(x)(a0，0,0)的最大值為2，其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，并過點(diǎn)(1,2).(1)求的值；(2)求f(1)f(2)f(2 008).【解析】(1)yasin2(x)cos(2x2)，因?yàn)閥f(x)的最大值為2，又a0， 所以2，所以a2，又因?yàn)槠鋱D象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，0，所以×2，所以.所以f(x)cos(x2)1cos(x2)，因?yàn)閥f(x)過點(diǎn)(1,2)，所以cos(2)1.所以22k(kz)，解得k(kz)，又因

6、為0，所以.(2)方法一：因?yàn)?，所以y1cos(x)1sin x，來(lái)源:所以f(1)f(2)f(3)f(4)21014，又因?yàn)閥f(x)的周期為4,2 0084×502.所以f(1)f(2)f(2 008)4×5022 008.方法二：因?yàn)閒(x)2sin2(x)，所以f(1)f(3)2sin2()2sin2()2，f(2)f(4)2sin2()2sin2()2，所以f(1)f(2)f(3)f(4)4，又因?yàn)閥f(x)的周期為4,2 0084×502.所以f(1)f(2)f(2 008)4×5022 008.【點(diǎn)撥】函數(shù)yacos(x)的對(duì)稱軸由xk，可

7、得x，兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為周期的一半，解決該類問題可畫出相應(yīng)的三角函數(shù)的圖象，借助數(shù)形結(jié)合的思想解決.【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)acos2x2(a0，0)的最大值為6，其相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為4，則f(2)f(4)f(6)f(20).【解析】f(x)acos2x2a×22，則由題意知a26，8，所以a4，所以f(x)2cos x4，所以f(2)4，f(4)2，f(6)4，f(8)6，f(10)4，觀察周期性規(guī)律可知f(2)f(4)f(20)2×(4246)4238.總結(jié)提高1.用“五點(diǎn)法”作yasin(x)的圖象，關(guān)鍵是五個(gè)點(diǎn)的選取，一般令x0，2，即可得到作圖所需的五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)，若要求畫出給定區(qū)間上的函數(shù)圖象時(shí)，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整x的取值，以便列表時(shí)能使x在給定的區(qū)間內(nèi)取值.2.在圖象變換時(shí)，要注意相位變換與周