三角恒等變換專題

1、三角恒等變換專題復(fù)習(xí)（一）201287一、基本內(nèi)容串講1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式如下:msin sinsin() sin cos cos sin cos() cos costan(tan tan1 mta n tan對(duì)其變形：tan a+ tan B =tan ( a +B )(1-tan a tan B )有時(shí)應(yīng)用該公式比較方便。2二倍角的正弦、余弦、正切公式如下:sin 2 sin cos2Ncos2 cossin2cos 1221 2si ntan 22ta n1 tan2要熟悉余弦“倍角”與“二次”的關(guān)系（升角一降次，降角一升次）特別注意公式的三角表達(dá)形式，且要善于變形，cos

2、2 1 COS 2s/v子這兩個(gè)形式常用23. 輔助角公式：4. 簡(jiǎn)單的三角恒等變換（1）變換對(duì)象：角、名稱和形式，三角變換只變其形，不變其質(zhì)。（2）變換目標(biāo)：利用公式簡(jiǎn)化三角函數(shù)式，達(dá)到化簡(jiǎn)、計(jì)算或證明的目的。（3）變換依據(jù)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）變換思路：明確變換目標(biāo)，選擇變換公式，設(shè)計(jì)變換途徑。5. 常見題目類型及解題技巧（最后師生共同總結(jié)）二、考點(diǎn)闡述考點(diǎn)1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式。1、sin20°cos40° cos20°sin40° 的值等于（丿42、若 tan 3, tan ,則 ta

3、n （）等于（）3考點(diǎn)2二倍角的正弦、余弦、正切公式23、cos cos 的值等于（）5534、已知0A,且cos A ,那么sin2A等于（）2 5考點(diǎn)3運(yùn)用相關(guān)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換5已知tan()2,ta n(1mil 1/、1 壬 Mr k /-)5444226已知口 sin1Qin1 mil ./、/士/聖)23727函數(shù)f (x)cos2 (x )sin 2(x) 1 是(C )1212(A)周期為2的奇函數(shù)(B)周期為2的偶函數(shù)(C)周期為的奇函數(shù)(D)周期為的偶函數(shù)三、解題方法分析1 熟悉三角函數(shù)公式，從公式的內(nèi)在聯(lián)系上尋找切入點(diǎn)【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)中出現(xiàn)的公式較多，要從角

4、名稱、結(jié)構(gòu)上弄清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，做到真正的理解、記熟、用 活。解決問題時(shí)究竟使用哪個(gè)公式，要抓住問題的實(shí)質(zhì)，善于聯(lián)想，靈活運(yùn)用。.a2 b2 sin(x )B卩 asinx+bcosx= . a2 b2 sin(x)(其中 tan)是常用轉(zhuǎn)化手段。a特別是與特殊角有關(guān)的sin 土 c°sx, ± sinx ± ,3c°sx,要熟練掌握其變形結(jié)論。-cos6°22tan13。1 ta n213。sin 50。2c°S25?！军c(diǎn)評(píng)】：本題屬于“理解”層次，要能善于正用、逆用、變用公式。例如:sin c°s,c°sS

5、I n2c°s2rZ sinc°s2童一tan21 tan1 2 sin c°s (sinc°s )2,1c°s2c22c °sc°s2 2 sin2c 乙1 c°s2憶sinc°s2,tan+ tanB =ta n(a + B )(1- tan a tanc s2 ,2等c帛外.二角諫I數(shù)式asinx+bcosx是基本三角函數(shù)式之一，引進(jìn)輔助角，將它化為2 明確三角恒等變換的目的，從數(shù)學(xué)思想方法上尋找突破口(1)運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換【方法點(diǎn)撥】教材中兩角和與差的正、余弦公式以及二倍角公式

6、的推導(dǎo)都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，應(yīng)用該思想能有 效解決三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值、證明中角、名稱、形式的變換問題。例 2.已知 n v B v a v 5, c°s ( a B ) =12, sin (a + B )=，求 si n2 a 的24135值(一5665(本題屬于“理解”層次，解答的關(guān)鍵在于分析角的特點(diǎn)，2a= ( a- B ) + (a +卩)例2解答:例 3化簡(jiǎn):2si n50 ° +sin10 °(1+A3tan10 ° H* J sin2 80【解析】:原式二【點(diǎn)評(píng)】：木題屬于“理解”層次，解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用“化切為弦”的方法，再利用兩

7、角和與差的三角函數(shù) 關(guān)系式整理化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)時(shí)要求使三角函數(shù)式成為最簡(jiǎn)：項(xiàng)數(shù)盡量少，名稱盡量少，次數(shù)盡量底，分母盡量不含三角函數(shù), 根號(hào)內(nèi)盡量不含三角函數(shù)，能求值的盡量求出值來。(2)運(yùn)用函數(shù)方程思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)也是函數(shù)中的一種，其變換的實(shí)質(zhì)仍是函數(shù)的變換。因此，有時(shí)在三角恒等變換中，可以把某 個(gè)三角函數(shù)式看作未知數(shù)，禾U用條件或公式列出關(guān)于未知數(shù)的方程求解。的值.例 4：已知 sin (a + p )=，sin ( a B ) =3,求一 J 仙_tan3 4tan tan()【解析】ian()lan【an _ian(2 一tan tan()tan( )(1 tan2ta

8、n tan()tan ) = tantan=17【點(diǎn)評(píng)】:本題屬于“理解”層次，考查學(xué)生對(duì)所學(xué)過的內(nèi)容能進(jìn)行理性分析，善于利用題中的條件 運(yùn)用方程思想達(dá) 到求值的目的。(3)運(yùn)用換元思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換【方法點(diǎn)撥】換元的目的就是為了化繁為簡(jiǎn)，促使未知向己知轉(zhuǎn)化，可以利用特定的關(guān)系，把某個(gè)式子用新元表示,實(shí)行變量替換，從而順利求解,解題時(shí)要特別注意新元的范圍。例5:若sinsin求coscos的取值范圍?！窘馕觥?coscost,則(sinsin 尸(cos2cos )%,即 2 2cos()t22cos(t232t22,1 t27,22.14 cos2cos14得cosr rafb【點(diǎn)評(píng)】:

9、本題屬于“理解”層次，解題的關(guān)鍵是將要求的式子代數(shù)、三角變換等手段求出取值范圍。3 關(guān)注三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的綜合，從知識(shí)聯(lián)系上尋找結(jié)合c°sc°s看作一個(gè)整體，通過點(diǎn)【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的聯(lián)系比較廣泛，主要體現(xiàn)在與函數(shù)、平而向量、解析幾何等知識(shí)的聯(lián)系與綜合，特 別是與平面向量的綜合，要適當(dāng)注意知識(shí)間的聯(lián)系與整合。r _rr r例 6:已知：向量 a (”3, 1) , b (sin2x, cos2x),函數(shù) f(x) a b(1) 若f(x)O且Ox,求x的值；x或一12 12(2) 求函數(shù)f(x)取得最大值時(shí)，向量a與b的夾角.【解析】：f (x) a b = .

10、3sin 2x cos2x析和計(jì)算能力四、課堂練習(xí)精品文柿1 sin 165 o= t)A.：6 24C.Q 口 Zen w In2()A- 24724C.2472474 化簡(jiǎn) 2sin ( n 4x)sinq+x),其結(jié)果是(A. sin2xB.cos2xC.cos2xD.sin2x2. sin14 ocosl 6o+sin76 ocos74o 的值是(6. "Ua"5的值為5. sin -3 cos的值是12 122A. 0 Btan752.3A. 2.37.若 cos-sin則角22A.7x 24yB7x24y08.COScos sinsi2 sin5122、3的終邊

11、一定落在直線)上。C 24x 7y 0 D 24x 7y 091 tan 151 tnn1 B10. tan20°tan40°、3tan20° tan 40。的值是11.求證:cos2!si n212 .已知 tan2cot tan2211,求3的值.5.求C°S2X的值cos( x)13 已知 Ox ,si n( x)4 4用品文檔14若 A0sin A cos A J求SsinA的值15sin A 7 cos Ac15在 ABC 中，若 sin Asin B=cos2-2,則厶 ABCX）A.等邊三角形B .等腰三角形C.不等邊三角形D 直角三角形COS217求證:1 2 sin coscos乙sin乙 a1 tan1 tan18.已知 sin a =12, si