復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式

1、初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式4.1復(fù)數(shù)的三角形式4.2復(fù)數(shù)的指數(shù)形式4.3復(fù)數(shù)的應(yīng)用在中學(xué)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過復(fù)數(shù)及其用代數(shù)形式a+bi表達(dá)的四則運(yùn)算法則及算律。量子力學(xué)中波函數(shù)普遍來說是復(fù)數(shù)形式的，而上述實(shí)部加虛部的形式在很多情況下不方便使用，因此我們有必要對復(fù)數(shù)了解得更多些。本講講三個問題初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究4.1、復(fù)數(shù)的三角形式一、復(fù)數(shù)的幅角與模我們知道復(fù)數(shù)a+bi對應(yīng)著復(fù)平面上的點(diǎn)(a, b)，也對應(yīng)復(fù)平面上一個向量（如右圖所示）這個向量的長度叫做復(fù)數(shù)a+bi的模，記為|a+bi|，一般情況下，復(fù)數(shù)的模用字母r表示。xy同時，這個向量針對x軸的正方向

2、有一個方向角，我們稱為幅角，記為arg(a+bi)，幅角一般情形下用希臘字母表示。顯然 sin,cosrbra 把它們代入復(fù)數(shù)的代數(shù)形式得：cossin(cossin )abirirri初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究4.1、復(fù)數(shù)的三角形式這樣，我們把 叫做復(fù)數(shù)a+bi的三角形式(cossin )ri cossin(cossin )abirirri二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則引入復(fù)數(shù)三角形式的一個重要原因在于用三角形式進(jìn)行乘除法、乘方、開方相對于代數(shù)形式較為簡單。所以這里只介紹三角形式的乘法、除法、乘方與開方的運(yùn)算法則。1、復(fù)數(shù)的乘法設(shè)1111(cossin)zri2222(cossin)zri

3、那么1 2111111 (cossin) (cossin)z zriri初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究4.1、復(fù)數(shù)的三角形式二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則1、復(fù)數(shù)的乘法1 2111222 (cossin) (cossin)z zriri1 212121 21212(coscossinsin)(sincoscossin)rrirr1 21212cos()sin()rri這說明，兩個復(fù)數(shù)相乘等于它們的模相乘而幅角相加即1 21 21212cos()sin()z zrri這個運(yùn)算在幾何上可以用下面的方法進(jìn)行：將向量z1的模擴(kuò)大為原來的r2倍，然后再將它繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)角2，就得到z1z2。初等數(shù)學(xué)專題

4、研究初等數(shù)學(xué)專題研究4.1、復(fù)數(shù)的三角形式二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則2、復(fù)數(shù)的除法11112222(cossin)(cossin)rizzri 1112222222(cossin)(cossin)(cossin)(cossin)riirii 1121221212(coscossinsin)(sincoscossin)rri112122cos()sin()rir初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究4.1、復(fù)數(shù)的三角形式二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則2、復(fù)數(shù)的除法11121222cos()sin()zrizr即這說明，兩個復(fù)數(shù)相除等于它們的模相除而幅角相減這個運(yùn)算在幾何上可以用下面的方法進(jìn)行：將向量z1的

5、?？s小為原來的r2分之一，然后再將它繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)角2，就得到z1z2。3、復(fù)數(shù)的乘方。利用復(fù)數(shù)的乘法不難得到(cossin)nnzrnin這說明，復(fù)數(shù)的n次方等于它模的n次方，幅角的n倍。初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究4、復(fù)數(shù)的開方對于復(fù)數(shù) ，根據(jù)代數(shù)基本定理及其推論知，任何一個復(fù)數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)都有n個不同的n次方根。 (cossin )zri將向量z1的模變?yōu)樵瓉淼膎次方，然后再將它繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)角n，就得到zn。4.1、復(fù)數(shù)的三角形式二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則3、復(fù)數(shù)的乘方。這個運(yùn)算在幾何上可以用下面的方法進(jìn)行：(cossin)nnzrnin設(shè) 的一個n次方根為(cossin )z

6、ri(cossin)i初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究4、復(fù)數(shù)的開方4.1、復(fù)數(shù)的三角形式二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則那么 (cossin)(cossin)nnninin所以2012,(,)nrnkk 即22012,(,)nkkrknnn 顯然，當(dāng)k從0依次取到n1,所得到的角的終邊互不相同，但k從n開始取值后，前面的終邊又周期性出現(xiàn)。因此，復(fù)數(shù)z的n個n次方根為220 1 21(cossin),(, , ,)nkkkriknnn 初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究4、復(fù)數(shù)的開方4.1、復(fù)數(shù)的三角形式二、復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則220 1 21(cossin),(, , ,)nkkkriknnn 從

7、求根公式可以看出，相鄰兩個根之間幅角相差n 所以復(fù)數(shù)z的n個n次方根均勻地分布在以原點(diǎn)為圓心，以它的模的n次算術(shù)根為半徑的圓周上。因此，求一個復(fù)數(shù)z的全部n次方根，可以用下面的幾何手段進(jìn)行：(cossin )zri先作出圓心在原點(diǎn)，半徑為 的圓，然后作出角 的終邊nrn 以這條終邊與圓的交點(diǎn)為分點(diǎn)，將圓周n等分，那么，每個等分點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是復(fù)數(shù)z的n次方根。初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究4.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式在對復(fù)數(shù)三角形式的乘法規(guī)則討論中，我們發(fā)現(xiàn)，復(fù)數(shù)的三角形式將復(fù)數(shù)的乘法“部分地”轉(zhuǎn)變成加法（模相乘，幅角相加）這種改變運(yùn)算等級的現(xiàn)象在初等函數(shù)中有過體現(xiàn)：對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)xyxya

8、aa log ()loglogaaaxyxy前者將兩個同底冪的乘積變成同底的指數(shù)相加；后者將兩個真數(shù)積的對數(shù)變成兩個同底對數(shù)的和。1 21 21212cos()sin()z zrri從形式上看，復(fù)數(shù)的乘法與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系更為密切些：121 2() ()()xyxybab abba 初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究4.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式根據(jù)這個特點(diǎn)，復(fù)數(shù) 應(yīng)該可以表示成某種指數(shù)形式(cossin )zri即復(fù)數(shù)應(yīng)該可以表示成 的形式xy a 這里有三個問題需要解決：（1）反映復(fù)數(shù)本質(zhì)特征的三個因素：模r、幅角、虛數(shù)單位i應(yīng)各自擺放在什么位置？（2）在這些位置上它們應(yīng)呈現(xiàn)什么形態(tài)？（3）作為指數(shù)形

9、式的底應(yīng)該用什么常數(shù)？先來研究第一個問題.初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究4.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式1 21 21212cos()sin()z zrri121 2() ()()xyxybab abba 再重新觀察下面的等式xy a 首先，顯然模r應(yīng)該占據(jù) 中系數(shù)y的位置,其次，幅角應(yīng)該占據(jù) 中指數(shù)x的位置,xy a 對于虛數(shù)單位i，如果放到系數(shù)y的位置會怎樣？由于222()xxi rar a 等式右邊是實(shí)數(shù)，對于任意虛數(shù)而言，這是不可能的。因此幅角也應(yīng)該占據(jù)指數(shù)的位置。這樣第二個問題就產(chǎn)生了：它與幅角一起在指數(shù)的位置上是什么關(guān)系？（相加？相乘？）初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究4.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形

10、式幅角與虛數(shù)單位i是相加的關(guān)系會怎樣？先考察模為1的復(fù)數(shù)cossini 如果寫成 的形式ia iiaaa 一方面，由于與 的形式差別不是很大，()ir a 其次()inni naa 在復(fù)數(shù)的乘方法則中，應(yīng)該僅是幅角的n倍而沒有虛數(shù)單位也要n倍，所以虛數(shù)單位與幅角不應(yīng)該是相加關(guān)系，而應(yīng)該是相乘關(guān)系izra 現(xiàn)在來審查乘法、除法和乘方法則是否吻合初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究4.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式12121 2121 2()()()()iiiz zrar arr a 1212121212()()()()iiizzrar arr a ()()ninni nzrar a 乘除法保持“模相乘除、幅角相

11、加減”、乘方保持“模的n次方、幅角的n倍”的本質(zhì)特征下面來解決最后一個問題：應(yīng)該選用哪個常數(shù)作為底數(shù)？我們暫時將 形式化地看做r與的“二元函數(shù)”(cossin )zri數(shù)學(xué)是“形式化的科學(xué)”，因此，一些形式化的性質(zhì)應(yīng)該“形式化”地保持不變。下面我們將 等式兩邊對形式化地求“偏微分”(cossin )irira 初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究(cossin )( sincos ) (cossin )riririizi 4.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式()lnlniiiarariraazia 于是由1lnlnizizaaae這樣我們利用不太嚴(yán)格的推理得到了復(fù)數(shù)的第三種表現(xiàn)形式指數(shù)式(cossin )iza

12、birire 從復(fù)數(shù)的模與幅角的角度看，復(fù)數(shù)的指數(shù)形式其實(shí)是三角形式的簡略化對于指數(shù)形式的嚴(yán)格證明可以參讀復(fù)數(shù)的指數(shù)形式的證明初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究,cos ,sinxexx2112!nxxxxen 246444212464442cos!()!()!nnxxxxxxnn 35743413574341sin!()!()!nnxxxxxxxnn xiz 2323456724635712312345671246357( )( )( )!()()!cossinnizizizizeiznzzzzzzziiiizzzzzzziziz 的證明：的證明：泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)法法 寫成泰勒級數(shù)形式：寫成泰

13、勒級數(shù)形式： 將將代入可得：代入可得： e iz = cos z+ i sin z（歐拉公式歐拉公式） z ?R 將函數(shù)將函數(shù)初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究4.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式由復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式，我們很容易得到下面的兩個公式：22cossincossincos,siniiiiiiieieeeeei 這兩個公式被統(tǒng)稱為歐拉公式在復(fù)數(shù)的指數(shù)形式中，令r=1,=，就得到下面的等式1 ie或10ie 初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究數(shù)學(xué)家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看著它但卻不能理解它。它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的五個數(shù)字就這么神秘地聯(lián)系到了一起：兩個超越數(shù)

14、自然對數(shù)的底e，圓周率；三個單位虛數(shù)單位i、自然數(shù)的乘法單位1和加法單位0。1 ie或10ie 4.2、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式關(guān)于自然對數(shù)的底e和圓周率，這里我想多說那么幾句：它們是迄今為止人類所發(fā)現(xiàn)的兩個彼此獨(dú)立的超越數(shù)，盡管從理論上我們知道，超越數(shù)比有理數(shù)、代數(shù)數(shù)（可以表示為有理系數(shù)一元多項(xiàng)式的根的數(shù)）要多得多，但為人類所認(rèn)識的超越數(shù)卻僅此兩個！令人不可思議的是，它們居然憑借這么一個簡單關(guān)系彼此聯(lián)系著。在復(fù)數(shù)的指數(shù)形式中，令r=1,=，就得到下面的等式初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究4.3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用利用復(fù)數(shù)的三角形式，我們可以比較容易地解決一些數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域里的問題。由于我們這門課的特點(diǎn)，我們僅限

15、于在初等數(shù)學(xué)領(lǐng)域里舉兩個例子。例1：三角級數(shù)求和2coscoscosn2sinsinsinn解：令cossinzi那么對任何自然數(shù)k，有cossinkzkik于是22222(cossin)(cossin)(cossin)(coscoscos)(sinsinsin)nzzziininnin初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究4.3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用例1：三角級數(shù)求和2coscoscosn2sinsinsinn解：另一方面22211112222222222()(cossin)(cossin)(cossin)(cossin)( sinsincos)sinsincosnnzzzzzzinininnnii 222

16、222sin(cossin)(cossin)sin(cossin)nnniii 初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究4.3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用例1：三角級數(shù)求和2coscoscosn2sinsinsinn解：222222sincos()sin()sinnnni 11222211222222sin(cossin)sinsincossinsinsinsinnnninnnni 初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究4.3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用例1：三角級數(shù)求和2coscoscosn2sinsinsinn即所以211222222sincossinsinsinsinnnnnnzzzi12222sincoscoscoscossinn

17、nn 12222sinsinsinsinsinsinnnn 初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究4.3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用例2：設(shè)M是單位圓周 x2 + y2 = 1上的動點(diǎn)，點(diǎn)N與定點(diǎn)A(2, 0)和點(diǎn)M構(gòu)成一個等邊三角形的頂點(diǎn)，并且MNAM成逆時針方向，當(dāng)M點(diǎn)移動時，求點(diǎn)N的軌跡。分析：此題若用一般解析幾何的方法尋找點(diǎn)M與N之間的顯性關(guān)系是比較困難的。下面用復(fù)數(shù)的乘法的幾何意義來尋找這種關(guān)系。設(shè)M、N、A對應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為：2Mxy iNxyiA那么向量AM可以用向量AN繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)300度得到用復(fù)數(shù)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)這個變換就是300300(cossin)AMiAN 初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究4.3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用例2：設(shè)M是單位圓周 x2 + y2 = 1上的動點(diǎn)，點(diǎn)N與定點(diǎn)A(2, 0)和點(diǎn)M構(gòu)成一個等邊三角形的頂點(diǎn)，并且MNAM成逆時針方向，當(dāng)M點(diǎn)移動時，求點(diǎn)N的軌跡。300300(cossin)AMiAN 即13222()ixy ixyi 所以3232 322,xyyxxy但221xy3232 322xyyxi300300(cossin) ()OMOAiONOA 初等數(shù)學(xué)專題研究初等數(shù)學(xué)專題研究故223232 3122()()xyyx4.3、復(fù)數(shù)的應(yīng)用例2：設(shè)M是單位圓周 x2 + y2 = 1上的動點(diǎn)，