電磁場與電磁波(矢量分析2015)

1、電磁場與電磁波電磁場與電磁波Electromagnetic Fields and Waves2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民2/62第第1 1章章 矢量分析矢量分析1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場1.2 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度1.3 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度1.4 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度1.5 場的重要性質(zhì)與定理場的重要性質(zhì)與定理1.6 圓柱和球坐標(biāo)系圓柱和球坐標(biāo)系2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民3/621.1 1.1

2、標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場一、一、“場場”的基本概念的基本概念場場緊張、害緊張、害怕怕課程難學(xué)課程難學(xué)無時(shí)無刻不在與無時(shí)無刻不在與“場場”打交道，每時(shí)打交道，每時(shí)每刻都處于每刻都處于“場場”中。中。2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民4/62“場場”是遍及一個界定的或者無限擴(kuò)展空間內(nèi)的是遍及一個界定的或者無限擴(kuò)展空間內(nèi)的存在著的某種必須予以重視和研究的效應(yīng)。存在著的某種必須予以重視和研究的效應(yīng)。1 1、“場場”的物理描述的物理描述熱效應(yīng)熱效應(yīng) 溫度場溫度場電效應(yīng)電效應(yīng) 電場電場磁效應(yīng)磁效應(yīng) 磁場磁場引力效應(yīng)引力效應(yīng) 重力場重力場每天每

3、天面對面對1.1 1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場若該效應(yīng)與時(shí)間無關(guān)，則該場稱為若該效應(yīng)與時(shí)間無關(guān)，則該場稱為靜態(tài)場靜態(tài)場；若該效應(yīng)與時(shí)；若該效應(yīng)與時(shí)間間有關(guān)，則該場稱為有關(guān)，則該場稱為動態(tài)場動態(tài)場或或時(shí)變場時(shí)變場?！皥鰣觥笨臻g內(nèi)空間內(nèi)效應(yīng)效應(yīng)2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民5/62“場場”是給定區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)數(shù)值的集合，由此規(guī)定是給定區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)數(shù)值的集合，由此規(guī)定了該區(qū)域內(nèi)某一特定量的特征。了該區(qū)域內(nèi)某一特定量的特征。2 2、“場場”的數(shù)學(xué)描述的數(shù)學(xué)描述數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)函數(shù)熱效應(yīng)熱效應(yīng) T(x，y，z，t）電效應(yīng)電效應(yīng) E(x，y，z

4、 ，t ）磁效應(yīng)磁效應(yīng) H(x，y，z ，t ）引力效應(yīng)引力效應(yīng) F(x，y，z ，t ）1.1 1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場 對對場場的研究就像研究其它數(shù)學(xué)問題一樣，只是函數(shù)形式及的研究就像研究其它數(shù)學(xué)問題一樣，只是函數(shù)形式及其求解的難易而已。其求解的難易而已。“場場”數(shù)值的集合數(shù)值的集合特征特征2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民6/62數(shù)學(xué)是使人類思維走向更高維度的橋梁；數(shù)學(xué)是使人類思維走向更高維度的橋梁；數(shù)學(xué)是描述宇宙萬物的最簡潔的語言；數(shù)學(xué)是描述宇宙萬物的最簡潔的語言；簡潔的語言是深奧的理論的源泉；簡潔的語言是深奧的理

5、論的源泉；本課程內(nèi)容只涉及到四維（三維空間時(shí)間）本課程內(nèi)容只涉及到四維（三維空間時(shí)間）1.1 1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民7/62舉例舉例1.1 1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場幾何圖形圓幾何圖形圓太陽的簡圖太陽的簡圖Q電荷的電場電荷的電場由左到右，問題越來越復(fù)雜，越來越抽象，感覺越來越怕，由左到右，問題越來越復(fù)雜，越來越抽象，感覺越來越怕，但是它們都是但是它們都是“場場” ” 。2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民8/621.1

6、1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場二、二、標(biāo)量與矢量標(biāo)量與矢量1 1、標(biāo)量：只有大小特征的量。、標(biāo)量：只有大小特征的量。數(shù)學(xué)上：實(shí)數(shù)域中的任何一個數(shù)就是一個標(biāo)量。數(shù)學(xué)上：實(shí)數(shù)域中的任何一個數(shù)就是一個標(biāo)量。物理學(xué)：溫度（物理學(xué)：溫度（T T），密度（），密度（d d），時(shí)間（），時(shí)間（t t） 體積（體積（V V）、電壓（）、電壓（u u）等；）等； 人類對數(shù)的認(rèn)識經(jīng)過了人類對數(shù)的認(rèn)識經(jīng)過了從簡單到復(fù)雜從簡單到復(fù)雜，從，從一維一維到多維到多維的過程的過程 。2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民9/621.1 1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場

7、與矢量場2 2、矢量：既有大小，又有方向特征的量。、矢量：既有大小，又有方向特征的量。數(shù)學(xué)上：由多個實(shí)數(shù)組成的多維向量就是矢量。數(shù)學(xué)上：由多個實(shí)數(shù)組成的多維向量就是矢量。物理學(xué)：電場（物理學(xué)：電場（ ），磁場（），磁場（ ），速度（），速度（ ）等。）等。EHv位置（位置（ ）矢量矢量r重力（重力（ ）矢量矢量FP溫度（溫度（ ）標(biāo)量標(biāo)量To坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民10/621.1 1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場3 3、矢量的表示方法、矢量的表示方法數(shù)學(xué)表示：數(shù)學(xué)表示：( , )( , )( , )(

8、, )( , )xxyyzzAA r ta A r ta A r ta A r ta A r t222|( , )|( , )( , )( , )( , )xyzA r tAr tAr tAr tA r tcoscoscosyxzAxyzxyzAAAAaaaaAAAAaaa直角坐標(biāo)系中矢量直角坐標(biāo)系中矢量函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)：函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)：矢量的模：矢量的模：單位矢量：單位矢量：2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民11/621.1 1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場幾何表示：幾何表示：xyzO( , )A r txAyAzAAap（源點(diǎn)）

9、（源點(diǎn)）ORrrp（場點(diǎn)）（場點(diǎn)） 源點(diǎn)位置矢量源點(diǎn)位置矢量 場點(diǎn)位置矢量場點(diǎn)位置矢量rrrrR2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民12/621.1 1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場三、三、矢量運(yùn)算矢量運(yùn)算矢量的加法運(yùn)算遵從平行四邊形法則。矢量的加法運(yùn)算遵從平行四邊形法則。 1 1、矢量的加減運(yùn)算、矢量的加減運(yùn)算OBACOBACBACzzyyxxzzyyxxaBaBaBBaAaAaAAzzzyyyxxxaBAaBAaBAC)()()(2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民13/

10、621.1 1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場矢量的減法運(yùn)算也遵從平行四邊形法則，但是矢量的減法運(yùn)算也遵從平行四邊形法則，但是)( BABACzzzyyyxxxaBAaBAaBAC)()()(OBACBBACOBACOACB首相接首相接首尾相接首尾相接2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民14/621.1 1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場矢量的加減為線性運(yùn)算，所以滿足交換律和矢量的加減為線性運(yùn)算，所以滿足交換律和結(jié)合率。結(jié)合率。0GFEDCBAOBACDEFG2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技

11、術(shù)研究所劉軍民劉軍民15/621.1 1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場矢量點(diǎn)乘的結(jié)果為標(biāo)量。矢量點(diǎn)乘的結(jié)果為標(biāo)量。 2 2、矢量的標(biāo)量積、矢量的標(biāo)量積點(diǎn)乘（點(diǎn)積）點(diǎn)乘（點(diǎn)積）)cos()cos(cosABBAABBAOBAcosBcosAFl)cos(FllFW2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民16/621.1 1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場點(diǎn)乘的性質(zhì)點(diǎn)乘的性質(zhì)CABACBAABBA)(交換律交換律分配律分配律0BA若若 與與 垂直（正交），則垂直（正交），則 ，所以，所以AB111000zzyyxxxzzyyxaaaaaa

12、aaaaaazzyyxxzzyyxxzzyyxxBABABAaBaBaBaAaAaABA)()(2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民17/621.1 1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場矢量叉乘的結(jié)果仍是矢量，方向滿足右手螺旋關(guān)系。矢量叉乘的結(jié)果仍是矢量，方向滿足右手螺旋關(guān)系。 3 3、矢量的矢量積、矢量的矢量積叉乘（叉積）叉乘（叉積）CaABBACsin結(jié)果為有兩個矢量構(gòu)成的平行四邊形的面積。結(jié)果為有兩個矢量構(gòu)成的平行四邊形的面積。zxyyxyzxxzxyzzyzyxzyxzyxaBABAaBABAaBABABBBAAAaaaBA)(

13、)()(OBAsinAC2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民18/621.1 1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場叉乘的性質(zhì)叉乘的性質(zhì))()()()()()()(BACCABCBABACACBCBACABACBAABBA反交換律反交換律分配律分配律0BA若若 與與 相平行，則相平行，則 ，所以，所以AB000111zzyyxxxzzyyxaaaaaaaaaaaa2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民19/621.1 1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場四、標(biāo)量場與四、標(biāo)量場與矢量場

14、矢量場 1 1、標(biāo)量場：標(biāo)量描述的物理量的空間、標(biāo)量場：標(biāo)量描述的物理量的空間 全國溫度分布圖全國溫度分布圖 等高線示意圖等高線示意圖2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民20/621.1 1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場 實(shí)際等高線地圖實(shí)際等高線地圖2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民21/621.1 1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場 2 2、矢量場：矢量描述的物理量的空間、矢量場：矢量描述的物理量的空間 多點(diǎn)電荷電場電力線多點(diǎn)電荷電場電力線 棒槌型帶電體電場電力線棒槌型

15、帶電體電場電力線 2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民22/621.1 1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場 不同形狀電流線的磁力線不同形狀電流線的磁力線2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民23/621.1 1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場A 流體的流速矢量圖流體的流速矢量圖0dzdydxAAAaaal dAzyxzyxl dxyzdxdydzAAA 矢量場的場線方程矢量場的場線方程A2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍

16、民24/62標(biāo)量場比較簡單，但是如果想要知道標(biāo)量場的變化情況，標(biāo)量場比較簡單，但是如果想要知道標(biāo)量場的變化情況，或者變化率，就要用到標(biāo)量的方向?qū)?shù)和梯度。或者變化率，就要用到標(biāo)量的方向?qū)?shù)和梯度。1.2 1.2 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)定義：定義：標(biāo)量場（或稱標(biāo)量函數(shù)）過某點(diǎn)沿某一方標(biāo)量場（或稱標(biāo)量函數(shù)）過某點(diǎn)沿某一方向的變化率。向的變化率。)(MlllMMlllM000lim)()(lim02021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民25/621.2 1.2 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與

17、梯度lzyxzyxzyxlMaazayaxaaaazayaxzyxdldzzdyydxxllcoscoscoscoscoscos1lim00式中式中 為為l方向單位矢量方向單位矢量coscoscoszyxlaaaa2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民26/621.2 1.2 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度由方向?qū)?shù)的定義，由方向?qū)?shù)的定義，zyx、當(dāng)當(dāng) 時(shí)，標(biāo)量場時(shí)，標(biāo)量場 沿沿 方向增大。方向增大。 0l)(Mla當(dāng)當(dāng) 時(shí)，標(biāo)量場時(shí)，標(biāo)量場 沿沿 方向減小。方向減小。 0l)(Mla為標(biāo)量場為標(biāo)量場 沿三個坐標(biāo)軸的方向?qū)?/p>

18、數(shù)沿三個坐標(biāo)軸的方向?qū)?shù))(M2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民27/621.2 1.2 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度212121101122222zyzyxxx舉例：舉例：求求 在在M（1,0,1）點(diǎn)處沿）點(diǎn)處沿 的方向?qū)?shù)。的方向?qū)?shù)。 222zyxzyxaaal22解：在解：在M點(diǎn)點(diǎn)32cos32cos312211cos222llx21coscoscoszyxlM2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民28/62顯然，標(biāo)量場過一個點(diǎn)的方向?qū)?shù)有無窮多個，這為表

19、達(dá)顯然，標(biāo)量場過一個點(diǎn)的方向?qū)?shù)有無窮多個，這為表達(dá)方向?qū)?shù)帶來了困難，如何解決這一問題，引出了標(biāo)量場方向?qū)?shù)帶來了困難，如何解決這一問題，引出了標(biāo)量場梯度。梯度。1.2 1.2 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度二、標(biāo)量場的梯度（二、標(biāo)量場的梯度（gradient）定義：定義：標(biāo)量場在某點(diǎn)處的最大方向?qū)?shù)。標(biāo)量場在某點(diǎn)處的最大方向?qū)?shù)。0Mil maxl 梯度是矢量，是標(biāo)量場與梯度是矢量，是標(biāo)量場與矢量場之間的一種變換，矢量場之間的一種變換，其定義與坐標(biāo)系無關(guān)。其定義與坐標(biāo)系無關(guān)。2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民29/6

20、21.2 1.2 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度llzyxlzyxaaazayaxaazayaxl式中式中1cosmaxcoslzyxazayax哈密頓算子哈密頓算子梯度梯度單位矢量單位矢量2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民30/621.2 1.2 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度梯度的性質(zhì)：梯度的性質(zhì)：某點(diǎn)處的方向?qū)?shù)等于該點(diǎn)的梯某點(diǎn)處的方向?qū)?shù)等于該點(diǎn)的梯度在該方向上的投影。度在該方向上的投影。梯度與標(biāo)量場的等值面相垂直。梯度與標(biāo)量場的等值面相垂直。標(biāo)量場沿梯度方向變化最快。標(biāo)量場沿梯度方向變化最快。0c

21、os90ol無增量表明為等值面無增量表明為等值面 表明梯度與等值面相垂直，這時(shí)的梯度方向恰好表明梯度與等值面相垂直，這時(shí)的梯度方向恰好就是等值面的法線方向，因此一般地：就是等值面的法線方向，因此一般地：o90nan過過M點(diǎn)點(diǎn)的等值的等值面面Ml lnanM點(diǎn)的切平面點(diǎn)的切平面2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民31/621.2 1.2 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度zyxlzxzyxaaallaaaazayax3232312121舉例舉例 利用梯度求前例利用梯度求前例求求 在在M（1,0,1）點(diǎn)處沿）點(diǎn)處沿 的方向?qū)?shù)。的

22、方向?qū)?shù)。 222zyxzyxaaal22解：在解：在M點(diǎn)點(diǎn)212322313232312121zyxzxlMaaaaaal2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民32/62方向?qū)?shù)和梯度對于研究標(biāo)量場是非常有用的，由于矢量方向?qū)?shù)和梯度對于研究標(biāo)量場是非常有用的，由于矢量具有大小和方向特性，需要從兩個方面加以研究。具有大小和方向特性，需要從兩個方面加以研究。1.3 1.3 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度一、矢量的通量一、矢量的通量定義：定義：矢量通過一個曲面的多少。矢量通過一個曲面的多少。AnS/AnAdsc對開曲面，正方向與其邊界

23、繞向?qū)﹂_曲面，正方向與其邊界繞向成右手螺旋關(guān)系。成右手螺旋關(guān)系。對閉曲面，正方向從面內(nèi)指向面對閉曲面，正方向從面內(nèi)指向面外。外。sdAdsnAdsAdn 通過面元通過面元dsds的通量的通量2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民33/621.3 1.3 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度通過整個曲面的通量為：通過整個曲面的通量為：ssdA 通過開曲面的通量通過開曲面的通量ssdA 通過閉合面的通量通過閉合面的通量通量的性質(zhì)通量的性質(zhì)若若 ，表明面內(nèi)有，表明面內(nèi)有“凈凈”的正源。的正源。 若若 ，表明面內(nèi)有，表明面內(nèi)有“凈凈”的負(fù)源。的負(fù)

24、源。若若 ，表明面內(nèi)無，表明面內(nèi)無“凈凈” ” 源。源。0ssdA0ssdA0ssdA2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民34/62通量反映了大的范圍內(nèi)矢量的性質(zhì)，但不能反映場中每一通量反映了大的范圍內(nèi)矢量的性質(zhì)，但不能反映場中每一點(diǎn)的特性，類似點(diǎn)的特性，類似“黑箱黑箱”的概念，如：的概念，如：1.3 1.3 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度上面兩種情況的通量是相同的，但是面內(nèi)場源的分布是完上面兩種情況的通量是相同的，但是面內(nèi)場源的分布是完全不同的。顯然，如果將閉合面無限縮小到一個點(diǎn)，就可全不同的。顯然，如果將閉合面無限縮小到一個點(diǎn)

25、，就可反映出每個場點(diǎn)的性質(zhì)。反映出每個場點(diǎn)的性質(zhì)。ASQS2Q2Q2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民35/621.3 1.3 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度二、矢量的散度（二、矢量的散度（divergencedivergence）AvsdAsv0lim 矢量的散度矢量的散度式中式中 為閉合面元為閉合面元dsds圍成的體積；圍成的體積；散度是矢量場中某點(diǎn)處單位體積的散度是矢量場中某點(diǎn)處單位體積的“凈凈”通量；通量；矢量的散度為標(biāo)量。矢量的散度為標(biāo)量。v2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究

26、所劉軍民劉軍民36/621.3 1.3 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度散度的性質(zhì)：散度的性質(zhì)：若若 ，表明該點(diǎn)為場的正源。，表明該點(diǎn)為場的正源。 若若 ，表明該點(diǎn)為場的負(fù)源。，表明該點(diǎn)為場的負(fù)源。若若 ，表明該點(diǎn)無場源。若矢量場處處散度為，表明該點(diǎn)無場源。若矢量場處處散度為0 0，該場為無散場，場線為無頭無尾的閉合線。該場為無散場，場線為無頭無尾的閉合線。0A0A0A“涌涌” ” 正正源源“匯匯” ” 負(fù)負(fù)源源無散無散 無源無源散度大于散度大于0 0散度小于散度小于0 0散度等于散度等于0 02021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民3

27、7/621.3 1.3 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度zAyAxAaAaAaAazayaxAzyxzzyyxxzyx直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系重要定理重要定理 散度定理散度定理svsdAdvA)(閉合面積分閉合面積分 體積分體積分2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民38/621.3 1.3 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度3111zryrxrrzyx舉例：舉例： 求舉例矢量求舉例矢量 的散度。若將的散度。若將距離矢量縮放距離矢量縮放k倍（倍（k為常量），再求其散度。為常量），再求其散度。zyxazayaxr解：解：krkrkrkrk

28、3)(2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民39/62通量代表了矢量穿過曲面的多少，是矢量的發(fā)散特性。通量代表了矢量穿過曲面的多少，是矢量的發(fā)散特性。對于矢量，除了發(fā)散形式的場外，還有漩渦形式的場。對于矢量，除了發(fā)散形式的場外，還有漩渦形式的場。1.4 1.4 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度l dlAllllldlAdlaAl dA如果矢量代表力，則上式表如果矢量代表力，則上式表示力沿路徑示力沿路徑 l 做的功做的功2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民40/621.4 1.4

29、 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度一、矢量的環(huán)量一、矢量的環(huán)量定義：定義：矢量沿閉合路徑的線積分。矢量沿閉合路徑的線積分。閉合路徑的方向與其圍成的面積閉合路徑的方向與其圍成的面積的正法線方向成右手螺旋關(guān)系。的正法線方向成右手螺旋關(guān)系。環(huán)量反映了矢量沿路徑的總漩渦環(huán)量反映了矢量沿路徑的總漩渦特性。特性。ccdlAl dAcos 矢量的環(huán)量矢量的環(huán)量nASMdlc2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民41/621.4 1.4 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度環(huán)量體現(xiàn)的是總的大范圍內(nèi)的特性，而且圍繞一點(diǎn)的環(huán)環(huán)量體現(xiàn)的是總的大范圍內(nèi)的特性

30、，而且圍繞一點(diǎn)的環(huán)量大小與回路的繞向有關(guān)量大小與回路的繞向有關(guān)對于對于c c1 1回路，矢量回路，矢量 與回路方向一與回路方向一致，環(huán)量最大；而致，環(huán)量最大；而對于對于c2回路，環(huán)量回路，環(huán)量為為0。環(huán)量不能反映空間一點(diǎn)處的漩渦狀環(huán)量不能反映空間一點(diǎn)處的漩渦狀況，為此引入旋度的概念。況，為此引入旋度的概念。S S1 1與與S S2 2方向垂直方向垂直矢量矢量A A與回路與回路c c1 1方向方向一致一致nAMc c1 1c c2 2S S1 1S S2 2A2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民42/621.4 1.4 矢量場的環(huán)量與旋度

31、矢量場的環(huán)量與旋度二、矢量的旋度（二、矢量的旋度（rotation）環(huán)量密度環(huán)量密度環(huán)量密度是單位面積的環(huán)量。環(huán)量密度是單位面積的環(huán)量。環(huán)量與回路圍成的面積的方向有關(guān)，所以環(huán)量密度隨著環(huán)量與回路圍成的面積的方向有關(guān)，所以環(huán)量密度隨著S S 的不同而不同，具有最大值。的不同而不同，具有最大值。sl dAcs0lim 矢量的旋度矢量的旋度nsl dAAcsmax0lim2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民43/621.4 1.4 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度矢量的旋度仍是矢量。矢量的旋度仍是矢量。某方向的環(huán)量密度等于該點(diǎn)處旋度在該方

32、向上的投影。某方向的環(huán)量密度等于該點(diǎn)處旋度在該方向上的投影。若矢量的旋度處處為零，則該場為無旋場。若矢量的旋度處處為零，則該場為無旋場。scsaAsl dA)(lim0旋度的性質(zhì)：旋度的性質(zhì)：nMc cS SAS法線方向法線方向的環(huán)量密的環(huán)量密度度2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民44/621.4 1.4 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度zxyyzxxyzzyxzyxayAxAaxAzAazAyAAAAzyxaaaA旋度的計(jì)算旋度的計(jì)算直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中slsdAl dA重要定理重要定理 斯托克斯定理斯托克斯定理閉合線積分閉

33、合線積分 面積分面積分2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民45/621.4 1.4 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度舉例：舉例： 已知矢量已知矢量 求點(diǎn)求點(diǎn)M(2,1,0)(2,1,0)的旋度以的旋度以及該點(diǎn)處沿及該點(diǎn)處沿 的環(huán)量密度。的環(huán)量密度。zyaalyxayaxAyx解：解：zzxyzyxayxyxayAxAyxyyxxzyxaaaA2)(02021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民46/621.4 1.4 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度zzaaA91121-22M）

34、（M(1,0,0)(1,0,0)的旋度為：的旋度為： 2zylaalla沿沿l 的環(huán)量密度為：的環(huán)量密度為： 291)(2191zyzlaaaaAl 的單位矢量為：的單位矢量為： 2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民47/621.4 1.4 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度yxadyadxl d解：解：舉例：舉例：求矢量求矢量 沿沿z z0 0平面內(nèi)正方形路徑平面內(nèi)正方形路徑 的的環(huán)量環(huán)量yxaxayARyxl d1l2l3l4l0 xy2004)()(4)(4)()()(1RdyyRdxxRxdyydxxdyydxadyadxax

35、ayl dARRlllyxyxl改變路徑繞改變路徑繞向，結(jié)果為向，結(jié)果為負(fù)值負(fù)值環(huán)量與路徑形狀、大小及其繞向有關(guān)。環(huán)量與路徑形狀、大小及其繞向有關(guān)。2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民48/621.4 1.4 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度解：解：利用旋度求解：利用旋度求解：zzyxaxyzyxaaaA20Rl d1l2l3l4l0 xy224)2(222RRdsadsasdAl dASzSzSl路徑繞向改變時(shí)，面積的方向反向，環(huán)量為負(fù)值。路徑繞向改變時(shí)，面積的方向反向，環(huán)量為負(fù)值。R2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研

36、究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民49/62解：解：RzyxzyxaRRaRzzaRyyaRxxazRayRaxRRzyxazzayyaxxrrR)()()(求距離矢量求距離矢量 的的RRRR、123211111RaRRaRzzaRyyaRxxRaRzaRyaRxRRzyxzyx1.4 1.4 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民50/621.4 1.4 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度3111zRyRxRRzyx0yRxRaxRzRazRyRaRxyzzxyyzx03112RRRa

37、RRaRRRRR顯然，在上面結(jié)果中將顯然，在上面結(jié)果中將 ，則，則2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民51/62矢量散度與旋度的小結(jié)：矢量散度與旋度的小結(jié)：矢量的散度為標(biāo)量，矢量的旋度仍是矢量。矢量的散度為標(biāo)量，矢量的旋度仍是矢量。矢量的散度反映場點(diǎn)場量與通量場源的關(guān)系。矢量的散度反映場點(diǎn)場量與通量場源的關(guān)系。 散度處處為零，該場為無散場（或管形場）散度處處為零，該場為無散場（或管形場）矢量的旋度反映場點(diǎn)場量與環(huán)量場源的關(guān)系。矢量的旋度反映場點(diǎn)場量與環(huán)量場源的關(guān)系。 旋度處處為零，該場為無旋場（或保守場）旋度處處為零，該場為無旋場（或保

38、守場）1.4 1.4 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民52/621.5 1.5 場的重要性質(zhì)與定理場的重要性質(zhì)與定理0）（一、重要性質(zhì)一、重要性質(zhì)（1 1）（2 2）0A如果矢量場如果矢量場 滿足滿足 ，即該矢量場是一個無旋場，即該矢量場是一個無旋場，可以用標(biāo)量函數(shù)可以用標(biāo)量函數(shù) 的梯度來表示，即的梯度來表示，即 ，稱標(biāo)量函數(shù)，稱標(biāo)量函數(shù) 為勢函數(shù)，對應(yīng)的矢量場為有勢場或保守場。為勢函數(shù)，對應(yīng)的矢量場為有勢場或保守場。AA0)(A如果矢量場如果矢量場 滿足滿足 ，即該矢量場是一個無散場，即該矢量場

39、是一個無散場，可以用另一矢量函數(shù)的旋度來表示，即可以用另一矢量函數(shù)的旋度來表示，即0ABAA2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民53/621.5 1.5 場的重要性質(zhì)與定理場的重要性質(zhì)與定理 格林定理表明，場量是一個體積分與一個面積分的和，格林定理表明，場量是一個體積分與一個面積分的和，面積分代表邊界上的場，體積分代表所求區(qū)域內(nèi)的場。格面積分代表邊界上的場，體積分代表所求區(qū)域內(nèi)的場。格林定理給出了由邊界條件和區(qū)域內(nèi)場源求解場的方法。林定理給出了由邊界條件和區(qū)域內(nèi)場源求解場的方法。二、重要定理二、重要定理（1 1）標(biāo)量格林（）標(biāo)量格林（G

40、reenGreen）定理）定理2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民54/621.5 1.5 場的重要性質(zhì)與定理場的重要性質(zhì)與定理vssdAdvAA代入散度定理：，設(shè)ssnvsdsndsasddvA)()()()(22 標(biāo)量格林第一定理標(biāo)量格林第一定理svdsndv)(2 標(biāo)量格林第二定理標(biāo)量格林第二定理svdsnndv)(22得并與第一定理相減，則，交換和將上面的設(shè)2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民55/621.5 1.5 場的重要性質(zhì)與定理場的重要性質(zhì)與定理（2 2）唯一性定

41、理）唯一性定理矢量場被其散度、旋度和區(qū)域的邊界條件唯一確定。矢量場被其散度、旋度和區(qū)域的邊界條件唯一確定。這里的邊界條件包括：這里的邊界條件包括：在邊界上，在邊界上， 第一類邊界條件第一類邊界條件 （狄里克萊條件）（狄里克萊條件）在邊界上，在邊界上， 第二類邊界條件第二類邊界條件 （諾伊曼條件）（諾伊曼條件）邊界上，邊界上， 第三類邊界條件第三類邊界條件（混合條件）（混合條件）是已知的s是已知的或sstn是已知的或221ssstn2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民56/621.5 1.5 場的重要性質(zhì)與定理場的重要性質(zhì)與定理唯一性定理

42、證明：唯一性定理證明： 用反證法證明，假定滿足給定條件的矢量場有兩個用反證法證明，假定滿足給定條件的矢量場有兩個 和和 ，然后再論證這兩個矢量場是相同的，然后再論證這兩個矢量場是相同的，即即1( )F r2( )F r12( )( )F rF r*12FFF令令S SV V在在V 內(nèi)，有內(nèi)，有 *120 FFF*120 FFF在邊界在邊界S上，則有上，則有12|0nSnSnSFFF或或 12|0tStStSFFF2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民57/621.5 1.5 場的重要性質(zhì)與定理場的重要性質(zhì)與定理由由 可引入可引入一個一個標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù)，使使 *0F在在V 內(nèi)有內(nèi)有0*2F利用格林第一定理，且令利用格林第一定理，且令 得得 *Fsvdsndv2在邊界面上有在邊界面上有0)()(2121*dsFFdsaFFdsaFdsadsnsnnsnsnsns2021-12-9信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所信息與通信工程學(xué)院通信技術(shù)研究所劉軍民劉軍民58/621.5 1.5 場的重要性質(zhì)與定理場的重要性質(zhì)與定理在邊界面上有在邊界面上有02dvv00)(2121*taFFaFFaFttttt0*F結(jié)果唯一21FFttFF21vsvs