抗震分析中的多點激勵問題

1、抗震分析中的多點激勵問題 摘 要：本文針對工程抗震分析中大跨度結構多點激勵問題的分析方法進行了理論總結，并結合實際算例，對采用相對運動法和大質量法進行多點激勵問題分析的計算結果與精確解進行了研究對比，給出了相關的結論。關鍵詞：多點激勵 相對運動法 大質量法一、引言地震時震源釋放的能量以地震波的形式經過不同的路徑、地形和介質傳播至地表，由于波的傳播特性導致地震地面運動具有隨時間和空間不斷變化的特征。通常在結構的地震反應分析中，只是考慮地震地面運動的時變特性，而忽略地震地面運動隨空間變化所帶來的影響。對于高層與高聳結構、中小跨度橋梁等在水平面內的幾何尺寸比較小的結構物來說，地震地面運動的空間效應影

2、響很小，計算結果能夠滿足工程需要 1。但對于大跨度結構，由于跨越尺度較大，不同支承點處輸入的地震地面運動則存在著一定的差異，從而對結構的地震反應有一定的影響。由于不同支承點處輸入的地面運動存在著差異，但從結構分析的力學機理來說都是一致的，因此統(tǒng)稱為多點激勵效應。考慮多點激勵使得大跨度結構的地震反應分析更加符合實際情況，顯得更為合理2。二、多點激勵動態(tài)時程分析方法的應用大跨度結構多點激勵動態(tài)時程分析的方法主要有相對運動法（RMM，Relative Motion Method）和大質量法（LMM，Large Mass Method）3。1相對運動法對于多自由度體系，多維多點輸入的地震反應動力平衡方

3、程為（1）式中M、C、K分別是結構的總體質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，、分別為結構的絕對位移向量、速度向量和加速度向量，為地震作用引起的外荷載向量。設橋梁結構支承點相應于地震動輸入的自由度數為，非支承點的自由度數為，在絕對坐標系下，式（1）的動力平衡方程可寫為分塊矩陣的形式，即（2）式中、和、分別表示支承點和非支承點處的位移、速度和加速度向量。將結構的絕對位移分解為準靜力響應和動力響應之和，其中非支承點處的準靜態(tài)響應定義為 （3）式（3）的力學意義為結構支座節(jié)點的靜位移引起的結構非支承點處的位移，即所謂的準靜態(tài)響應。將式（3）代回式（2）的第一個方程可得（4）當假定阻尼矩陣正比于剛度矩陣時，上

4、式右邊第二項為；當阻尼為其它形式并且較小時，此項也很小，因此可以從上式中略去3。由此可以近似得到（5）對集中質量體系，式（5）變?yōu)椋?）采用此式進行動力計算的優(yōu)點在于只需要根據支承點處的加速度時程就可以進行計算得到非支承點處的動力響應，而不需要知道速度向量和位移向量。2大質量法大質量法是對結構模型進行動力等效的一種分析方法，這種方法在處理多點激勵問題時需要解除支承點沿地震作用方向的約束，并賦予節(jié)點大質量，其數值通常遠遠大于結構體系的總體質量，此時式（2）中支承點處的質量矩陣應改為，其中的表達式為 （7）式中為第個支承點所賦予的節(jié)點大質量。同時為了強迫支承點處的動力響應時程與初始模型保持一致，在

5、各節(jié)點大質量上作用隨時間變化的節(jié)點荷載，其中為各支承點處輸入的加速度時程，由此式（2）的動力平衡方程可以改為（7）由式（7）的第二個方程可以得到支承點處的加速度，即支承點處的加速度響應時程與輸入的多點激勵加速度時程基本保持一致。對比式（2）和式（7）的第一個方程，可知當相同時，由該兩個方程求得的非支承點處的動力響應、是一致的。由于大質量法在求解過程中不涉及位移的分解，因此采用大質量法求解結構在多點激振下的動力響應，可以通過直接積分的方法得到結構的總體地震反應，即相對位移法中準靜態(tài)響應和動力響應的和，大質量法可以適用于非線性分析。 三、計算實例兩點激勵，已知，計算模型如下：圖1 兩點激勵1精確解

6、動力平衡方程 （8）、為絕對位移， 、可以通過對、積分并考慮初始加速度和初始位移為零求得： （9）（10）將式（9）、（10）代入式（8）求解得到質點m絕對位移的解為：（11）2相對運動法當采用相對運動法時=1，=2（14） （15）由式（3）可得 （16）由式（6）可得= （17）求解可得（18）（19）由此可見，由相對運動法計算得到的結果與精確解完全吻合。2大質量法本文在采用大質量法時，運用通用有限元程序Strand7建立圖1所示的動力分析模型，得到質點m的絕對位移動力響應如圖2所示，可見大質量法的計算結果相當于精確解。 2 質點m的絕對位移動力響應四、結論對比LMM和RMM的整個求解過程

7、，可以看出兩種方法具有以下的優(yōu)缺點4：1RMM的優(yōu)點表現在求解方法具有嚴格的數學理論推導，且由于RMM在求解過程中將結構的總響應分解為準靜態(tài)響應和動力響應，因此可以得到地震作用下結構響應的一些附屬信息，有助于理解地震作用下結構響應的本質；2RMM將結構總響應分解為準靜態(tài)響應和動力響應，為了得到地震作用下的結構總響應，需要求解準靜態(tài)響應，因此要對地面加速度時程進行積分；3RMM不能直接采用通用有限元程序實現；4RMM求解結構的總響應時，依然基于準靜態(tài)響應和動力響應的疊加，因此不能用于對結構進行非線性分析；5LMM的優(yōu)缺點是相對于RMM而言的。LMM的缺點在于求解方法并沒有經過嚴格的數學推導，僅通

8、過在力學意義上對結構模型進行等效來求得結構的總響應，且大質量的取值應根據實際的結構模型分析結果來確定，當大質量的數值大于某個數值時，結構的數值分析結果會出現不穩(wěn)定的現象。但LMM的優(yōu)點恰恰表現在它能夠克服RMM中出現的缺點，運用LMM并采用通用有限元程序來求解可以更加方便快捷地得到結構的總響應，且求解結果接近于地震作用下的結構真實總響應。參考文獻1 范立礎等非一致地震激勵下大跨度斜拉橋的響應特征.計算力學學報2001，18（3）：3583632 潘旦光等多點輸入下大跨度結構地震反應分析研究現狀.同濟大學學報.2001，29（10）：121312193 胡聿賢地震工程學北京：地震出版社，19884 P.Leger, I.M.Ide and P.Pau