周期性與對(duì)稱性

1、i.函數(shù)y=/W圖象本身的對(duì)稱性（自身對(duì)稱）1、了（a + x） = M儀-1）的圖象關(guān)于直線二a對(duì)稱。2、/W = /（2df-x） a j=/a）的圖象關(guān)于直線工二a對(duì)稱。3、/卜彳）=/伽+X）的圖象關(guān)于直線工二口對(duì)稱。+1）+ （i - x） a-hi4、，（a +力=/。-1） a J=，。）的圖象關(guān)于直線'2廠 對(duì)稱。5、/（a + x）+/（"r） = 2b o y=/的圖象關(guān)于點(diǎn)&b）對(duì)稱。6、1二一二工' ： .、,的圖象關(guān)于點(diǎn)（&M對(duì)稱。7、一"：）.：-. 1'.：的圖象關(guān)于點(diǎn)（見與對(duì)稱。仃+占8、。,二，二；:

2、.”二的圖象關(guān)于點(diǎn)I一廠”對(duì)稱。2.兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱性（相互對(duì)稱）（利用解析幾何中的對(duì)稱曲線軌跡方程理解）1、函數(shù) = /（& + ）與 = /（&-）圖象關(guān)于直線工二。對(duì)稱。2、函數(shù) y = /與"/Qi）圖象關(guān)于直線 工二a對(duì)稱3、函數(shù) = 與y二/（2G+工）圖象關(guān)于直線1二-a對(duì)稱b-a4、函數(shù)J = /（a+i）與J =- 圖象關(guān)于直線（a+x）_x）= O對(duì)稱即直線 2對(duì)稱5、函數(shù) 丁二/與）二一/ 圖象關(guān)于X軸對(duì)稱。6、函數(shù) "/與尸=/（E 圖象關(guān)于Y軸對(duì)稱。7、函數(shù)丁二與二圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 3.函數(shù)的周期性1、=QJ=/G）的周期為 72

3、、/。+口） = /。+可（&0） 0蚱/（工）的周期為7二人。3 州+4 二 一/G）的周期為 T = 2a,（工+© = . %4 、/O二/的周期為T二2a5 （x + a）=5、 /Q產(chǎn)/的周期為T二2a/.+加1-/6、 1+/（工）a J=/的周期為7二2u/Q + o）=-,.7、 /（工）+10 丁二/的周期為7二%八工+二山支8、 1-7W/二/的周期為7二4。9、a+2a） = /（x+a）寸Q股/的周期為7二助io、,二/有兩條對(duì)稱軸i = a和工二3（。的周期7=2（6一4）11、六/有兩個(gè)對(duì)稱中心&Q）和電0）QJ=/a）周期7二2-。）12

4、、了二，有一條對(duì)稱軸工二a和一個(gè)對(duì)稱中心包0）了二/ 周期7 = 4（6-。）13、奇函數(shù) 丁二丁滿足4+工）=八”外O 周期7二電14、偶函數(shù)”，滿足/。+1）=/（"工）ay=/ 周期7二2。例題講解題型一：對(duì)稱性、周期性的證明例1.設(shè)曲線。的方程是衛(wèi)二六一七 將。沿；軸、F軸正方向分別平移；、；（20）個(gè)單位長度后得到曲線C,（1）寫出曲線q的方程；（2）證明曲線。與Ci關(guān)于點(diǎn) 2'2對(duì)稱；£-/（3）如果曲線。與Ci有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明：'-IT .解：（1）曲線。的方程為尸（IT）'-。一。+ £；（2）證明：在曲線C上任意取

5、一點(diǎn)耳（陽M）,設(shè)見孫必）是用關(guān)于點(diǎn)R的對(duì)稱點(diǎn)， +.二1 %+為二 S則有22'22 ,Ti力一訪，尸一耳代入曲線C的方程，得電刈的方程：5一乃二"珀”（£一石）即必=每一0 -匕小&可知點(diǎn)出（孫必）在曲線0上.反過來，同樣證明，在曲線 G上的點(diǎn)幺的對(duì)稱點(diǎn)在曲線C上.因此，曲線C與£；關(guān)于點(diǎn)乂對(duì)稱.（3）證明：因?yàn)榍€C與。有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，工方程組1V二口一£y一（、-£）+£ 有且僅有一組解，消去y,整理得 我一必+(t-s)=q,這個(gè)關(guān)于x的一元二次方程有且僅有一個(gè)根,.A = M-1跳*-f-s) = O,

6、即得請-電-4加0 ,出小無理數(shù)) 4例2.已知函數(shù)y=f (x) =8為有理數(shù)).(1)證明這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)；I(2)證明T=I是函數(shù)的一個(gè)周期，進(jìn)而尋找函數(shù)是否有其他的周期，最后說明這個(gè)函數(shù)的周期組成 什么集合.解：(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)x, x與-X同為有理數(shù)或無理數(shù)，所以恒有f (x) =f (-x),又定義域關(guān)于原 點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)為偶函數(shù)；(2)當(dāng)T=2時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x, x與x+2同為有理數(shù)或無理數(shù)，所以恒有f (x) =f (x+2),所以1t=5是函數(shù)的周期；當(dāng)T為有理數(shù)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x以及有理數(shù)T, x與x+T同為有理數(shù)或無理數(shù)，所以恒有 f (x) =f (x+T),所以T是函數(shù)的

7、周期；當(dāng)T為無理數(shù)時(shí)，f (-T) =0, f (-T+T) =f (0) =1,所以T不是函數(shù)的周期，函數(shù)的所有周期組成 有理數(shù)集合題型二：利用函數(shù)的周期性與對(duì)稱性 例3.已知函數(shù))二/(I)是定義在R上的周期函數(shù)，周期7二5,函數(shù)) 二"X-IMtMD是奇函數(shù).又知了二/ 在0,1上是一次函數(shù)，在1,4上是二次函數(shù)，且在工二2時(shí)函數(shù)取得最小值-5.證明：*)+/(4) = 0；求)=/(八"14的解析式;求/在4,9 上的解析式.解：: /G)是以5為周期的周期函數(shù)，. /(4) = /(4-5)=/(-1),又=/(TEE)是奇函數(shù)，；=.用+，(4)=。.當(dāng)陽1,4

8、時(shí)，由題意可設(shè)/二北-2)：5(1>0),由優(yōu)+/(4)=。得項(xiàng)-爐-5+項(xiàng)-芯-5=0, .一2,.5QW 三 4).) = /(加一1£1£1)是奇函數(shù)，.1(°) = 0,又知 /在0 上是一一次函數(shù)，可設(shè)/(0大5),而川)=2(1-2)?-5=-3,上二一3, .當(dāng) 0W時(shí)，/二-公，從而當(dāng)TWr <0時(shí)，/(1)了一/(一工)二一31,故TMxll時(shí)，/二-與.當(dāng)4£工£6時(shí)，有TW1M1, ；/(二)=/。一5)二-3(才->-3彳+15.當(dāng)64】W9時(shí)，1K4, ； /(力=/。-5) = 2(工-5)-2-5

9、=2(1-7y-5J-3 工+ 15, 46二6.：2(x-7了-5,6«Wz r ,/(x>?s(x + A)A(x) = 1(x+1) + 2川例4.已知函數(shù)工的圖象與 4 x 的圖象關(guān)于點(diǎn) 戊打)對(duì)稱。(1)求她的值;若幽=)+巴在(0,2止是減函數(shù)，求實(shí)勤的取值范圍。 (2解.(1)設(shè)P(x,y)是h(x)圖像上的一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于A(0,1)的對(duì)稱點(diǎn)為Q(x0,y 0),則乂0二一1>0=2一了 .12一y 二洲(-x-L) y - w(x + ) + 2m =-x ,即x ,從而 4 ., 、1 ,1. a 1 , a +1、“、gW = - + -) + =-(

10、x + )(2) 上.： ,；/劣-當(dāng) 4 x/'：.班(0,2上是減函數(shù),g'W <0ttxe 02上恒成.即心/-1擊w(0,2止恒成立。令如二八1,當(dāng)四口2時(shí),3 :心 .方法歸納：1 .證明函數(shù)的對(duì)稱性、周期性注重定義的使用2 .注意對(duì)稱性、周期性與奇偶性、單調(diào)性的綜合運(yùn)用，解題時(shí)注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練1 .定義在R上的函數(shù)/6)不是常數(shù)函數(shù)，滿足 加 7)=/G+D , W+X-),則函數(shù)/(B)A.是奇函數(shù)也是周期函數(shù)B.是偶函數(shù)也是周期函數(shù)C是奇函數(shù)但不是周期函數(shù)D.是偶函數(shù)但不是周期函數(shù)解析：由=/(川),知/G+2) = /，所以義X)以2為周

11、期，再由川+彳)二川7)得，.令仁工-1,則有T)二他.，(工)是偶函數(shù).故/伍)是偶函數(shù)也是周期函數(shù).2、N)的定義在R上的奇函數(shù)，它的最小正周期為 T,則止/1的值為(A)TTA. 0B.1C. T D. _ 3、設(shè)了為奇函數(shù)，對(duì)任意力改海0+4) =加圮觥則/(一/等于(A)A. -3B. 3C. 4D. 44、已知函數(shù) J = /W為偶函數(shù)，2)在口為上是單調(diào)減函數(shù)，則(aA. /0)</(-l)bQ)B. /MX/ Q)<")C. /(T)J bQ)D. f 4(7)<貝)315.設(shè) f (x)( xC R)為偶函數(shù)，且 f (x 2 )=f (x+2 )

12、恒成立，xC 2, 3時(shí)，f (x)=x，貝 ij xC 2,0 時(shí)，f(x)等于A.| x+4|B.|2 x|C.3 |x+1|D.2+| x+1|解析：根據(jù)y=f(x)以2為周期，畫出函數(shù)圖象可得出結(jié)論. 答案：C7 .已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+4)=f(x)對(duì)任意xe R成立，如果當(dāng)xe 0, 1時(shí)，f(x)=2x, log1 23則£( E )的值是232316A.23 B. 16 C. 16 D. 23解析：利用f(-x)=-f(x),以及f(x)以4為周期可求出.答案：B8 .若函數(shù) y=f(x)( XE R)滿足 f(x+2)=f(x),且 xC(-1

13、 , 1)時(shí)，f(x)=|x|,則函數(shù) y=f(x)的圖象與函數(shù)y=log4|x|圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為CA.3B.4C.6D.8解析：函數(shù)f(x)以2為周期，畫出f(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合9 .函數(shù)y=f (x+1)與y=f (1 x)的圖象關(guān)于A.y軸對(duì)稱B.原點(diǎn)對(duì)稱C.直線x=1對(duì)稱D.關(guān)于y軸對(duì)稱且關(guān)于直線x=1對(duì)稱解析：根據(jù)對(duì)稱關(guān)系驗(yàn)證 A正確，選A.10、已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足用 + a = -/保如溝'鏟，則使/=-弓的 】值等于(AA 北 二二工B二 C 二'； "二工 D. :,11.定義在R上的函數(shù)5 1, 、，= 日寸，'-(

14、C)221±A. 2 B. :C.二D.(33-"7，°= /(+ 工)/1£、12 .定義在K上的函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)I 4 /對(duì)稱，且2, J(T) = 1 , J(U) = -2 ,則加+/(2)+收)+/(4)=A. 1B. 0C. -1 D. -2r+r13 .已知函數(shù)f(x) =x-n + 2的反函數(shù)fix)的圖象的對(duì)稱中心為(一1, 5),則實(shí)數(shù)a的值是(D)A. -3 B. 1 C. 5 D. 714 .如果函數(shù)y=f (x+1)是偶函數(shù)，那么函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于_直線x=1_對(duì)稱.15 .定義在(00, +oo)上的偶函數(shù)f (x)

15、滿足f (x+1) =- f (x),且在1,0上是增函數(shù)， 下面是關(guān)于f (x)的判斷：f (x)是周期函數(shù)；f (x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；f (x)在0, 1上是增函數(shù)；f (x)在1, 2上是減函數(shù)；f (2) =f (0).其中正確的判斷是(把你認(rèn)為正確白判斷都填上).16 .對(duì)于定義在R上的函數(shù)f(x),有下述命題:若f(x)是奇函數(shù)，則f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(1, 0)對(duì)稱若對(duì)xCR,有f(x+1)=f(x-1),則，f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱若函數(shù)f(x-1)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則f(x)為偶函數(shù)函數(shù)f(1+x)與函數(shù)f(1-x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱其中

16、正確命題的序號(hào)為 .17 .對(duì)于定義域?yàn)镽的非常值函數(shù)f(x),請將下面左側(cè)中每個(gè)f(x)滿足的條件與右側(cè)所提供的f(x) 的性質(zhì)中一個(gè)用線連接起來/W = -/C-r)/(力是周期函數(shù)/(x + l)= /(r -1)/(琦是奇函數(shù)/(x + 1) = 7(1 - r)/是偶函數(shù)Ax + j)+/(x-j) = /(x)/Q)/關(guān)于直線 I-時(shí)稱18 .已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤| x w k九，k CZ,且對(duì)于定義域內(nèi)的任何x、y,有f(x-y) /詢+1="爐-成立，且f (a) = 1( a為正常數(shù)),當(dāng)0 < x < 2 a時(shí)，f (x) > 0 .(1

17、)判斷f(x)奇偶性；(2)證明f(x)為周期函數(shù)；(3)求f ( x)在2 a, 3a上的最小值和最大值.證明：(1) .定義域x| x w k九，kCZ 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，-方/0)+1又 f(-x) = f ( a-x) - a=/：3 =-Jir .J-5) + 1 1+1+/W/W-1/+ 1 1+92/=，(x)-/(0)= ，(3)-1= -2 = - f ( x),對(duì)于定義域內(nèi)的每個(gè)x值都成立.；f (x)為奇函數(shù)易證：f(x+ 4a) = f (x),周期為4a.(p)+l 1d (3) f (2 a) = f ( a + a) = f a-(- a)=/(一白)一/位)=-2/

18、=。,曲+11f (3 a) = f (2 a + a) = f 2 a-(- a)= 1一叼J Q高j = = J =- = -1 .先證明f (x)在2a, 3a上單調(diào)遞減為此，必須證明xC(2a, 3a)時(shí)，f ( x) < 0 ,設(shè) 2a < x < 3 a,則 0 < x- 2 a < a,/QW if ( x-2 a) = - /Q)> 0 , f( x) < 0設(shè) 2a < xi < x2 < 3 a,貝ij 0 <x2-xi<a,/. f( xi)< 0 f (x2) < 0f( x2- xi)

19、> 0 ,/(2)+l, f (xi) - f ( x2)= /(電不)> 0 , . f (xi) > f ( x2),f (x)在2a, 3司上單調(diào)遞減；f ( x)在2a, 3司上的最大值為f (2 a) = 0，最小值為f (3 a) = - i .k±i9.設(shè)f (x)的定義域?yàn)閤 R且xw 2 , k C Z,且f (x+i)=-八0 ,如果f (x)為奇函數(shù)，當(dāng)0vxv2 時(shí)，f (x) =3x.2001(i)求 f ( 4 )；1(2)當(dāng) 2k+2 <x<2k+i (kZ)時(shí)，求 f (x)；1(3)是否存在這樣的正整數(shù) k,使得當(dāng)2k+

20、1vxv2k+i (kZ)時(shí)，log3f (x) >x2 kx 2k有解？解：(i) f (x+2) = /(T+l)=f (x), f (x)是周期為2的周期函數(shù).-.一：:1 2 2 1(2) k+ < <x<2k+1, kCZ, /. < <x-2k<1, 2<x2k1<0, 0<2k+1-x<2 . .f (2k+1-x) =32k+1x.1 又 f (2k+1 x) =f (1x) =-f (x1) =-f (x+1) =/(x).f (x) =/(2上+l-i)=3x-2kT.(3) log 3f (x) >x2 kx 2k,- x-2k- 1>x2- kx-2k, x2- (k+1) x+1<0 (*)A=k2+2k-3.上 十 1 k* + 2 3上 +1 + 2k 3<x <, 4222k 4 < x &