41-矩陣的特征值與特征向量總結(jié)

1、12 矩陣的特征值與特征向量是線性代數(shù)中的兩個基矩陣的特征值與特征向量是線性代數(shù)中的兩個基本概念本概念, ,矩陣的對角化問題是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部矩陣的對角化問題是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分本章利用線性方程租的求解方法分本章利用線性方程租的求解方法, ,提出矩陣的特提出矩陣的特征值與特征向量的有效計算方法征值與特征向量的有效計算方法, , 并給出矩陣對角并給出矩陣對角化的條件化的條件, , 介紹實對稱矩陣對角化的方法介紹實對稱矩陣對角化的方法. .本章是理本章是理論與應(yīng)用相結(jié)合的重要的一章論與應(yīng)用相結(jié)合的重要的一章, , 內(nèi)容豐富內(nèi)容豐富, , 綜合性強綜合性強, , 難度較大難度較大. .本章的

2、主要內(nèi)容本章的主要內(nèi)容4.1 矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量4.2 相似矩陣與矩陣對角化相似矩陣與矩陣對角化4.3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化34一、特征值與特征向量的基本概念一、特征值與特征向量的基本概念及計算方法及計算方法4.1 矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量二、特征值與特征向量的性質(zhì)二、特征值與特征向量的性質(zhì)三三. . 小結(jié)與思考題小結(jié)與思考題5一一. 特征值與特征向量的基本概念及計算方法特征值與特征向量的基本概念及計算方法存在存在非零非零 n 維列向量維列向量 X , , 使得使得于特征值于特征值 的一個特征向量的一個特征向量. .定義定義4.1

3、設(shè)設(shè) A是是 n 階方陣階方陣, , A XX 成立成立, , 則稱則稱 為矩陣為矩陣A的一個特征值的一個特征值, ,若對于數(shù)域若對于數(shù)域 F F 中的數(shù)中的數(shù) , , X為矩陣為矩陣A的對應(yīng)的對應(yīng)1. 1. 特征值與特征向量的定義特征值與特征向量的定義 對于任意對于任意 n 階矩陣階矩陣 A，是否一定有特征值與特征，是否一定有特征值與特征向量呢？向量呢？因為因為， 例如，在實數(shù)域上，對于矩陣?yán)?，在實?shù)域上，對于矩陣 231,5,141XA 231141XA 51551X 故由定義故由定義4.1知，知， = 5是是A的一個特征值的一個特征值,是是 A 的屬于特征值的屬于特征值 = 5的特征向

4、量；的特征向量；11X 6122=2XX 對于向量 ，對于向量 ，1323131=,31XXXX 1 1，有，有1232142XA 11025102X 223-114-1XA 2-5-15-5-1X 133132314AX 5133351335X 7(2)方陣方陣 A 的與特征值的與特征值 對應(yīng)的特征向量不唯一對應(yīng)的特征向量不唯一, 即即注注1(1) 在討論矩陣在討論矩陣 A 的特征值與特征向量問題時的特征值與特征向量問題時, A是是方陣方陣;(3) 一個矩陣是否有特征值與特征向量一個矩陣是否有特征值與特征向量, 與考慮問題與考慮問題的數(shù)域有關(guān)，我們只在實數(shù)域上研究矩陣的特征值與特的數(shù)域有關(guān)，

5、我們只在實數(shù)域上研究矩陣的特征值與特征向量征向量如果向量如果向量X X 是矩陣是矩陣A的屬于特征值的特征向量的屬于特征值的特征向量, , 則則向量向量kX 都是矩陣都是矩陣 A 的屬于特征值的特征向量的屬于特征值的特征向量; ; (0)k 故由定義故由定義4.1知，知， = 5 = 5也是也是X1、X2、X3 的特征值的特征值, ,即對于即對于 = 5 = 5的特征向量是不唯一的的特征向量是不唯一的. .892. 特征值與特征向量的計算方法特征值與特征向量的計算方法 AXX 因因為為則則 EA XO 已知已知0,X 所以齊次線性方程組有非零解，則所以齊次線性方程組有非零解，則0EA EA 的的

6、行行列列式式定義定義4.2 n nijn nAan 設(shè)設(shè)為為 階階矩矩陣陣, ,EA 為為A的特征矩陣的特征矩陣.稱稱矩矩陣陣稱為矩陣稱為矩陣 A的的特征多項式特征多項式.( )fEA = =方程方程 稱為稱為A的的0EA 的特征方程的特征方程, 方程方程 的根稱為的根稱為A的特征根的特征根 0EA 10 1112121222120nnnnnnaaaaaaafEaaA 命題命題 矩陣矩陣A的特征值就是的特征值就是A的特征根的特征根根據(jù)多項式理論，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，矩陣根據(jù)多項式理論，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，矩陣A的的特征方程特征方程有有n個特征根個特征根( (k重根算重根算k個個根根) )A的關(guān)于特征值的關(guān)

7、于特征值 的全部的全部特征向量就是齊次線性方程組特征向量就是齊次線性方程組()EA X的全部非零解向量的全部非零解向量11求特征值、特征向量的方法求特征值、特征向量的方法:(2) 0EA 由由求出求出的的全部根全部根 , 即為特征值即為特征值;(3) 把得到的特征值把得到的特征值 i分別代入齊次線性方程組分別代入齊次線性方程組求齊次線性方程組求齊次線性方程組的非零解的非零解X, iEA X即為所求特征向量即為所求特征向量. .（1）計算）計算 n 階矩陣階矩陣A的特征多項式的特征多項式( );fEA = =1122(1,2, )iin rn rXkkkis解解A的的特特征征多多項項式式為為31

8、13EA 2(3)1 286(4)(2) 122,4.A 所所以以 的的特特征征值值為為1=2, 當(dāng)當(dāng)時時 對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量應(yīng)應(yīng)滿滿足足1232101320 xx 例例1 31.13A 求求的的特特征征值值和和特特征征向向量量1213 121200 xxxx 即即12,xx 解解得得 所所以以對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量可可取取為為24, 當(dāng)當(dāng)時時 由由12,xx 解解得得 1234101340 xx 12110110 xx 即即 21.1X 11.1X 所所以以對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量可可取取為為14解解 第一步：寫出矩陣第一步：寫出矩陣A A的特征方程的特征方程, , 求出

9、特征值求出特征值. .EA 1104300102 例例2 求矩陣求矩陣的特征值和全部特征向量的特征值和全部特征向量. .110430102A 221015第二步：對每個特征值第二步：對每個特征值 代入齊次線性方程組代入齊次線性方程組 ,EA XO 求非零解求非零解.解得特征值為解得特征值為1232,1齊次線性方程組為齊次線性方程組為12 當(dāng)當(dāng)時時, , 2EA X 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣3102410100EA 100010000163,x 為為自自由由未未知知量量120 xx ，31x 令令1001X 111(0k X k 所所以以，為為常常數(shù)數(shù)）是對應(yīng)于是對應(yīng)于特特征征向向量量得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解

10、系12 的的全全部部齊次線性方程組為齊次線性方程組為231當(dāng)當(dāng)時時， EA X 系數(shù)矩陣系數(shù)矩A 10101200013232xxxx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系2121X 222 (0k Xk 所以為常數(shù)）所以為常數(shù)）是對應(yīng)于是對應(yīng)于231的全部特征向量的全部特征向量.例例3 設(shè)設(shè)111222111A ，求求A 的特征值和特征向量的特征值和特征向量; ;解解1112+2211+1EA =220 1230, 2 解得解得120, 當(dāng)當(dāng)時時AX 由齊次線性方程組由齊次線性方程組系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣1819111222111 111000000 A 123xxx為自由未知量為自由未

11、知量, ,23, xx取取得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系12110, 110XX 11221212 (, )0 k Xk Xk k 是不同時為 零的常數(shù) 是對應(yīng)于是不同時為 零的常數(shù) 是對應(yīng)于的全部特征向量的全部特征向量32 當(dāng)當(dāng)時時, ,( 2)EA X 由齊次線性方程組由齊次線性方程組20311111202012111000 3x取取為為自自由由未未知知量量, ,10101200013232xxxx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系3121X 3333(0)2k Xk 是是的的全全部部特特征征向向量量. .2EA解解 第一步：寫出矩陣第一步：寫出矩陣 A 的特征方程的特征方程, , 求出特征值求出特征值. .1

12、22212221EA 例例4 求矩陣求矩陣的特征值和全部特征向量的特征值和全部特征向量. .122212221A (1)(1)(3)=0解得特征值為解得特征值為1231,13 ，21第二步：對每個特征值第二步：對每個特征值 代入齊次線性方程組代入齊次線性方程組 ,EA X 求非零解求非零解.齊次線性方程組為齊次線性方程組為11 當(dāng)當(dāng)時時, , EA X 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣 222111222004222004EA111110001001000000 221110X111(0k X k 所所以以，為為常常數(shù)數(shù)）是對應(yīng)于是對應(yīng)于得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系11 的的全全部部解解. .A的屬于特征值的屬于特征

13、值231=3 ，時，時，222333101 ,1,11k Xkk Xk 類似可以求得類似可以求得的全部特征向量分別為的全部特征向量分別為23,k k是不為零的常數(shù)是不為零的常數(shù).23例例5 若若 是是 A的一個特征值，的一個特征值，證證1110( )mmmmf Aa AaAa Aa E 1110( )mmmmfaaaa E 2()A XA AX (1,2, )kkA XXkn 證明證明是矩陣是矩陣f (A)的一個特征值的一個特征值.若若 是是A的一個特征值，由的一個特征值，由AX = X, 有有()AXAX2X 所以所以即即 i是是Ai(i = 1, 2, , m) 的一個特征值的一個特征值,

14、 故故241110( )()mmmmf A Xa AaAa Aa E X 1110()()()()mmmmaAXaAXa AXa EX 1110mmmmaXaXaXa EX 1110(),mmmmaaaaX 1110( )mmmmfaaaa 是矩陣是矩陣f (A)的一個特征值的一個特征值.所以所以253. 特征多項式特征多項式f ( )的性質(zhì)的性質(zhì)在特征多項式在特征多項式 111212122212nnnnnnaaaaaaaaafEA 中有一項是主對角線上元素的連乘積：中有一項是主對角線上元素的連乘積：1122()()()nnaaa11122( )()( 1)nnnnnfaaaA f ( )的展

15、開式的其余各項為的展開式的其余各項為 2627 性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)設(shè) n 階方陣階方陣 A 的的 n個特征值為個特征值為 12,n 則則121122(1) nnnaaa 稱為矩陣稱為矩陣A的跡，記為的跡，記為121(2) niniA 設(shè)設(shè)f ( ) = 0的根為的根為12,n ，則有，則有12()()()( )nf 11122()( 1)nnnnnaaaA 1( )niiitr Aa 28 若若A的特征值是的特征值是 , , X是是A的對應(yīng)于的對應(yīng)于 的特征向量的特征向量, ,性質(zhì)性質(zhì)2 (1) kA的特征值是的特征值是k ;( (k是任意常數(shù)是任意常數(shù)) )(2) ;mmA 的的特特征征值值是是

16、(m是正整數(shù)是正整數(shù)) )(3) 若若A可逆可逆, ,則則A-1-1的特征值是的特征值是 -1-1 , ,A 的特征值是的特征值是.A 1,mkA AAA 且且X 仍然是矩陣仍然是矩陣 分別對應(yīng)于分別對應(yīng)于11 , ,A mk 的特征向量的特征向量. .29證證 2AXX 因因為為 A AXAXAXX 所所以以 22A XX 再繼續(xù)施行上述步驟再繼續(xù)施行上述步驟 m - 2 次次, , 就得就得mmAXX ,.mmmmAXA 故故是是矩矩陣陣的的特特征征值值 且且 是是對對應(yīng)應(yīng)于于的的特特征征向向量量(4) ( )f x為為x的多項式的多項式, , 則則f ( (A) )的特征值為的特征值為

17、( ).f 30AXX 由由可可得得 111AAXAXA X11A XX (3),0,A 當(dāng)當(dāng) 可可逆逆時時1111 ,.AXA 故故是是矩矩陣陣的的特特征征值值 且且是是對對應(yīng)應(yīng)于于的的特特征征向向量量其它請同學(xué)們自己證明其它請同學(xué)們自己證明. . 例例6 已知三階方陣已知三階方陣A的特征值為的特征值為1、2、3, 求矩陣求矩陣A*+E的行列式的行列式. 解解 由性質(zhì)由性質(zhì)1（2）知）知1231236A A 則矩陣則矩陣A*的特征值的特征值所以矩陣所以矩陣A*的特征值分別是的特征值分別是6，3，2，A*+E的特征值的特征值分別是分別是7，4，3，故，故74384AE 3132定理定理4.1矩

18、陣矩陣A和和AT的特征值相同的特征值相同. .證證 因為因為()TEAEA即即A與與AT有相同的特征多項式，所以它們有相同的特征值有相同的特征多項式，所以它們有相同的特征值二、特征值與特征向量的性質(zhì)二、特征值與特征向量的性質(zhì)TEA 注注 雖然雖然A與與AT有相同的特征多項式，但它們有相同的特征多項式，但它們的屬于同一的屬于同一特征值的特征向量不一定相同特征值的特征向量不一定相同3311,mX 當(dāng)當(dāng)時時假設(shè)結(jié)論對假設(shè)結(jié)論對 m 1個互異特征值對應(yīng)的特征向量個互異特征值對應(yīng)的特征向量 定理定理4.2 設(shè)設(shè)12,m 12,mX XX依次是與之對應(yīng)的特征向量依次是與之對應(yīng)的特征向量.線性無關(guān)線性無關(guān).

19、 .證證已知已知,1,2,iiAXX im 是方陣是方陣A 的的 m 個特征值，個特征值，如果如果12,m 12,mXXX各不相等各不相等, , 則則線性無關(guān)線性無關(guān). 即方陣即方陣的屬于不同特征值的特征向量的屬于不同特征值的特征向量X1線性無關(guān)線性無關(guān). .線性無關(guān)，現(xiàn)證明線性無關(guān)，現(xiàn)證明m個互異特征值個互異特征值對應(yīng)的特征向量也對應(yīng)的特征向量也線性無關(guān)線性無關(guān). . 1122,mmA k Xk Xk X 111222(2)mmmk Xk Xk X 112211(1)mmmmk Xk XkXk X 設(shè)設(shè)用用A左乘（左乘（1 1）式兩端得）式兩端得因為因為,1,2,iiAXX im 所以所以用

20、用 m 乘（乘（1）式兩邊得）式兩邊得112211(3)mmmmmmmmkXkXkXkX用用(3)式減去式減去(2)式式,得得111222111()()()mmmmmmkXkXkX 3435代入代入(1)式得式得 , 得得()0(1,2,1)imikim ,0mmmmk XXk 而而則則，由歸納法假設(shè)，由歸納法假設(shè)，線性無關(guān)，所以線性無關(guān)，所以121,mX XX 0(1,2,1)miikim 因因為為， 則則線性無關(guān)線性無關(guān). .12,mXXX故故36定理定理4.3 設(shè)設(shè)12,m 是方陣是方陣A的互異特征值的互異特征值12,iiiirXXX而而(1,2,)im 是是A的屬于特征值的屬于特征值i

21、 的的線線性性無無關(guān)關(guān)特特征征向向量量，則向量組則向量組 線性無關(guān)線性無關(guān). .111121,rXXX ，221222, rXXX， ，12,mmmmrXXX 由定理由定理4.3, 對于一個對于一個 n 階矩陣階矩陣A, 求它的屬于每個求它的屬于每個特征值的線性無關(guān)特征向量特征值的線性無關(guān)特征向量, ,把它們合在一起仍然是把它們合在一起仍然是線性無關(guān)的線性無關(guān)的, , 且它們都是且它們都是A的線性無關(guān)的特征向量的線性無關(guān)的特征向量. .37 例如例如, , 例例2中屬于中屬于 2 重特征值重特征值 = 1 的線性無關(guān)的特的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)為征向量的個數(shù)為 1個個; 而例而例3中屬于中屬

22、于 2 重特征值重特征值 = 0 的線性無關(guān)的特征的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)剛好為向量的個數(shù)剛好為 2個；個； 例例1則表明每個單根對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量則表明每個單根對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量剛好是一個剛好是一個.定理定理4.4 若若 0是是 n 階矩陣階矩陣A的的k重特征值重特征值, ,則則A A的屬于的屬于 0的線性無關(guān)的特征向量最多有的線性無關(guān)的特征向量最多有k 個個. .38 例例7 7 設(shè)設(shè) 1與與 2是矩陣是矩陣 A 的兩個不同特征值的兩個不同特征值, 對應(yīng)的特征對應(yīng)的特征向量分別為向量分別為X1與與X2, 證明證明: X1+ X2 不是不是 A的特征向量的特征向量. 112()A XXAXAX由題設(shè)由題設(shè) AX1 = 1 X1 , AX2= 2X2 ,有有解解112()()A XXXX 121122()XXXX 1122-XX 即 （）（）即 （）（）1122XX反證法反證法. 設(shè)設(shè)X1