2019-2020年湖南省衡陽市衡山縣開云實驗中學高三數(shù)學理月考試題含解析

1、2019-2020年湖南省衡陽市衡山縣開云實驗中學高三數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選 項中，只有是一個符合題目要求的1.曲線丁 = "一2二在久一1）處的切線方程為y-2= 0D.A. x-y-2=0 b. *戶2=口 y+ 2 = 0 參考答案：A. a>l, b>0B.2,則（a>b b<0C. 0<a<l, b>0D. 0<a<l, b<0參考答案:【考點】對數(shù)值大小的比較；不等式比較大小.【專題】計算題.【分析】由對數(shù)函數(shù)尸1。氏x在（0, +8）單調(diào)遞增

2、及1。30口限1可求a的范圍，由1 X1 b10（弓）（弓）>1二（方）指數(shù)函數(shù)產(chǎn)【解答】解:2單調(diào)遞減，及 22 可求b的范圍.Vlog：a<0=log=b 由對數(shù)函數(shù) y=log.在（0, +8 ）單調(diào)遞增，oV&V11 b-I弓）>1二1）乙乙1 X*）,由指數(shù)函數(shù)尸 2 單調(diào)遞減bVO故選：D【點評】本題主要考查了借助指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小求解參數(shù)的范圍，屬 于基礎試題3.下列不等式一定成立的是（）2 1lg（z2+-）lg0）（A）4（B）sin x +， 2（x N 后工kw Z） sin x（C）./+lN2|i®W&）（D

3、）. 士參考答案：c略4 “算二1”是“爐21：+1=0” 的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.非不充分不必要條件參考答案：A5 .已知集合/=44工-3。）,西=巾90.若從工區(qū),則實數(shù)。的取值范圍是（）A, b.na3 c, a-l d. "T參考答案：c6 .命題：“若了=1,則元=1”的逆否命題為（）A.若KK1,則或* = 一1C.若元#1,則旦46T參考答案：C7.在 AABC 中，若滿足 a cosA=b cosB,A.等腰三角形C.等腰直角三角形參考答案：B.若兀=1,則* = 1或*=TD.若莫=1,則丈=1旦工二-1則ABC的形狀為（）B.銳角三

4、角形D.等腰或直角三角形在ABC 中，?acosA=bcosB,.由正弦定理品同 siiB=2R,得 a=2RsinA, b=2RsinB,1 1.-.sinAcosA=sinBcosB2 sin2A= 2 sin2B,兀 A+r -Km2A西2BJ,2A 2B或叢-A B或 2,，氏正。為等腰或直角三角形, 故選D.8 .若函數(shù)|(才)=3&+3、與g(x)=3*3i的定義域均為R, 則()A|(x)與g(x)均為偶函數(shù)B|(x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù)C|(x)與g(x)均為奇函數(shù)D(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù)參考答案：B9 .已知數(shù)列湘對任意的獷滿足與+廣+汽且的二那么等于

5、()A.-165B.-33C.-30D.-21參考答案：C2,6)=出(> + 1)_10 .函數(shù)元的零點所在的大致區(qū)間是2)C. (2, e)D. (3, 4)B. (1 ,A. (0, 1 )參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分11 .三角形ABC中，若聞月正十月十E&*十N萬=0,則三角形ABC的形狀為參考答案：直角三角形略矛w （Q汽）12 .已知函數(shù)/（幻=1 + 2"1欲1, " ' 'N,則/。）的單調(diào)減區(qū)間是.參考答案：13 .己知同叩卜*2*1, /+%參考答案：3略14.已知各項均不為零的數(shù)列上，定義

6、向量外二（外道1），瓦二Sd+ 1），。下列命 題中真命題是,若打g"總有J_L'成立 則數(shù)列4）是等比數(shù)災B若以£獷總有q/儂成立，則數(shù)列工墀等比數(shù)列c若颯g獷總有4 _U.成立貝峨列4虎等差數(shù)凱n若叱/川.總有 “九成立 則數(shù)列上誕等差數(shù)列 £/若而,五二-3,參考答案：15設P為AABC中線AD的中點，D為邊BC中點，旦AD:2,參考答案:0【考點】平面向量數(shù)量積的運算.【專題】平面向量及應用.» * » ->【分析】利用向量的三角形法則可得ABA3（ PB - PA） ?（ PC - PA）;PBPC- （PB+PC）?兩

7、堂，由數(shù)量積運算即可得出結(jié)論.【解答】解：由題意可得PA二PD=1,而+近2同，.* * *>.1 2. AB AJ（ PB- PA）?（PC - PA）=PB-PC-（ PB+PC）制PA 二.3+2X IX 1+1=0.故答案為0.【點評】本題主要考查向量加減的運算法則及數(shù)量積運算等知識，屬于基礎題.16 .已知球0是正三棱錐（底面為正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）4一取力的 外接球，死=3,陛=2招，點因在線段如上，旦即=3的，過點因作球0的截 面，則所得截面中面積最小的截面圓的面積是.參考答案：2x17 .現(xiàn)有6個人排成一橫排照相，其中甲不能被排在邊上，則不同排法的總數(shù)為參

8、考答案：480假設6個人分別對應6個空位，甲不站在兩端，有4個位置可選，則其他5人對應其他5 個位置，有Ass=120種情況，故不同排列方法種數(shù)4*120=480種.故答案為480.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算 步驟C:（x-l）2 + jr2 = ix=-18 .已知圓4, 一動圓與直線 2相切且與圓C外切.（1）求動圓圓心產(chǎn)的軌跡的方程；（2）若經(jīng)過定點創(chuàng)6，°）的直線（與曲線T交于4B兩點，M是線段的中點，過 M作上軸的平行線與曲線T相交于點耳，試問是否存在直線，使得龍泄，若存 在，求出直線的方程，若不存在，說明理由.參考答案：附|

9、一（犬 + ±）二 三 本題考查拋物線的標準方程，直線與圓錐曲線的位置關系,（）由題意得2）化簡可得J'2=© ;（2）設直線為算=my + 6,聯(lián)立方程,套用根與系數(shù)的關系得:存在直線3x + V6y -18 = 0或3% - v'Ey -18 = 0,使得NA 1JVB.（1）設p（”j）,分析可知：動圓的圓心不能在y軸的左側(cè)，故算之°,I 一 _ 2動圓與直線- 2相切，且與圓C外切，JC| 一（九 十 0=：.附| =%+ 1,算-1）2+產(chǎn)=, + 1,化簡可得產(chǎn)二叔；（2）設a。"內(nèi)），見苑，必），由題意可知，當直線與y軸垂直

10、時，顯然不符合題意，故可設直線!的方程為“二my+6,聯(lián)立 = my + 6和尸=4%并消去匕 可得y? 4my- 24 = 0,僅n +曠2 = 4 m顯然=16"+96>0,由韋達定理可知二-24,乂+= (7n必 + 6)+ (?71%+6), .%1 +如 =4m/+ 12, %工二也4 4, .孫孫= 36,假設存在N(%y。)，使得福麗=0,yQ =11生由題意可知02 ,%= 2血，% =通,由N點在拋物線上可知° 4,即稅=加：乂而=(%! - xQ,y2 - y0)B = (%2- x0,y2 -y0),若布？菠=0,則1石一/(0+/)+瑞+為七一

11、%&'1+曠2)+%二°,由©代入上式化簡可得3裙+ 16n1/ -12 = 0,cm2 = - m = + 即(竹 +6) (3叱_2) = 0,.* 故 一.存在直線3、+ v，r6y - 18 = 0或3% - 18 = 0,使得M4 1JVB./(x)=(2-«)ln x+ - +2aDt19 .已知函數(shù)上 (1)當夕=0時，求函數(shù)的極值：(2)當白<0時，討論函數(shù)的單調(diào)性：若對任意的EfT),3覆恒有如山-2瓦3>|引-刈成 立，求實數(shù)上的取值范圍.參考答案:解：當1 = 0時，函數(shù)'("一"111

12、"7的定義域為(0+5),roo=-IL12jc-1 金3T得A1分"K (0 -)(-二函數(shù)1I同在區(qū)間2上是減函數(shù)，在區(qū)間24OT)上是增函數(shù).f() =21n + 2= 2-21n2二函數(shù)7I叼有極小值是22,無極大值(2r-l)(ax+l)3分當夕=一2時，有函數(shù)在定義域(&+皿)內(nèi)單調(diào)遞減: 當時，在區(qū)間(叼，(一池上rw(。，單調(diào)遞減：在區(qū)間ri k5分5n a上f'CO>。，今單調(diào)遞增； 當"<-2時，在區(qū)間 ?占3上/W單調(diào)遞減；在區(qū)間，引上了單調(diào)遞增； 冏由知當。E(f-2)時，在區(qū)間L3上單調(diào)遞減，所以問題等價于:

13、對任意小FT),恒有(心山-21tt3mMi加3-16,立, 即”號因為-5所以因產(chǎn)ST,10分所以只需石 2t<Qc p .3x(-2)從而 、7s 一巧故工的取值范圍是.12分20 .已知數(shù)列,其前用項和為滿足彳=2,叉=其中"A2, nlf,A,戶wR（1）若4 = 0,夕=4,4=1一%（neN*）,求數(shù)列他1的前H項和：冗+蘆=2（2）若/=3,且 F,求證：數(shù)列31是等差數(shù)列.參考答案：S. = 4U,所以s1Hl =乜.兩式相減得Sz-S*4Ali-4a。即=44-4az 所以«!一羽即,二紋一 乂號= 1=8,所以 二號一=6,得4=%一%=24 分.

14、7因此數(shù)列痣）為以2為首項，2為公比的等比數(shù)列4=2：前項和為2m*2 分(2)當 =2時，* = 2電+叫,2/1所以3+2=6"%.乂八十”1可以解得"京片】9分o n-n+1n+1 n=Sml = -+aa=丁“一7；4+43所以 2,2,兩式相減得 22n1 n 2即一三'"3.猜想,=>1,下面用數(shù)學歸納法證明：10分當 =1或2時，4=2=1+1,/=3 = 2+1,猜想成立:假設當森W* (fcGfc-2)時，二金#1成立2 fc22 fc 2.亍世釗+無卜壯？猜想成立.13分14分由、可知，對任意正整數(shù)，,二"+1.所以一

15、T為常數(shù)，所以數(shù)列4是等差數(shù)列.另解：若=3,由*%=窈%+修，得5=64+22.,3A+/I =-乂 2 ,解得9分由3=2, = 3-2 ,，= 1，代入二十/fl得=4,U HU H+1c c c斗=>3=fl-a + O.所以%巴/成等差數(shù)列，由. 2、得川2叱_ n+1 _n _兩式相減得： =-/+%,即 =所以 工2-一24 = 011分相減得：叫田一迎1kl4伽-2>,-2,42=0所以-2+.)+N%-24+)=02好(+2=-(聯(lián)一2，+3=所以"TJ因為4-2%+%=0,所以4H2-2+%=°,即數(shù)列MJ是等差數(shù)列14分21 .某校高三數(shù)學

16、競賽初賽考試后，對90分以上(含90分)的成績進行統(tǒng)計，其頻率分 布直方圖如圖所示.若130140分數(shù)段的人數(shù)為2人.（1）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)也（2）現(xiàn)根據(jù)初賽成績從第一組和第五組（從低分段到高分段依次為第一組、第二 組、第五組）中任意選出兩人，形成幫扶學習小組.若選出的兩人成績之差大于20, 則稱這兩人為“黃金搭檔組”，試求選出的兩人為“黃金搭檔組”的概率.參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式；頻率分布直方圖.【專題】計算題：概率與統(tǒng)計.【分析】（I）根據(jù)頻率分布直方圖可知，各個小組的頻率，再根據(jù)平均數(shù)的求法即可解 出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M.（II）本題是一個等可能事件的概率，可以列舉出從

17、第一組和第五組中任意選出兩人共有 下列15種選法，滿足條件的事件是兩人成績之差大于20,則兩人分別來自于第一組和第 五組，共有8種選法，根據(jù)等可能事件的概率公式得到結(jié)果.【解答】解：（I）由頻率分布直方圖可知：90100分的頻率為0.1, 100110分的頻 率為0.25, 110120分的頻率為0.45, 120130分的頻率為0. 15, 130140分的頻率 為 0. 05；J這組數(shù)據(jù)的平均數(shù) M=95 X 0. 1+105 X 0. 25+115 X 0. 45+125 X 0. 15+135 X 0. 05=113 （分）（II）第五組130140分數(shù)段的人數(shù)為2人，頻率為0.05；

18、故參加的總?cè)藬?shù)為2 0 0. 05=40人.第一組共有40X0. 01X10=4人，記作A八九、4、A；：第五組共有2人，記作風、B二從第一組和第五組中任意選出兩人共有下列15種選法：As, &、4, AJ、Ai, Ai As, %、Ac, Ai 、 As, A： ； A：, BJ、As, BJ、4, Bj、 An BJ； Ax, B/、&, a、4, Bj、Ah BJ； Bl, B：.共有 15 種結(jié)果, 設事件A：選出的兩人為“黃金搭檔組”.若兩人成績之差大于20,則兩人分別來自于第一組和第五組，共有8種選法,故 P (A)12分【點評】本題考查用樣本的頻率分布估計總體的頻

19、率分布，考查等可能事件的概率，考查 用列舉法來數(shù)出事件數(shù)，這是一個概率與統(tǒng)計的綜合題目.22 .已知函數(shù)工卜丁-克小卜右置）（1）若（今是在定義域內(nèi)的增函數(shù)，求仁的取值范圍:若函數(shù)一"*"算）2 （其中為的導函數(shù)）存在三個零點, 求仁的取值范圍.參考答案:2；試題分析：求函數(shù)，出的導數(shù)"到=2尤-1-3 ;由,之°在無 上恒成立可得 2,構(gòu)造函數(shù) 2,求函數(shù)義的最小值即可;鞏今=。=小、一升”構(gòu)造函數(shù)I 2）,研究函數(shù)鋼的單調(diào)單調(diào)性，作出函數(shù)及后與函數(shù)9二,的圖象，數(shù)形結(jié)合，觀察兩函數(shù)圖象可求得 的取值范圍.試題解析：（1）因為/（*）=三一元+儀產(chǎn)卜£置）, 所以函數(shù)今的定義域為七旦""）= 2"T2產(chǎn)由r（*）°得2乂一1一處一”之。，即對于一切實數(shù)都成再令g(x)=；(2x-l)/，則/(力=21 令/(» = 0得x = 0,而當x<0時，g<x)<0,當x>0時，g (x)>0 ,所以當x = 0時，g(x)取得極小值也是最小值，即g(x)181ft =