概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第六章樣本及抽樣分布 (2)

1、 隨機(jī)樣本隨機(jī)樣本 抽樣分布抽樣分布b 點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì) 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)Y 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)B 正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)O (0-1)(0-1)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)B 單側(cè)置信區(qū)間單側(cè)置信區(qū)間p 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)l 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)Z 正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn) 分布的擬合檢驗(yàn)分布的擬合檢驗(yàn) 秩和檢驗(yàn)秩和檢驗(yàn)第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容：如何收集、整理帶有隨機(jī)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容：如何收集、整理帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)資料；如何對(duì)所得的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行分性的數(shù)據(jù)資料；如何對(duì)所

2、得的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行分析、研究，從而對(duì)所研究的對(duì)象的性質(zhì)、特點(diǎn)析、研究，從而對(duì)所研究的對(duì)象的性質(zhì)、特點(diǎn)作出推斷。作出推斷。1. 隨機(jī)樣本隨機(jī)樣本1定義定義:在統(tǒng)計(jì)學(xué)中在統(tǒng)計(jì)學(xué)中, 我們將試驗(yàn)的全部可能的觀察值稱我們將試驗(yàn)的全部可能的觀察值稱為為總體總體（這些值可能是相同的），每一個(gè)可能觀察值稱為（這些值可能是相同的），每一個(gè)可能觀察值稱為個(gè)體個(gè)體，總體中所包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為總體的容量。，總體中所包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為總體的容量。(可分為有限總體和無限總體可分為有限總體和無限總體) 一個(gè)總體對(duì)應(yīng)于一個(gè)隨機(jī)變量。一個(gè)總體對(duì)應(yīng)于一個(gè)隨機(jī)變量。二二. 定義定義:設(shè)設(shè)X是具有分布函數(shù)是具有分布函數(shù)F的的r.

3、v.,若若X1, X2,Xn是具是具有同一分布函數(shù)有同一分布函數(shù)F的相互獨(dú)立的的相互獨(dú)立的r.v.,則稱為則稱為從分布函數(shù)從分布函數(shù)F(或總體或總體F、或總體、或總體X)得到的容量為得到的容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本, 簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱樣本樣本, 它們的觀察值它們的觀察值x1,x2, , xn稱為稱為樣本值樣本值, 又稱為又稱為X的的n個(gè)獨(dú)立的觀察值個(gè)獨(dú)立的觀察值.1212n12nii 1, x , x ,xF(x ) nn*X , X ,XX , X ,X: F () 若若總總體體X X的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為F F, ,為為X X的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本 則則的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布函函數(shù)數(shù)為為

4、)f(x)x,x ,(xf X,X,X f,Xn1iin21*n21 密密度度為為的的聯(lián)聯(lián)合合概概率率則則具具有有概概率率密密度度又又若若2. 抽樣分布抽樣分布 一.一.定義定義: 設(shè)設(shè)X1, X2, , Xn是來自總體是來自總體X的一個(gè)樣本的一個(gè)樣本, 又設(shè)又設(shè)g(X1, X2, , Xn)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)是一個(gè)連續(xù)函數(shù), 如果如果g, 則稱則稱g(X1, X2, , Xn)為為統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量. 由定義可知由定義可知, 統(tǒng)計(jì)量也是一個(gè)隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)量也是一個(gè)隨機(jī)變量,如如 果果x1, x2, , xn是一組樣本值是一組樣本值, 則則g(x1, x2, , xn)是統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)量g(X1, X2,

5、, Xn)的一個(gè)觀察值的一個(gè)觀察值.二二. 常用的統(tǒng)計(jì)量常用的統(tǒng)計(jì)量:;Xn1X 1.n1ii 樣本均值樣本均值;)X(X1-n1S 2.2n1ii2 樣本方差樣本方差2nii 113. S(X; n-1X ) 樣樣本本標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方差差; 2, 1,k , Xn1 Ak 4.n1ikik 階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩樣本樣本. 3, 2,k , )X(Xn1B k 5.n1ikik 階中心矩階中心矩樣本樣本 , ,)x(x1n1s ,xn1x1. n1i2i2n1ii稱稱為為樣樣本本方方差差均均值值仍仍稱稱為為樣樣本本它它們們的的觀觀察察值值為為 2121 2. k1, AX,2,.nkBSn 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)

6、當(dāng)時(shí)時(shí)說明說明 . A,n ,)E(XkX :kPkkk 時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)存在存在階矩階矩的的若總體若總體結(jié)論結(jié)論證明：證明：,X , X,Xn21獨(dú)獨(dú)立立且且同同分分布布 ,XX,X,X kknk2k1同分布同分布獨(dú)立且與獨(dú)立且與故故,)X(E )E(X)E(Xkknk2k1 故有故有 2, 1,k , Xn1kPn1iki 由辛欽大數(shù)定理得由辛欽大數(shù)定理得 ). (g ) , , ,g()A, , A,g(A k21Pk21數(shù)數(shù)為連續(xù)函為連續(xù)函序列的性質(zhì)知序列的性質(zhì)知進(jìn)一步由依概率收斂的進(jìn)一步由依概率收斂的 12nnn: X , X , , Xx(x)(x),S( x ),x 6 6. .經(jīng)經(jīng)

7、驗(yàn)驗(yàn)分分布布函函數(shù)數(shù) 設(shè)設(shè)是是總總體體F F的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本用用S S( (x x) ), ,- - x x 45時(shí)時(shí),有有(三三) F分布分布: ).n ,F(nF , F)n ,(n n/VU/nr.v.F ,V U, ),(nV ),(nU : 1.2121212212記作記作分布分布的的服從自由度為服從自由度為則稱則稱獨(dú)立獨(dú)立且且設(shè)設(shè)定義定義 :F 2. 分分布布的的概概率率密密度度函函數(shù)數(shù) . 0, 0,y ,)nyn1)(2n()2n(y)n(n2)n(n(y) 2)nn(2121-1)2n(2n21212111其它其它 : 3.性性質(zhì)質(zhì) :-F 4.分分位位點(diǎn)點(diǎn)分分布布的的上

8、上 :-F 5.分分位位點(diǎn)點(diǎn)的的性性質(zhì)質(zhì)分分布布的的上上 y0 )n,n(F21 )y( ).n ,F(nF1 ),n ,F(nF1221則則若若 .F)n ,(nF dy(y)n ,(nFPF : 1,0 , 21)n,n(F2121分位點(diǎn)分位點(diǎn)分布的上分布的上為為的點(diǎn)的點(diǎn)稱滿足條件稱滿足條件對(duì)于給定的對(duì)于給定的 .)n,n(F1)n,n(F 1221-1 (四四) 正態(tài)總體樣本的均值與樣本方差的分布正態(tài)總體樣本的均值與樣本方差的分布:則則總總有有的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本是是方方差差為為的的均均值值為為和和方方差差存存在在只只要要均均值值不不管管服服從從什什么么樣樣的的分分布布設(shè)設(shè)總總體體 ,X

9、 X, ,X, X, , ) ,X( n212 ,n)XD( ,)XE(2 ).n ,(NXn1X),(NX,2n1ii2 則則若若進(jìn)一步進(jìn)一步22N(,)S ,: 對(duì)對(duì)于于正正態(tài)態(tài)總總體體的的樣樣本本均均值值X X, ,樣樣本本方方差差我我們們有有以以下下定定理理212n2. X ,X , , X( ,),: ( ,).NXXNn 定定理理一一 設(shè)設(shè)是是總總體體的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本是是樣樣本本均均值值 則則212n2. X ,X , , X( ,),:X t(n-1). NX SSn 定定理理三三 設(shè)設(shè)是是總總體體的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本分分別別是是樣樣本本均均值值和和樣樣本本方方差差 則則21

10、2n2202022. X ,X , , X( ,),:(n-1) 1 . (n-1), 2 . .NX SSXS 定定理理二二 設(shè)設(shè)是是總總體體的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本分分別別是是樣樣本本均均值值和和樣樣本本方方差差 則則與與獨(dú)獨(dú)立立12121212n12n22112211221112122212. X ,X , , XY ,Y , , Y(,),(,),1,11,() ,11() ,:1niinniiiiniiNNXXnYYSXXnnSYYn 定定理理四四設(shè)設(shè)與與分分別別是是來來自自正正態(tài)態(tài)總總體體的的樣樣本本且且這這兩兩個(gè)個(gè)樣樣本本相相互互獨(dú)獨(dú)立立 設(shè)設(shè)分分別別為為兩兩樣樣本本均均值值分分別別

11、為為兩兩樣樣本本方方差差則則221212221212121212221122212S /(1)F(n -1,n -1); /(2)=,(X-Y)-(-) (2),11S(1)(1) .(2)St nnnnnSnSSnn 當(dāng)當(dāng)= = 時(shí)時(shí)其其中中第六章第六章 習(xí)題課習(xí)題課 總體總體 樣本樣本 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 抽樣分布抽樣分布正態(tài)總體樣本均值與樣本方差的分布正態(tài)總體樣本均值與樣本方差的分布2125221122345212X ,X ,XXN0 2,YC (X2X )C (X2XX ) ,C_,C_,Y,_.1.1.設(shè)設(shè)是是來來自自正正態(tài)態(tài)總總體體 （ ， ）的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)服服從從分分布布

12、自自由由度度為為21231234123222212342023.X ,X ,X ;Y ,Y ,Y ,YX N( ,),XXXT_.YYYY 設(shè)設(shè)是是來來自自總總體體的的兩兩個(gè)個(gè)獨(dú)獨(dú)立立樣樣本本 則則統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量服服從從分分布布4t()1n2X N( ,4),X ,XX,E(X)0.1,n? 3.3.設(shè)設(shè)總總體體分分布布是是來來自自總總體體 的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本 要要使使至至少少應(yīng)應(yīng)取取多多少少4n24n2222nn224n2n4nX N( , )E(X),n40XX N(0,1),() (1),XE()1,E(X)0.1,n40. 解解可可得得或或者者故故即即要要使使故故2221216nn22

13、2211ii2n2ni 1i 1X N( ,),n16,X ,X ,XX,:P(X)2;P(XX)2 例例總總體體是是總總體體 的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本 求求下下列列概概率率i22i1616X22221ii 1i 116221i216i 116X2162i 12220.950.01() (16),(XX) (15),(1)P(X)2P()320.990.050.94(16)7.96,(16)32)0.950.010.94 解解而而則則查查分分布布表表上上式式2216221i216i 1n2161i2i 1220.90.005(2)P(XX)2P(XX)320.9950.10.895(158.547

14、1532.801 查查表表（ ），（ ）上上式式=0.9-0.005=0.895=0.9-0.005=0.895參數(shù)估計(jì)的一般提法：參數(shù)估計(jì)的一般提法： 設(shè)有一個(gè)統(tǒng)計(jì)總體，總體的分布函數(shù)設(shè)有一個(gè)統(tǒng)計(jì)總體，總體的分布函數(shù)稱為參數(shù)估計(jì)。統(tǒng)計(jì)問題某個(gè)已知函數(shù)）。這類的作出估計(jì)（或估計(jì)參數(shù)參數(shù)要依據(jù)該樣本對(duì)本樣現(xiàn)從該總體中抽樣，得,),;(2, 1nXXXxF第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 1. 1. 點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)一一. . 問題的提法問題的提法: : )x ,x, )X ,X , )x ,x,),X ,X , ,x ,x , ,XX ,X , ,) F(x;Xn2n2n2n2n2n2.,x(,X(,

15、x(X(,x,X,111111的的估估計(jì)計(jì)值值為為稱稱估估計(jì)計(jì)量量的的為為我我們們稱稱來來估估計(jì)計(jì)未未知知參參數(shù)數(shù)用用它它的的觀觀察察值值的的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量一一個(gè)個(gè)適適當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)估估計(jì)計(jì)問問題題就就是是要要構(gòu)構(gòu)造造應(yīng)應(yīng)的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本值值是是相相的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本是是數(shù)數(shù)是是待待估估參參的的形形式式為為已已知知的的分分布布函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)總總體體 二二. 矩估計(jì)法矩估計(jì)法: ), , , F(x;Xl21 的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)總總體體 , , ,)E(XkXl21kk的函數(shù)的函數(shù)也是也是階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩的的則則 ) , ,(f) , ,(f) , ,(f) , ,(g) , ,(g) ,

16、 ,(gl) 2, 1,)(kE(X) , ,(gl21lll2122l2111ll21l2l2121l211kl21k可解出可解出假定從方程組假定從方程組記記 ,Xx,x ,x n21的樣本值的樣本值是是設(shè)設(shè) ,Xn1Akn1ikik 來估計(jì)來估計(jì)用樣本矩用樣本矩. ,fii的的估估計(jì)計(jì)量量得得到到中中然然后后代代入入 .l 1,2,i ), ,A ,(Af l21ii法法叫叫矩矩估估計(jì)計(jì)法法這這種種估估計(jì)計(jì)未未知知參參數(shù)數(shù)的的辦辦 A1.之所以可用樣本矩作為相應(yīng)的總體矩的之所以可用樣本矩作為相應(yīng)的總體矩的估計(jì)量估計(jì)量, 用樣本矩的連續(xù)函數(shù)作為相應(yīng)的用樣本矩的連續(xù)函數(shù)作為相應(yīng)的總體矩的連續(xù)函

17、數(shù)的估計(jì)量總體矩的連續(xù)函數(shù)的估計(jì)量, 其原因在于其原因在于樣本矩樣本矩Ak依概率收斂于相應(yīng)的總體矩依概率收斂于相應(yīng)的總體矩, 而而樣本矩的連續(xù)函數(shù)依概率收斂于相應(yīng)的總樣本矩的連續(xù)函數(shù)依概率收斂于相應(yīng)的總體矩的連續(xù)函數(shù)體矩的連續(xù)函數(shù). .B ,E(X)-EX kkkkk 代代替替用用然然后后也也可可以以用用中中心心矩矩某某些些. 2. , ,X ,X ,X ,0 ,X 1.2n21222的的矩矩估估計(jì)計(jì)求求是是一一個(gè)個(gè)樣樣本本又又設(shè)設(shè)均均未未知知但但且且都都存存在在及及方方差差的的均均值值設(shè)設(shè)總總體體例例 , )E(X,E(X) : 221解解,E(X)D(X)222 ,A ,A 22211 令

18、令.)(11, 21212212212X-XnX-Xn-AAXAniinii的估計(jì)量和三三. 最大似然估計(jì)方法最大似然估計(jì)方法:,XX,X,X, , , ), , , f(x;Xn21l21l21的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本是是是是待待估估計(jì)計(jì)的的參參數(shù)數(shù)其其中中它它的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型的的總總體體 n1il21in21) , , ;f(x X,X,X的的聯(lián)聯(lián)合合密密度度函函數(shù)數(shù)為為則則.) , , ;f(x) , ,;x,x ,x (L,x,x ,x n1il21il21n21n21稱稱為為樣樣本本的的似似然然函函數(shù)數(shù)我我們們把把對(duì)對(duì)于于給給定定的的一一組組樣樣本本值值 ., ,

19、 . 1 l21的的函函數(shù)數(shù)似似然然函函數(shù)數(shù)是是待待估估參參數(shù)數(shù) .);();,(L,)XP,X1i稱稱為為樣樣本本的的似似然然函函數(shù)數(shù)我我們們把把對(duì)對(duì)于于給給定定的的一一組組樣樣本本值值設(shè)設(shè)它它的的分分布布律律為為對(duì)對(duì)于于離離散散型型的的總總體體l21inl21n21n21l21, , ,xp, , ,x,x xx,x x , , ,x; px , ,x,x , , , ,x , ,x ,x , , 2. 21n21可可是是對(duì)對(duì)似似然然函函數(shù)數(shù)而而言言然然函函數(shù)數(shù)的的值值比比較較大大即即似似概概率率比比較較大大可可以以認(rèn)認(rèn)為為取取到到這這組組值值的的的的隨隨機(jī)機(jī)事事件件它它是是已已經(jīng)經(jīng)發(fā)發(fā)生

20、生是是一一組組樣樣本本值值發(fā)發(fā)生生的的事事件件易易于于概概率率大大的的事事件件比比概概率率小小根根據(jù)據(jù)經(jīng)經(jīng)驗(yàn)驗(yàn). , , , L,L , ,xl21l21l21n的估計(jì)值的估計(jì)值作為作為的參數(shù)的參數(shù)取到最大值取到最大值我們將使得我們將使得較大較大數(shù)值使得數(shù)值使得因而是參因而是參的函數(shù)的函數(shù)它是參數(shù)它是參數(shù)是常數(shù)是常數(shù) 12n12l12l12l12l12:(x , x , x ;, ,), , , , , , ,(,).nLXXX 定定義義 如如果果似似然然函函數(shù)數(shù)在在取取最最大大值值 則則稱稱分分別別為為的的最最大大似似然然估估計(jì)計(jì)值值而而相相應(yīng)應(yīng)的的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量稱稱為為參參數(shù)數(shù) 的的最最大大

21、似似然然估估計(jì)計(jì)量量最大似然估計(jì)的求解方法最大似然估計(jì)的求解方法:., , , ).( , :, , , ,l21l21 出出從上式中解方程組求解從上式中解方程組求解必須滿足必須滿足由微積分的知識(shí)有由微積分的知識(shí)有170L0L0Ll21.LlnL上上式式下下面面方方程程組組來來代代替替同同時(shí)時(shí)達(dá)達(dá)到到最最大大值值也也可可用用與與由由于于)2.7(,0L,0L,0Ll21 lnlnln 例例2. 設(shè)設(shè)X服從服從a, b區(qū)間上的均勻分布區(qū)間上的均勻分布, 求求a和和 b的的最最大似然大似然估計(jì)和矩估計(jì)量估計(jì)和矩估計(jì)量.: 1) : 解解最最大大似似然然估估計(jì)計(jì)似似然然函函數(shù)數(shù)為為是是一一組組樣樣本

22、本值值不不全全相相等等,)(x ,x ,xn21 , ,0,bxa,a-b1f(x) X其其它它的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為, 2 , 1i ,bxa,)ab(1)b, a;x ,x ,x(Linn21 ,0)ab(nLb,0)ab(nLa1n1n不不存存在在駐駐點(diǎn)點(diǎn)無無解解由由于于方方程程組組 應(yīng)應(yīng)該該有有由由于于考考慮慮在在邊邊界界上上的的點(diǎn)點(diǎn) ,bxa ,i ,maxXb ,minXaii ,a-bL取取到到最最小小值值取取到到最最大大值值當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)而而于是我們得到于是我們得到取最大值取最大值時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng),LmaxXb ,minXaii .maxXb ,minXa ii 2.矩估計(jì)：矩

23、估計(jì)：,12)ab()X(D,2baE(X) 2 已知已知1ab2E( X ), 4)ab(12)ab()X(E)X(D 2222 ,Xn1A2ban1ii1 令令 n1i2i222Xn1A4)ab(12)ab( )AA(12ab,A2ba 121 即即 ,)XX(n3X)AA(3Ab,)XX(n3X)AA(3Aan1i2i2121n1i2i2121 最大似然估計(jì)量和矩估計(jì)量不一定相同最大似然估計(jì)量和矩估計(jì)量不一定相同, 但正態(tài)但正態(tài)分布的是相同的分布的是相同的, 例如例如(P163例例5)222212n1(). X, 0, , X , X , X, , . 例例 續(xù)續(xù)設(shè)設(shè)總總體體 的的均均值

24、值 及及方方差差都都存存在在 且且但但均均未未知知又又設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)樣樣本本 求求的的最最大大似似然然估估計(jì)計(jì) 2222)x(exp21),x;( f:X 的的概概率率密密度度為為解解 n1i22i22)x(exp21),(L 似似然然函函數(shù)數(shù)為為 n1i2i22)x(21ln2n)2(ln2nLln而而 , 0)x()(212nLln, 0nx1Llnn1i2i2222n1ii2令令221111nniiii.xX ,( xX )nn 代代入入后后一一式式可可得得最大似然估計(jì)的性質(zhì)最大似然估計(jì)的性質(zhì):uu( ),(u),u,( ; )(), uu)u( ).Xf xf( 設(shè)設(shè) 的的函函數(shù)數(shù)具

25、具有有單單值值反反函函數(shù)數(shù)又又設(shè)設(shè) 是是的的概概率率密密度度函函數(shù)數(shù)形形式式已已知知中中參參數(shù)數(shù) 的的最最大大似似然然估估計(jì)計(jì) 則則是是的的最最大大似似然然估估計(jì)計(jì)2. 2. 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn) .,:,)XX(n1B,S,2n1i2i22有有效效性性和和一一致致性性無無偏偏性性三三個(gè)個(gè)常常用用標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)是是題題在在比比較較估估計(jì)計(jì)量量的的好好壞壞問問就就存存估估計(jì)計(jì)量量既既然然同同一一參參數(shù)數(shù)有有不不同同的的的的估估計(jì)計(jì)量量作作為為也也可可以以用用二二階階中中心心矩矩本本方方差差例例如如可可以以用用樣樣不不同同的的估估計(jì)計(jì)量量對(duì)對(duì)于于同同一一個(gè)個(gè)參參數(shù)數(shù)可可以以有有 10 無偏性

26、無偏性:. ,)(E, ,)(E )X,X,X( :)1(n21的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量是是稱稱則則有有且且對(duì)對(duì)于于存存在在的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望若若估估計(jì)計(jì)量量定定義義 .,)(E,)(E; ,)(E , ,:)2(的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量是是故故稱稱無無系系統(tǒng)統(tǒng)偏偏差差與與時(shí)時(shí)而而當(dāng)當(dāng)有有偏偏小小的的傾傾向向說說明明時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)有有偏偏大大的的傾傾向向說說明明時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)附附近近擺擺動(dòng)動(dòng)它它的的值值在在的的估估計(jì)計(jì)量量系系統(tǒng)統(tǒng)誤誤差差無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量是是沒沒有有直直觀觀解解釋釋 (3)例子例子:)X(EX . 1的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)是是)X(E)X(E)X(En1)nXXX(E)X(E,n21n

27、21 實(shí)際上實(shí)際上).X(E)X(E),X(E)X(E,XXii 從從而而同同分分布布與與總總體體而而. X, X,)X(E,X:的無偏估計(jì)量的無偏估計(jì)量是參數(shù)是參數(shù)因而在正態(tài)總體中因而在正態(tài)總體中為它的無偏估計(jì)量為它的無偏估計(jì)量作作就可以用就可以用存在存在只要只要服從何種分布服從何種分布無論無論結(jié)論結(jié)論 2. S2是是D(X)的無偏估計(jì)量的無偏估計(jì)量:)XX(En1i2i XnXEn1i22i 221niiE( X)nE( X ) )X(E)X(Dn)X(E)X(Dn22 故有故有而而 ,n/ )X(D)X(D),X(E)X(E ),X(D)1n()XX(En1i2i ),X(Dn1n)B(

28、E),X(D)S(E22 從而從而.)X(DB,)X(DS22的偏小的估計(jì)量的偏小的估計(jì)量是是而而的估計(jì)量的估計(jì)量是是可見可見21011n().n,E()C,(C),CC. 用用乘乘以以即即可可 這這種種方方法法稱稱為為一一般般化化一一般般地地 若若 是是 的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量 且且有有為為常常數(shù)數(shù)將將其其化化為為無無偏偏估估計(jì)計(jì)時(shí)時(shí)只只需需將將乘乘以以就就可可化化為為無無偏偏估估計(jì)計(jì) 即即為為 的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量2221nE(B )D( X )E(B )nD( X ), 由由知知若若用用來來作作為為的的估估計(jì)計(jì)量量時(shí)時(shí) 若若使使其其變變?yōu)闉闊o無偏偏估估計(jì)計(jì)時(shí)時(shí) 只只需需20有效性有

29、效性:.)(E)(D,2212121的偏離程度的偏離程度來衡量來衡量差差的方的方通常用通常用好好比比當(dāng)然應(yīng)該認(rèn)為當(dāng)然應(yīng)該認(rèn)為的擺動(dòng)小的擺動(dòng)小的擺動(dòng)比的擺動(dòng)比如果如果附近擺動(dòng)附近擺動(dòng)它們都在它們都在的無偏估計(jì)量的無偏估計(jì)量都是都是和和設(shè)設(shè) . ),(D)(D,)X, ,X,X()X,X,X( :)1(2121n2122n2111有有效效較較稱稱則則若若有有的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量都都是是與與設(shè)設(shè)定定義義 12n12n1x/ x0, f x0 0 nn minn1n:X,exp(),(;),X , X ,XX,:XZ( X , X ,X),XZ. 例例設(shè)設(shè)總總體體服服從從參參數(shù)數(shù)為為 的的指指數(shù)數(shù)

30、分分布布 概概率率密密度度為為其其中中參參數(shù)數(shù)未未知知 又又設(shè)設(shè)其其它它是是來來自自的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本 試試證證和和都都是是 的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量且且當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)較較有有效效 1 :( )E( X )E( X ), 解解X, 是是 的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量 而而12nnn minZ( X ,X ,X ) 是是服服從從/ n 參參數(shù)數(shù)為為的的指指數(shù)數(shù)分分布布即即minnx/ x0fx; 0, ,exp,() 具具有有概概率率密密度度其其它它n),nn E( Z ), E(ZZ. 故故知知即即也也是是參參數(shù)數(shù)的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)2(2)(),D X 由由于于2nD( X ), 故故22nD( Z

31、 ), 又又由由2nD( Z ), 故故n1nnD( Z )D( X ),XZ. 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)故故較較有有效效30一致性一致性: n(1):,n, ,0, lim 1, .P 定定義義 設(shè)設(shè) 是是 的的估估計(jì)計(jì)量量 如如果果當(dāng)當(dāng)樣樣本本的的容容量量時(shí)時(shí)依依概概率率收收斂斂于于即即對(duì)對(duì)則則稱稱為為 的的一一致致估估計(jì)計(jì)量量.)X(DBS,)X(EX,)X(D:)2(22致致估估計(jì)計(jì)量量的的一一都都是是和和還還可可以以證證明明一一致致估估計(jì)計(jì)量量的的是是則則存存在在如如果果由由大大數(shù)數(shù)定定律律結(jié)結(jié)論論 , , , ,. 一一致致性性是是大大樣樣本本所所呈呈現(xiàn)現(xiàn)的的性性質(zhì)質(zhì) 如如果果 是是 的的一一致致

32、估估計(jì)計(jì)量量 那那么么 當(dāng)當(dāng)樣樣本本容容量量很很大大時(shí)時(shí)接接近近 的的可可能能性性很很大大而而當(dāng)當(dāng)樣樣本本容容量量不不是是很很大大時(shí)時(shí) 無無偏偏性性是是基基本本要要求求 它它保保證證估估計(jì)計(jì)量量除除隨隨機(jī)機(jī)誤誤 差差外外 不不會(huì)會(huì)有有系系統(tǒng)統(tǒng)誤誤差差3. 3. 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 一一. 問題引入問題引入: a, , a, , a, a, a. , , ,. 對(duì)對(duì)于于一一個(gè)個(gè)量量如如某某工工件件的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度 通通過過測(cè)測(cè)量量和和計(jì)計(jì)算算得得到到它它的的一一個(gè)個(gè)近近似似值值在在工工程程技技術(shù)術(shù)上上還還要要同同時(shí)時(shí)給給出出這這個(gè)個(gè)近近似似值值的的誤誤差差也也就就是是說說給給出出一一個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間量量

33、一一定定落落入入這這個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi) 對(duì)對(duì)于于參參數(shù)數(shù)的的估估計(jì)計(jì)也也有有類類似似的的問問題題點(diǎn)點(diǎn)估估計(jì)計(jì)僅僅僅僅給給出出了了參參數(shù)數(shù)的的一一個(gè)個(gè)估估計(jì)計(jì)值值 有有時(shí)時(shí)還還需需要要知知道道它它的的可可靠靠性性程程度度 這這就就需需要要給給出出一一個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間 并并且且說說明明這這個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間以以多多大大的的概概率率包包含含參參數(shù)數(shù)的的真真值值 這這就就是是區(qū)區(qū)間間估估計(jì)計(jì)二二. 定義定義:12n12n,(01)(,)(,): 1( , )1,1,1.XXXXXXXP 設(shè)設(shè)總總體體的的分分布布中中含含有有未未知知參參數(shù)數(shù)若若對(duì)對(duì)于于給給定定的的值值統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量和和滿滿足足則則稱稱隨隨機(jī)機(jī)區(qū)區(qū)間間

34、是是 的的置置信信度度為為的的置置信信區(qū)區(qū)間間和和 分分別別稱稱為為置置信信度度為為的的置置信信上上限限和和置置信信下下限限稱稱為為置置信信度度. 95, 100),( , ,95. 0),(,95. 0 ,05. 0.1 ,1 . , . , , 的的真真值值個(gè)個(gè)包包含含有有中中個(gè)個(gè)觀觀察察值值的的在在隨隨機(jī)機(jī)區(qū)區(qū)間間粗粗略略地地說說的的真真值值的的概概率率包包含含以以說說明明為為置置信信度度如如的的概概率率為為的的真真值值這這個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間包包含含時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)置置信信度度為為不不包包含含有有的的則則數(shù)數(shù)的的真真值值這這些些區(qū)區(qū)間間中中有有的的包包含含參參在在不不同同的的區(qū)區(qū)間間對(duì)對(duì)于于不不同同的

35、的樣樣本本值值取取到到間間它它是是隨隨機(jī)機(jī)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)間間置置信信區(qū)區(qū)間間不不同同于于一一般般的的 .1,XX,X,),. 112區(qū)區(qū)間間的的置置信信的的置置信信度度為為求求的的樣樣本本是是來來自自設(shè)設(shè)未未知知已已知知設(shè)設(shè)總總體體例例 n22X , ,N(X ,X:的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)是是由由解解 nX 且且且且不不依依賴賴于于任任何何其其)1 , 0(N,分分位位點(diǎn)點(diǎn)的的定定義義按按標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布的的上上它它參參數(shù)數(shù) 即即有有,1z|nX|P2 .1znXznXP2/2/ 的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的一一個(gè)個(gè)置置信信度度為為故故我我們們得得到到 1).znX()znX ,znX(2/2/2

36、/ 或或).69. 5 ,71. 4(,20. 5x).49. 0X()96. 1161X(95. 0,96. 1z,16n , 1 ,05. 02/則得則得本均值的觀察值本均值的觀察值若由一個(gè)樣本值算得樣若由一個(gè)樣本值算得樣的區(qū)間的區(qū)間信度為信度為于是有一個(gè)置于是有一個(gè)置有有若若如如 10. (4.71, 5.69)已不是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間已不是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間, 但仍稱但仍稱 它為置信度為它為置信度為0.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間, 其其直觀含義直觀含義: 若反復(fù)抽樣多次若反復(fù)抽樣多次, 每個(gè)樣本值每個(gè)樣本值(n=16)均確定均確定 一個(gè)區(qū)間一個(gè)區(qū)間, 在這么多的區(qū)間中在這么多的區(qū)間中, 包含包含 的

37、約占的約占 95%, 不包含不包含 的約占的約占5%,現(xiàn)抽樣得到的區(qū)間現(xiàn)抽樣得到的區(qū)間(4.71, 5.69), 則該區(qū)間屬于那些包含則該區(qū)間屬于那些包含 的區(qū)間的可信度為的區(qū)間的可信度為 95%, 或或“該區(qū)間包含該區(qū)間包含 ”這一這一事實(shí)的可信度事實(shí)的可信度 為為95%.95.0)znXznX(,95.0znXzP , 201.004.001.004.00的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的置置信信度度為為也也是是可可得得取取如如上上例例中中置置信信區(qū)區(qū)間間是是不不唯唯一一的的 . ,t,r.v. , , , , , , 置置信信區(qū)區(qū)間間最最短短取取雙雙側(cè)側(cè)分分位位點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)分分布布如如正正態(tài)態(tài)分分布布

38、稱稱的的對(duì)對(duì)于于密密度度函函數(shù)數(shù)為為單單峰峰對(duì)對(duì)地地一一般般置置信信區(qū)區(qū)間間越越短短越越好好置置信信度度相相同同時(shí)時(shí)顯顯然然間間區(qū)區(qū)可可以以有有各各種種不不同同的的置置信信對(duì)對(duì)于于同同一一置置信信區(qū)區(qū)間間03三三. 求置信區(qū)間的一般思路求置信區(qū)間的一般思路:1. 設(shè)法構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量設(shè)法構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量Z=Z(X1, X2, , Xn; ),除參數(shù)除參數(shù) 外外, Z不包含其他任何未知參數(shù)不包含其他任何未知參數(shù), Z的分布的分布 已知已知(或可求或可求 出出),并且不依賴于參數(shù)并且不依賴于參數(shù) , 也不依賴于也不依賴于 其他任何未知參其他任何未知參 數(shù)數(shù). 1b);X,X,X(ZaP,b, a,

39、1. 2n21 使使得得求求出出對(duì)對(duì)于于給給定定的的置置信信度度.)b,a;X,X,X()b,a;X,X,X(b);X,X,X(Za.3n21n21n21的的置置信信區(qū)區(qū)間間這這樣樣就就得得到到了了解解得得由由不不等等式式 4.4.正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)一一. 單個(gè)正態(tài)總體的均值與方差的區(qū)間估計(jì)單個(gè)正態(tài)總體的均值與方差的區(qū)間估計(jì):.X,X,X),(NX212是是一一個(gè)個(gè)樣樣本本設(shè)設(shè)總總體體n , .,. 12的的置置信信區(qū)區(qū)間間求求已已知知時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ).znX(11,nXZ2/ 置置信信區(qū)區(qū)間間的的的的置置信信度度為為可可得得由由例例選選取取.,. 22的置信

40、區(qū)間的置信區(qū)間求求未知時(shí)未知時(shí)當(dāng)當(dāng) ,S,222的無偏估計(jì)的無偏估計(jì)是是考慮考慮未知未知由由 ,nSXZ. v . r 構(gòu)造構(gòu)造,)1n( tZ不不依依賴賴于于任任何何未未知知參參數(shù)數(shù)而而 1)1n(tnSX)1n(tP2/2/有有2 2 )1(t2/ n)1(t2/ n).1n(tnSX(12/ 的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的置置信信度度為為可可得得:. 32的的置置信信區(qū)區(qū)間間求求 ,S1nZ.v.r22 考考慮慮不不依依賴賴于于由由定定理理一一知知),1n(Z2 注注意意到到對(duì)對(duì)于于給給定定的的置置信信度度任任何何參參數(shù)數(shù),1. , 2/)1n(S1nP22/22 2/ 2/ )1(22/ n

41、)1(22/1 n)1n(S1nP22/122 )1n(S1nP122/122 2/ 1)1n(S1n)1n(P22/2222/1故故的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為的的置置信信度度為為 12)1n(S)1n(,)1n(S)1n( 22/1222/2 三三. 兩個(gè)正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì):.S,XS,X,n,n,),(N),(N22221121222211和和方差分別為方差分別為樣本均值樣本均值容量分別為容量分別為的兩組相互獨(dú)立的樣本的兩組相互獨(dú)立的樣本和和設(shè)有總體設(shè)有總體 :, . 1212221的置信區(qū)間的置信區(qū)間求求已知時(shí)已知時(shí)和和當(dāng)當(dāng) ,Y,X 21的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)分分別別

42、為為 , YX21偏偏估估計(jì)計(jì)的的無無也也是是故故 得得的獨(dú)立性以及的獨(dú)立性以及由由)n/,(NY),n/,(NX Y,X22221211 )1 , 0(Nnn)(YX )nn,(NYX 2221212122212121 或或).nnzYX( 12221212/21 的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的一一個(gè)個(gè)置置信信度度為為即即可可得得到到:, . 221222221的置信區(qū)間的置信區(qū)間求求未知未知但但 n1n1S)()YX( )152P(2121 知知由由第第六六章章的的定定理理三三).2nn( t21 .2nnS)1n(S)1n(S n1n1S)2nn(t)YX(121222211221212/21

43、 此此處處的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的一一個(gè)個(gè)置置信信度度為為從從而而可可得得:, . 3212221的的置置信信區(qū)區(qū)間間求求均均未未知知時(shí)時(shí)和和當(dāng)當(dāng) .1 nSnSzYX ),50(nn 212221212/21的的近近似似置置信信區(qū)區(qū)間間置置信信度度為為的的來來作作為為用用可可則則即即可可實(shí)實(shí)用用上上一一般般大大于于都都很很大大和和此此時(shí)時(shí)只只要要 .95.0-., (m/s).20. 1s).m/s(496x ,20II (m/s),10. 1s),m/s(500 x ,10I ,II, I .1212211的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的置置信信度度為為均均值值求求兩兩總總體體們們的的方方差差相相

44、等等且且由由生生產(chǎn)產(chǎn)過過程程可可認(rèn)認(rèn)為為它它布布服服從從正正態(tài)態(tài)分分假假定定兩兩總總體體都都可可近近似似地地標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差為為得得到到槍槍口口速速度度的的平平均均值值發(fā)發(fā)型型子子彈彈隨隨機(jī)機(jī)地地取取標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差得得到到槍槍口口速速度度的的平平均均值值發(fā)發(fā)型型子子彈彈機(jī)機(jī)的的取取隨隨口口速速度度兩兩種種型型號(hào)號(hào)步步槍槍子子彈彈的的槍槍為為比比較較例例 但但數(shù)數(shù)值值差差相相等等又又因因由由假假設(shè)設(shè)兩兩總總體體的的方方相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的體體的的樣樣本本是是可可認(rèn)認(rèn)為為分分別別來來自自兩兩個(gè)個(gè)總總按按實(shí)實(shí)際際情情況況解解 ,.,:1212,3.10.95,10,20,228,nnnn 未未知知 故故可

45、可由由第第 種種情情況況求求均均值值差差的的置置信信區(qū)區(qū)間間由由于于,1688. 1S ,28/ )20. 11910. 19(S,0484. 2)28(t222025. 0 故故).93. 4 ,07. 3( )93. 04()20/110/1)28(tSxx(95. 0025. 02121即即的的置置信信區(qū)區(qū)間間是是的的置置信信度度為為所所求求的的兩兩總總體體均均值值差差 四四. 兩個(gè)總體方差比的置信區(qū)間兩個(gè)總體方差比的置信區(qū)間:12, 僅僅討討論論總總體體均均值值未未知知的的情情況況),1n(S)1n( ),1n(S)1n( 22222221221211 由由,S)1n(S)1n(222

46、2221211相相互互獨(dú)獨(dú)立立與與且且由由假假設(shè)設(shè)知知 由由此此得得且且不不依依賴賴于于任任何何未未知知數(shù)數(shù)分分布布的的定定義義知知由由,),1n, 1n(FSSF2122222121 1)1n, 1n(FSS)1n, 1n(FP212222221212121)1n, 1n(F1SS ,)1n, 1n(F1SS(12121222121222212221 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為于是得到于是得到 1)1n, 1n(F1SS)1n, 1n(F1SSP2121222122212122221.90. 0,)2 , 1i (,),(N),(NB,A,),mm(29. 0s,1

47、3B);mm(34. 0s,18A ,BA . 522212ii222211222221的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的置置信信度度為為試試求求方方差差比比均均未未知知這這里里別別服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布生生產(chǎn)產(chǎn)的的管管子子的的內(nèi)內(nèi)徑徑分分機(jī)機(jī)器器且且設(shè)設(shè)機(jī)機(jī)器器兩兩樣樣本本相相互互獨(dú)獨(dú)立立設(shè)設(shè)測(cè)測(cè)得得樣樣本本方方差差只只生生產(chǎn)產(chǎn)的的管管子子機(jī)機(jī)器器抽抽取取測(cè)測(cè)得得樣樣本本方方差差只只生生產(chǎn)產(chǎn)的的管管子子器器隨隨機(jī)機(jī)抽抽取取生生產(chǎn)產(chǎn)的的鋼鋼管管的的內(nèi)內(nèi)徑徑和和機(jī)機(jī)器器研研究究由由機(jī)機(jī)器器例例 ,10. 0,29. 0s ,132n,34. 0s ,18n:22211 現(xiàn)在現(xiàn)在解解,59. 2)12,1

48、7(F)nn(F05. 0212/ 38. 21)17,12(F1)12,17(F)12,17(F05. 095. 02/1 ).79. 2 ,45. 0( )38. 229. 034. 0,59. 2129. 034. 0( 90. 02221即即的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為的的一一個(gè)個(gè)置置信信度度為為于于是是可可得得 5. (0-1)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì):-1p,p, 1 , 0 x,)p1(p)px;(f:X)10(,50nx1x的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的置置信信度度為為現(xiàn)現(xiàn)來來求求數(shù)數(shù)為為未未知知參參其其中中分分布布律律的的分分布布的的總總體體它它來來自自的的大大樣樣本本設(shè)設(shè)

49、有有一一容容量量 )p-1(pp,)10(2 為為分分布布的的均均值值和和方方差差分分別別已已知知,n,X,X,Xn21極限定理知極限定理知由中心由中心較大較大因樣本容量因樣本容量是一個(gè)樣本是一個(gè)樣本設(shè)設(shè)于是于是),1 , 0(N)p-1(pnpnXn)p-1(pnpnXn1ii ,1z)p-1(pnpnXnzP2/2/ 2/2/z)p-1(pnpnXnz即不等式即不等式0)Xnp)zXn2(p)zn(22222/2/ )ac4bb(a21p),ac4bb(a21p2221 記記222Xnc),zXn2(b,zna2/2/ 此處此處).p,p(1,p21的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為置置信信度度為為

50、的的近近似似的的故故得得 例例 設(shè)自一大批產(chǎn)品的設(shè)自一大批產(chǎn)品的100個(gè)樣品中個(gè)樣品中, 得一級(jí)品得一級(jí)品60個(gè)個(gè), 求這求這批產(chǎn)品的一級(jí)品率批產(chǎn)品的一級(jí)品率p的置信度為的置信度為0.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間.,)10(p:分分布布的的參參數(shù)數(shù)是是一一級(jí)級(jí)品品率率解解 ,025. 02/,95. 01 , 6 . 0100/60 x,100n 此此處處其中其中的置信區(qū)間的置信區(qū)間由上面的式子來求由上面的式子來求,p,96. 1Z2/ .36xnc,84.123)zxn2(b,84.103zna22/22/ 69. 0p,50. 0p21 而而. )69. 0 ,50. 0(95. 0p的的近近

51、似似置置信信區(qū)區(qū)間間為為的的置置信信度度為為故故得得6. 單側(cè)置信區(qū)間單側(cè)置信區(qū)間一一. 定義定義:.1,1),(1P)X,X,X(X,X,X),10(n21n21的的單單側(cè)側(cè)置置信信下下限限信信度度為為稱稱為為置置的的單單側(cè)側(cè)置置信信區(qū)區(qū)間間的的置置信信度度為為是是區(qū)區(qū)間間稱稱隨隨機(jī)機(jī)滿滿足足統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量確確定定的的若若由由樣樣本本對(duì)對(duì)于于給給定定值值 .1,1),(1P)X,X,X(n21的單側(cè)置信上限的單側(cè)置信上限為置信度為為置信度為稱稱的單側(cè)置信區(qū)間的單側(cè)置信區(qū)間的置信度為的置信度為是是機(jī)區(qū)間機(jī)區(qū)間稱隨稱隨滿足滿足又若統(tǒng)計(jì)量又若統(tǒng)計(jì)量 二二.求正態(tài)總體的均值的單側(cè)置信下限和求正態(tài)總體的

52、均值的單側(cè)置信下限和 方差的單側(cè)置信上限方差的單側(cè)置信上限:,X,X,X,;Xn212是是一一個(gè)個(gè)樣樣本本設(shè)設(shè)均均未未知知方方差差若若均均值值對(duì)對(duì)于于正正態(tài)態(tài)總總體體 )1n( t t(1),XnSn 由由t (1)1XPnSn ,1)1n(tnSXP 即即), ),1n(tnSX(1 的的單單側(cè)側(cè)置置信信區(qū)區(qū)間間的的一一置置信信度度為為于于是是得得到到).1n(tnSX1 的單側(cè)置信下限為的單側(cè)置信下限為其置信度為其置信度為),)1n(S)1n(, 0(12122 的的單單側(cè)側(cè)置置信信區(qū)區(qū)間間的的一一個(gè)個(gè)置置信信度度為為于于是是得得到到)1n(21 ),1n(S)1n(222 又由又由,1)

53、1n(S)1n(P2122 ,1)1n(S)1n(P2122 即即.)1n(S)1n( 121222 的的單單側(cè)側(cè)置置信信上上限限為為的的一一個(gè)個(gè)置置信信度度為為第七章第七章 習(xí)題課習(xí)題課 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) 矩估計(jì)法矩估計(jì)法 最大似然最大似然估計(jì)法估計(jì)法 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 正態(tài)總體參正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)數(shù)的區(qū)間估計(jì)1.X(1)x ,0 x1f (x;)0,1,. 設(shè)設(shè) 總總 體體的的 概概 率率 密密 度度 為為其其 它它其其 中中為為 未未 知知 參參 數(shù)數(shù) 求求的的 矩矩 估估 計(jì)計(jì) 量量 和和最最 大大 似似 然然 估估 計(jì)計(jì) 量量110(1)()( )1(1)21

54、21.21E Xxf x dxxdxXXX 解解令令則則為為 的的矩矩估估計(jì)計(jì)量量1111(1) () ,01,(2)( )1,0,01,1,ln( )ln(1)lnln( )ln011.lnnniiniiniiniixxxLikxikLnxdLnxdnx 似似然然函函數(shù)數(shù)為為其其它它當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)有有為為 的的最最大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量22122.XX 0 1 2 3p 21 1-2 0),X3,1, 3, 0, 3,1, 2, 3. 設(shè)設(shè)總總體體 的的概概率率分分布布為為（）其其中中 （是是未未知知參參數(shù)數(shù) 利利用用總總體體 的的如如下下樣樣本本值值求求 的的矩矩估估計(jì)計(jì)值值和和最最大大似似然

55、然估估計(jì)計(jì)值值2214(1) ()01 2 (1)23 (12 )342,342,E Xx 解解而而則則得得的的矩矩估估計(jì)計(jì)值值42422262468211 21(2)( ) (3) (1)(0)(2) (1-2 ) 2 (1) 4(1) (1-2 )ln( )ln46ln2ln(1)4ln(12 )ln( )0LP XP XP XP XLdLd 似似然然函函數(shù)數(shù)解解得得7137131,21212271312, 因因故故舍舍去去則則有有3.X ( ),PX0. 設(shè)設(shè)總總體體求求的的最最大大似似然然估估計(jì)計(jì)11111111100 1 2( )!ln( )lnlnln( )0,0niiixxxnn

56、iinnniiiinniiniiP XeeXP XxxxeeLxxxLxnxdLxnxxdP Xe 解解，是是 的的單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)，具具有有單單值值反反函函數(shù)數(shù)，可可先先求求出出 的的最最大大似似然然估估計(jì)計(jì)的的分分布布律律為為， ，！似似然然函函數(shù)數(shù)為為！則則Xe 21nn 11i 1iki 14.X N( ,),X ,XX,k.| XX | 設(shè)設(shè)總總體體是是總總體體的的樣樣本本 求求常常數(shù)數(shù) 使使下下列列 為為 的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量2122112(1)11112(1)(0,2)|2( )|iiiinniikkinXXNE XXEE XXk 解解 nn1ni2ii 12x ,x,0 x

57、,i1,n(1)L( )f(x ; )0 其其它它1(n)xx, （ ）dL( )0d (n)in1 i nx,max XX 5.5.設(shè)總體設(shè)總體X X的概率密度為的概率密度為 22x0 xf(x; )0 其其它它;其其中中 為為未未知知參參數(shù)數(shù)，求求：(1)(1)參參數(shù)數(shù) 的的最最大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量 (2)(2)討討論論 的的無無偏偏性性。2200201,xx( )X F(x),x,x 2n(n)(n)20,x0 xX F(x)() ,0 x1,x 212200nnnnx,xf(x), （ ）其其它它 2n 1n2n02nx2nE Xxdx2n1 不不是是 的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量。2

58、2122n X (0,), 0, , X , X , X, .NX 例例設(shè)設(shè)總總體體且且未未知知 又又設(shè)設(shè)是是 的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本 求求的的矩矩估估計(jì)計(jì)和和最最大大似似然然估估計(jì)計(jì)2222212122211 (1)()0()()().ninininiE XE XD XE XAXX 解解令令故故為為的的矩矩估估計(jì)計(jì)量量 2221222122222122122211(2)()exp221lnln(2 )ln2221ln022()11niiniiniiniiniiLxnnLxnLxxnxn 似似然然函函數(shù)數(shù)而而故故為為的的最最大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量。1n1111X,X ,XX(A)X;(B)X;

59、(C)X;(D)X . : (A) 選選擇擇題題 設(shè)設(shè)總總體體 的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望為為是是取取自自總總體體 的的樣樣本本，則則下下列列命命題題正正確確的的是是（ ）是是 的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量是是 的的最最大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量是是 的的相相合合估估計(jì)計(jì)量量不不是是 的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量答答2( ,),0.04,.,95%0.01?Nnn 例例一一產(chǎn)產(chǎn)品品的的某某個(gè)個(gè)指指標(biāo)標(biāo)服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布已已知知未未知知 現(xiàn)現(xiàn)從從中中抽抽取取 只只對(duì)對(duì)該該指指標(biāo)標(biāo)進(jìn)進(jìn)行行測(cè)測(cè)定定需需多多大大 才才能能以以的的可可靠靠性性保保證證 的的置置信信區(qū)區(qū)間間長(zhǎng)長(zhǎng)度度不不大大于于22222222 0

60、.040.010.01,()2,20.01.()(1.96)245.86246nnnxzzznzn 解解由由題題意意的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為區(qū)區(qū)間間長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為要要使使只只需需取取即即取取第八章第八章 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn) 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)一一. 基本思想基本思想:例例1. 某車間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖某車間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖,包得的袋裝糖重是包得的袋裝糖重是一個(gè)隨機(jī)變量一個(gè)隨機(jī)變量, 它服從正態(tài)分布它服從正態(tài)分布. 當(dāng)機(jī)器正常時(shí)當(dāng)機(jī)器正常時(shí),其均值為其均值為0.5公斤公斤,標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為0.015公斤公斤.某日開工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是某日開工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常否正常,隨機(jī)地抽取它所包裝的隨