傳播子和Feynman路徑積分

1、2.5 傳播子和Feynman路徑積分 一、波動力學(xué)的傳播子n不含時Hamiltonian量體系的時間演化用與H對易的觀測量的本征矢展開初態(tài)可方便求得：n或 n其中，a0iE (t t )/0000aiH(t t )/|,t ;te|,t|aa|,te0iE(tt)/00a(x, t),;(t )() eaaaxttcux a| x) x(u a30003*0(t )|,t|,t ( ) ( ,t )aacad xaxxd x uxx n將上述表達式改寫成：n即n這里n稱為傳播子。傳播子與初態(tài)無關(guān)，但依賴于勢。一旦能量的本征函數(shù)和本征值已知，則傳播子可構(gòu)造出。000()/00()/30()/3

2、0|, ;|,|,|( , )aaaiEt taiEt taiEt taxt txaated xxaaxxted xxaaxx t e)t , x()t , x; t , x(K xd) t , x(0030()/0( , ; , )|aiEt taK xt x txaaxe討論：討論：n上式表明，若初態(tài)已知，則波函數(shù)的時間演化便完全由K確定。Schrdinger波動力學(xué)是純粹的因果理論。n受勢作用的波函數(shù)的時間變化，只要系統(tǒng)不受擾動，便與經(jīng)典力學(xué)中任何量一樣完全確定。n不同處：當測量介入時，波函數(shù)將轉(zhuǎn)化為所測觀測量的本征函數(shù)之一。該轉(zhuǎn)化或“投影”因觀測量有多個本征函數(shù)而呈概率性，但統(tǒng)計上有確

3、定的幾率。 二、傳播子的基本性質(zhì)n1. 傳播子 滿足含時Schrdinger波方程（ ,tt0為變量， 不變）。n2. （即 ）n這兩性質(zhì)說明傳播子可看作是t0 時處于 的粒子在t時刻的波函數(shù)（ ）n對初態(tài)分布于一定空間的情況，需要做的只是將相應(yīng)的波函數(shù)乘以傳播子并對空間積分。這種方式相當于對不同位置的貢獻求和，與靜電學(xué)求電勢相似（但有“相位”）：0( , ; , )K xt x tx x,t0|xx030tlim( , ; ,t )( )tK xt xxx x|e| x)t , x; t , x(K/ )tt (iH00 x| xx|) x( xd)x(32200( , ; ,t )( )

4、( , ; ,t )2iK xt xV xK xt xtm n傳播子其實就是含時波動方程的格林函數(shù)：n和邊界條件 （對tt0）.n第一式右邊的函數(shù)是由于K在t=t0不連續(xù))tt ()x x(i)t , x; t , x(Kti)x(Vm2030220)t , x; t , x(K0三、傳播子的 例子n傳播子的具體形式依賴于粒子所受的勢。n1. 一維自由粒子。P與H對易，共同本征態(tài)n由n可得n該式可用于研究諸如高斯波包隨時間擴散展開的情形 2|p, p|pp|p, 2pH ppm/ x ipe21 p| x200200 ()1( )( , ; )exp22( )exp2()2 ()ipttip

5、xxK xt x tdpmmim xxitttt2. 諧振子 的傳播子n波函數(shù)為n其傳播子為n該式的直接證明非常復(fù)雜，需利用特殊函數(shù)的性質(zhì)n也可通過a和a+算符方法n最方便的是利用即將描述的路徑積分方法。n由于傳播子是以為角頻率的時間周期函數(shù)，位于x的粒子將在 回到原位置。 11224/221exp22!nintiE tnnnmmxmux eHx en xx2ttcos xx*ttsin2imexpttsini2m)t x; t x(K022000 222222021expexp2!11nnnnnHHn n2t四、傳播子的時間與空間積分n空間積分：n由于 ，取 并積分相當于求坐標表象中時間演化

6、算符的跡，故得上述結(jié)果。由于跡不隨表象變，在 表象中H對角，便于求出G(t) 。n在G(t)的表達式中若令t為純虛數(shù)且 為正實數(shù)，則G(t)演化為 ，與統(tǒng)計力學(xué)的配分函數(shù)是有相同形式。因此，研究量子力學(xué)傳播子的方法對統(tǒng)計力學(xué)也有用（反之亦然）。 3/32, ; ,0| |aaiE tiE taaG td x K x t xd xxaee0()/0, ; |iH t tK xt x txex xx a|it/ZexpaaEG(t)的Laplace-Fourier變換 /00/exp/iEtiEtaaG EidtG t eidtiE te 被積函數(shù)振蕩，積分不易求。令EE+i,且0，則可見體系的完

7、整能譜都表現(xiàn)在復(fù)E平面的 的極點。研究物理體系的能譜，只要研究 的解析性質(zhì) /00000/lim/lim11limaxi EE ttaaaaaaaie dxG Eidteei EEEEiEE(E)G(E)G五、傳播子作為躍遷振幅 n波函數(shù)是特定位置左矢與隨時間變化右態(tài)矢的內(nèi)積，也可被認為是Heisenberg圖象中反向時間演化的位置左矢與不隨時間變化的狀態(tài)右矢之乘積。類似地，傳播子可寫為n這里 和 是海森堡圖象中位置算符的本征左矢和右矢。n因 是從 到 態(tài)的躍遷振幅，故 是t0時處于 的粒子在t時處于 的幾率振幅。或者說 是由時空點 到另一時空點 的躍遷振幅。00/0/0K x,t;x,t|

8、| | |, | ,aiEt taiHtiHtaxaa xexeaa exx t x t, |xt0t , x|0t , a| t , b0t , a|t , b|0t , x| t , x xx0t , x| t , x)t , x(0( , )xt另種解釋n由于Heisenberg圖象中任一時刻觀測量的本征矢都可選作基矢，我們也可稱 為鏈接不同時間的兩組基矢的變換函數(shù)。n因此，在Heisenberg圖象中，時間演化可看作改變基函數(shù)的幺正變化。n這與經(jīng)典動力學(xué)中物理量隨時間的變化可看作由經(jīng)典Hamiltonian產(chǎn)生的正則變換相似。0t , x| t , x六、傳播子的組合性質(zhì)n為使時空坐標

9、記號更對稱，記 為 n由于海森堡圖象中在任意給定時間的位置態(tài)矢形成完備基，可在任意位置插入單位算符 n 因而 該性質(zhì)稱為躍遷振幅（傳播子）的組合性質(zhì)。n類似地有 ：n若知無窮小時間間隔 的形式，則一般的 可利用傳播子的組合性質(zhì)而得。這種推理方式導(dǎo)致了Feynman的量子力學(xué)理論形式。0t , x| t , xt, x|t, x1 t | x t x | xd3 t x| t x t x|txxd t x|txtttt|x tx tdxdxxtx tx tx tx tx t dtttt ,x|tx t ,x|tx七、作為路徑求和的路徑積分 n為簡單記，討論一維情型，并記 為n將t1至tN分為N-

10、1等分 ， 則n為討論該表達式的含義， 可看如圖所示的時空平面： n時空的初始與終點固定， 由初始到終點有不同的可 能路徑。對給定一路徑， 我們要計算其躍遷振幅， 然后對各種可能路徑求和，這與經(jīng)典力學(xué)是有差別的。在經(jīng)典力學(xué)中粒子有確定的軌跡，其路徑對應(yīng)于哈密頓原理所給出的路徑（即作用量的變分為零） repeated N timesxnx1Ntt1; t; tt1N1 1121111222 21 12|N NNN NNNNNNNNx txtdxdxdxx txtxtxtx txt 八、經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)路徑的差別n經(jīng)典力學(xué)中xt-平面有一確定的路徑與粒子運動聯(lián)系，而量子力學(xué)中所有可能路徑都起作用

11、，其中一些路徑與經(jīng)典路徑毫無相似之處。n經(jīng)典力學(xué)的作用量或主函數(shù)為nL是x與 的函數(shù)，S要在路徑確定后才有定義n對每小段路徑其躍遷幾率為n初點到終點路徑的 總躍遷幾率為n所有路徑對 的貢獻：n若 ，則相鄰路徑的貢獻傾向于抵消。n對最小作用量路徑（經(jīng)典路徑），則相鄰路徑的S差別是二階的，因而可相干增強。所以 時挑出的軌道為經(jīng)典軌道。 1,1,nnttS n ndtL x x/1n,niSex 2/,1,1 /,1 /2NNNiS n niS n niS Nneee11NNtx|tx/i ,NiS11NNetx|tx所有路徑00九、Feynman路徑積分公式1. 無限小時間間隔的一段路徑， w(t

12、)只與t而（假定）與V(x)無關(guān)的權(quán)重因子。n由于是無限小時間間隔，路徑可看作直線，因而n對自由粒子， 已知。由于W(t)與V(x)無關(guān)，用自由粒子情況算出：n于是，對 ，有 /1n ,niS1n1nnnetW1txtx 12211,1222nntnnnntxxxxmxmS n ndtV xtVt 211121111nnnnnnim xxtn nnnttttnnx txtexxwtti2mtw10t 1n, niSexpti2mtxtx1nnnn1n1nnntxtx2. 對有限時間間隔的路徑 n其中n上式即為Feynman路徑積分的表達式。 111 /2,1 /1 112222,explimN

13、NNNiS n nN NNNNnxtxtmx txtdxdxdxeitL x xx tidtD 11 /21222limNNxNNxNmD x tdxdxdxit十、Feynman路徑積分與薛定諤方程 n或n從而n對一階t項有1 1111111 1211111 1 exp22N NNN NNNNNNNNNNx txtdxx txtxtxtxxmimiV tdxxtxtitt 21 11 1exp/ 2,2miV txtt xtdimtxt xtit 21 11 1221 11 12exp22 12mimxt xttxt xtdtittiV txt xtxt xtx 3/221 11 11 121 2222miixt xtxt xtV xt xttimxn所以n可見費曼路徑積分的 表達式與薛定諤波動方程的傳播子一致（也側(cè)面證明了w(t)與V無關(guān)的正確性）。nFeynman路徑積分表達式復(fù)雜，對普通量子力學(xué)問題的應(yīng)用并不方便，但在量子場論和統(tǒng)計力學(xué)等領(lǐng)域中很有用。221 11 11 122ixt x txt x tV xt x ttm x 11txxtn海森堡矩陣力學(xué)是正則形式下經(jīng)典力學(xué)的量子對應(yīng)，即將經(jīng)典Poisson括號換為量子的對易式（量子力學(xué)的代數(shù)形式）n波動力學(xué)（微分形式，或局域性描述）與經(jīng)典力學(xué)的Hamilton-Jacobi方程有密