勾股定理的證明方法與簡單應(yīng)用_畢業(yè)論文

1、勾股定理的證明方法及簡單應(yīng)用-畢業(yè)論文【標(biāo)題】勾股定理的證明方法及簡單應(yīng)用 【作者】官勇 【關(guān) 鍵詞】勾股定理 建筑 航海 【指導(dǎo)老師】彬【專業(yè)】數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)【正文】1引言約2000年前我國古代算書周 髀算經(jīng)中就記載了公元前1120年我國古人發(fā)現(xiàn)的 勾三股四弦五”當(dāng)時把較短的直角邊叫做勾較長的邊叫做股斜邊叫 做弦。勾三股四弦五”的意思是在直角三角形中如果勾為3股為4那么弦為5這里32 42 52。們還發(fā)現(xiàn)勾為6股為8弦 一定為10。為5股為12弦一定為13等.也有62 82 10252 122 13? 6? 7即勾2股2弦2。所以我國稱它為勾股定理.據(jù)文字 記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的

2、。據(jù)說當(dāng)他證明了勾 股定理以后欣喜若狂殺牛百頭以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為 百牛定理”。勾股定理的證明是幾何學(xué)中的明珠所以它充滿魅力千百年來 人們對它的證明趨之若騖其中有著名的數(shù)學(xué)家也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者有普通的老百姓 也有尊貴的政要權(quán)貴甚至有國家總統(tǒng)。也許是因為勾股定理既重要又簡單更容易吸引人才使它成百次地反復(fù)被人炒作反復(fù)被人論證。1940年出版過一本名為畢達哥拉斯命題的勾股定理的證明專輯其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止于此有資料表明關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。勾股定理的應(yīng)用也是非常的早在更早期的人類活動中人們就已經(jīng)認識到

3、這一定理的某些特例。據(jù)說古埃及人也曾利用勾三股四弦五的法則來確定直角?？脊艑W(xué)家們發(fā)現(xiàn)了幾塊大約完成于公元前2000年左右的古巴比倫的泥板書據(jù)專家們考證其中一塊上面刻有如下問題一根長度為30個單位的棍子直立在墻上 當(dāng)其上端滑下6個單位時請問其下端離開墻角有多遠 ”這是一個三邊為為3:4:5三角形的特殊例子專家們還發(fā)現(xiàn) 在另一塊泥板上面刻著一個奇特的數(shù)表表中共刻有四列十五行數(shù)字這是一個勾股數(shù)表最右邊一列為從1到15的序號 而左邊三列則分別是股、勾、弦的數(shù) 值 一共記載著15組勾股數(shù)。這說明勾股定理實際上早已進入了人類知識的寶庫。中國古代大禹在治水的時候也就 也就總結(jié)出這個原理.2已知成果的概述 2

4、.1國對勾股定理 的證明 爽的這個證明可謂別具匠心極富創(chuàng)新意識.他用幾何圖形的截割拼補來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系既具嚴(yán)密性又具直觀性為中國古代以形證數(shù)形數(shù)統(tǒng)一代數(shù)和幾何緊密 結(jié)合互不可分的 獨特風(fēng)格樹立了一個典以后的數(shù)學(xué)家大多 繼承了這一風(fēng)格并且代有發(fā)展 .【證法1】爽證明以a、b為直角邊ba以c為斜邊作四個全等的直角三角形則每個直角三角形的面積等于.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀.T Rt DAH Rt ABE /. / HDA / EAB. v/ HAD / HDA 90o/. / EAB / HAD 90o/. ABCD 是一個邊長為c的正方形 它的面積等于c2. v EF FG G

5、H HEb a / HEF 90o. / EFGH是一個邊長為 ba的正方形 它 的面積等于.二.二.【證法2】鄒元治證明以a、b為直角邊 以c為斜邊做四個全等的直角三角形則每個直角三角形的面積等于.把這四個直角三角形拼成如圖所示形 狀 使A、E、B三點在一條直線上B、F、C三點在一條直線上 C、G、D三點在一條直線上.T Rt HAE Rt EBF / AHE / BEF. T / AEH / AHE 90o /. / AEH / BEF 90o. / HEF 180o 90o 90o. 四邊形 EFGH 是一個邊長 為c的 正方形.它的面積等于c2. T Rt GDH s Rt HAE /

6、./ HGD / EHA. t / HGD / GHD 90o /. / EHA / GHD 90o.又T / GHE 90o / DHA 90o 90o 180o. /. ABCD 是 一個邊長為a b的正方形它的面積等于.【證法3】徽證明徽在證明勾股定理時也是用的以形證數(shù)的方法只是具體的分合移補略有不同徽的證明原也有一幅圖可惜圖已失傳只留下一段文字勾自乘為朱方股自乘為青方 令出入相補 各從其類 因就其余不動也 合成 弦方之幕 開方除之 即弦也 ”后人根據(jù)這段文字補了一 圖見下圖只要把圖中朱方a2的I移至I '青方的II移至II z III移至III '則剛好拼好一個以弦為邊

7、長的正方形c2由此便可證得a2b2c2【證法4】作玫證明做兩個全等的直角三角形設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、bba斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼 成如圖所示的多邊形.過A作AF丄AC AF交GT于F AF 交DT于R.過B作BP丄AF 垂足為P.過D作DE與CB 的延長線垂直 垂足為E DE交AF于H. T / BAD90o / PAC 90o / DAH / BAC. / / DHA90o / BCA 90o AD AB c /. Rt DHA 坐 Rt BCA. /. DH BC a AH AC b.由作法可知PBCA 是一個矩形/Rt APB坐 Rt BCA.即 PB C

8、A b AP a 從而 PH b a. v Rt DGT坐 Rt BCA Rt DHA Rt BCA. /. Rt DGT Rt DHA . DH DG a / GDT / HDA . / / DGT90o/ DHF 90o/ GDH / GDT / TDH / HDA / TDH90o DGFH是一個邊長為 a的正方形.二GF FH a .TF丄AF TF GT GF b a . TFPB是一個直角梯形上底TFb-a 下底BP b 高FPa ba .用數(shù)字表示面積的 編號如圖則以c為邊長的正方形的面積為v 把代入得.二.【證法5】銳證明設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 a、bba斜邊的長為c.

9、做三個邊長分別為a、b、c的正方形把它們拼成如圖所示形狀使A、E、G三點在一條直線上.用數(shù)字表示面積的編號如圖.v / TBE / ABH 90o/. / TBH / ABE.又 v / BTH/ BEA 90o BT BE b /. Rt HBT 坐 Rt ABE. /. HT AE a. GH GT- HT b a.又 v / GHF Z BHT 90o/ DBC/ BHT Z TBH Z BHT 90o/. Z GHF Z DBC. v DBEB ED b a / HGF / BDC 90o/. Rt HGF坐Rt BDC.即.過Q作QM丄AG 垂足是 M.由/ BAQ / BEA 90

10、o 可知 / ABE/ QAM 而 AB AQ c 所以 Rt ABE坐 Rt AQAM .又 Rt HBT坐 Rt ABE.所以 Rt A HBT坐 Rt A QAM .即.由 Rt A ABE坐 Rt A QAM 又得 QM AE a / AQM / BAE. v / AQM / FQM 90o/ BAE/ CAR 90o / AQM / BAE/. / FQM / CAR.又 v/ QMF / ARC 90o QM AR a /. Rt A QMF 坐 Rt A ARC.即.v又v 即.【證法6】杰證明設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、bba斜邊的長為c.做兩個邊長分別為 a、b的正方形

11、ba把它們拼如圖所示形狀 使E、H、M三點在一條直線上.用數(shù)字表示面 積的編號如圖.在EH b上截取ED a 連結(jié)DA、DC 則AD c. v EM EH HM b a ED aDM EM- ED -a b.又v/ CMD 90o CM a / AED 90o AE b /. Rt A AED 坐 Rt A DMC.a / EAD / MDC DC AD c. v / ADE / ADC / MDC 180o/ ADE / MDC / ADE / EAD 90o/ ADC 90o. 作 AB | DC CB | DA 貝U ABCD 是一個邊 長為 c 的正方形.v / BAF / FAD /

12、 DAE / FAD 90o/./ BAF / DAE.連結(jié) FB 在 A ABF 和 A ADE 中 v AB AD c AE AF b / BAF / DAE /. A ABF 坐 A ADE. a/ AFB / AED 90o BF DE a. a 點 B、F、G、H 在一條直線上.在 Rt ABF 和 Rt BCG 中/ AB BC c BF CG a Rt ABF 坐 Rt BCG. /. a . 2.2 國外對勾股定理的證明 【證法1】梅文鼎證明做四個全等的直角三角形 設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b 斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形使D、E、F在一條直線上.過C作AC的

13、延長線交 DF于點P. I D、E、F在一條直 線上 且 Rt GEFRt EBD a / EGF / BED / / EGF / GEF 90°a / BED / GEF 90°a / BEG 180(90o90o. T AB BE EG GA c a ABEG是一個邊長為 c的正方 形.a / ABC / CBE 90o. / Rt ABC 坐 Rt EBD a / ABC / EBD. a / EBD / CBE 90o.即 / CBD 90o.又 t / BDE 90o/ BCP 90o BC BD a. a BDPC 是一個邊長為 a 的正方形.同理 HPFG是一

14、個邊長為b的正方形.設(shè)多邊形 GHCBE的面積為S貝U a .我國清代末數(shù)學(xué)家項明達證明 方法其思路的前一部分與梅文鼎的證明思路相反項明達法 是先構(gòu)造正方形再利用全等三角形與原直角三角形全等知 識來證明能從而將問題轉(zhuǎn)化為了梅文鼎證明法的后半部分 三個正方形的面積.項明達證明方法 做兩個全等的直角三 角形 設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、bba斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊 形 使E、A、C三點在一條直線上.過點Q作QP II BC 交AC于點P.過點B作BM丄PQ 垂足為M 再過點F作FN 丄 PQ 垂足為 N. T / BCA 90o QP II BC /. /

15、 MPC 90o T BM 丄 PQ / BMP 90o/. BCPM 是一個矩形即/ MBC 90o. t / QBM / MBA / QBA 90o/ ABC/ MBA / MBC 90o/. / QBM / ABC 又 t / BMP90o/ BCA 90o BQ BA c /. Rt BMQ坐 Rt BCA.同理可證Rt QNF s Rt AEF.從而將問題轉(zhuǎn)化為梅文鼎證明.【證法2】歐幾里得證明法也叫畢氏證明法做三個邊長分別為a、b、c的正方形 把它們拼成如圖所示形狀 使H、C、B三點在一條直線上連結(jié)BF、CD.過C作CL丄DE 交AB于點M 交DE于點L. t AF AC AB A

16、D / FAB / GAD /. FAB 坐 GAD t FAB 的面 積等于 GAD的面積等于矩形ADLM 的面積的一半矩形ADLM 的面積.同理可證 矩形MLEB的面積. T正方形ADEB的面積矩形ADLM的面積矩形MLEB 的面積二 即.【證法3】美國總統(tǒng)伽菲爾德的證明法 以a、b為直角邊 以c為斜邊作兩個全等的直角三角形 則每個直角三角形的面積等于.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀使A、E、B三點在一條直線上.t Rt EAD sRt CBEA / ADE / BEC. t / AED / ADE 90o /. / AED / BEC 90o. / DEC 18090o 90o. D

17、EC是一個等腰直角三角形它的面積等于 T / DAE 90o / EBC 90o二AD | BC. ABCD是一個直角梯形它的面積等于 二.二.故 【證法4】辛卜松證明設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b斜邊的長為c.作邊長是ab的正方形ABCD.把 正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個部分則正方形ABCD的面積為把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個部分 則正方形ABCD的面積為2 . .【證法5】 利用相似三角形性質(zhì)證明如圖 在Rt ABC中 設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b 斜邊AB的長為c過點C 作CD丄AB 垂足是 D.在 ADC和 ACB中 / / ADC / ACB 90

18、o / CAD / BAC/. ADC s ACB. ACAC : AB 即.同理可證 CDBs ACB /.即.【證法6】利用切割線定理證明在Rt ABC中 設(shè)直角邊BC a AC b 斜邊AB c.如圖 以B為圓心a為半徑作圓 交AB及AB的延長線分別于 D、E 則BD BE BC a.因為 / BCA 90o 點C在O B上 所以AC是O B的切線.由切 割線定理得 即 .【證法7】作直角三角形的切 圓證明在Rt ABC中 設(shè)直角邊BC a AC b 斜邊AB c.作Rt ABC的切圓O O 切點分別為 D、E、F如圖設(shè)O O的半徑為r. T AE AFBF BDCD CE/. r r

19、2r 即 /. 即 /又I.【證法8】利用反證法證明如圖 在Rt ABC中 設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b斜邊AB的長為c過點C作CD丄AB 垂足是D.假設(shè) 即假設(shè) 則由 可知 或者即 AD AO AC AB 或者 BD BO BC AB.在 ADC 和 ACB 中 T / A / A 若 AD AO AC AB 則 / AD3 / ACB.在 CDB 和 ACB 中 / / B / B/.若 BD BO BC AB 貝U / CDB Z ACB. / / ACB 90o Z ADC 90o Z CD字90o.這與作法 CD丄AB矛盾.所 以的假設(shè)不能成立. . 2.3高等代數(shù)中證明【證

20、法11二行n列式面積證明方法先給出定理設(shè)A1A2 ? 6? 7? 6? 7An. 為實平面上的 n邊形 坐標(biāo)AiXiYil < i < n 3且其頂點依次為正向繞行則n邊形的面積為。這個定理的證明見文 1.證明設(shè)直角三角形的三條邊為建立直角坐標(biāo)系如圖所示已知正方形ABCD其頂點坐標(biāo)分別為由上述定理可得二 【證法21利用多列米定理證明在Rt ABC中 設(shè)直角邊BC a AC b 斜邊AB c如圖 .過點A作AD | CB 過點B作BD | CA 則ACBD為矩形 矩形ACBD接于一個圓.根據(jù)多列米定理 圓接四邊形對角線的乘積等于兩對邊乘積之和有 AB DC c AD BC a AC BD b/. 即 /.【證法31利用向量證明已知直角厶BAC中ABc BCa ACbZ ACB90求證 a2b2c2證明 以兩直角邊為坐標(biāo)數(shù)軸 / ACB903勾股定理在現(xiàn)實生活中的相關(guān)應(yīng)用1.求證三角形中的某一個角是直角例1如圖1已知 AB C 中 AD 是BC 邊上中線 AB AD 1AC 5 求證Z BAD是直角.證明：作AE垂直BC