在發(fā)明中學(xué)習(xí)線代數(shù)概念引入之四矩陣運(yùn)算.ppt課件

1、在發(fā)明中學(xué)習(xí)在發(fā)明中學(xué)習(xí) 線性代數(shù)概念線性代數(shù)概念引入引入 之四之四: 矩陣運(yùn)算矩陣運(yùn)算 李尚志 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 1. 1. 線性函數(shù)線性函數(shù)例例 1 在平面上建立直角坐標(biāo)系在平面上建立直角坐標(biāo)系. 將平面上每個(gè)點(diǎn)將平面上每個(gè)點(diǎn)P繞原點(diǎn)繞原點(diǎn)向逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角向逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角到點(diǎn)到點(diǎn)P. 寫(xiě)出點(diǎn)寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)的坐標(biāo)(x,y)與點(diǎn)與點(diǎn)P的的坐標(biāo)坐標(biāo)(x,y)之間的函數(shù)關(guān)系式之間的函數(shù)關(guān)系式. 矩陣乘法矩陣乘法 (2) 將將x軸繞原點(diǎn)向逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角軸繞原點(diǎn)向逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到得到直線直線 l. 平面上任一點(diǎn)平面上任一點(diǎn)P關(guān)于直線關(guān)于直線 l的對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)為 P. 寫(xiě)出點(diǎn)寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)

2、的坐標(biāo)(x,y)與點(diǎn)與點(diǎn)P的坐標(biāo)的坐標(biāo)(x,y)之間的函數(shù)關(guān)系式之間的函數(shù)關(guān)系式. 解解 設(shè)原點(diǎn)設(shè)原點(diǎn)O到到P的間隔的間隔|OP|=r, 由射線由射線OX(即即x軸正軸正方向方向) 到到OP所成的角所成的角 . 那么那么|OP|=|OP|=r, x=rcos, y=rsin. (1) x=rcos(+) =rcoscos-rsinsin =xcos-ysin y=rsin(+) =rcossin+rsincos =xsin+ycos(2) 在旋轉(zhuǎn)變換的表達(dá)式 中, x是x,y的線性函數(shù)(一次齊次函數(shù)) 可以表示成 可以直接寫(xiě) f1 = (cos,-sin). 類似地有 普通地普通地, 恣意一個(gè)

3、恣意一個(gè)n元線性函數(shù)元線性函數(shù) 可以由它的一次項(xiàng)系數(shù)組成的行向量可以由它的一次項(xiàng)系數(shù)組成的行向量(a1,an)來(lái)表示來(lái)表示, 稱為這個(gè)線性函數(shù)稱為這個(gè)線性函數(shù) f 的坐標(biāo)的坐標(biāo). 可直接寫(xiě)可直接寫(xiě) f = (a1,an) n 個(gè)自變量看成一個(gè)整體個(gè)自變量看成一個(gè)整體 X, 寫(xiě)成列向量寫(xiě)成列向量 函數(shù)函數(shù) f 在自變量在自變量 X 上的作用可以看作行上的作用可以看作行 f 與列與列 X 相乘相乘: 2. 2. 線性映射的矩陣線性映射的矩陣f : f : 自變量自變量 因變量因變量旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱軸對(duì)稱 普通地, 思索映射 f: X= Y= 假設(shè)每個(gè) yi 都是 x1 , xn 的一個(gè)線性函數(shù) 決議

4、, 那么映射 f: X Y由 m 個(gè)行向量 fi 決議. f 稱為線性映射. 寫(xiě)成 看作矩陣 A= 與列 X 相乘的結(jié)果. 3. 3. 線性映射的合成線性映射的合成: : Y=Y= Z=Z=是是X X的的m m個(gè)線性函數(shù)個(gè)線性函數(shù) f1,fn f1,fn 的線的線Z=CX=BAX,C=BAZ=CX=BAX,C=BA的第的第i i行元素分別乘行元素分別乘A A的各行相加得到的各行相加得到. .性組合性組合, , 仍是仍是X X 的線性函數(shù)的線性函數(shù) , ,其坐標(biāo)其坐標(biāo)的坐標(biāo)的坐標(biāo)( (即即A A的各行的各行) )的相應(yīng)的線性組合的相應(yīng)的線性組合 4. 利用分塊運(yùn)算了解矩陣乘法 1、 AB = A (B1,B2,Bk), A 依次乘 B 的各列。 例. 對(duì)可逆方陣 A ，解矩陣方程 AX=B. 將 X,B 按列分塊, A(X1, ,Xk)=(B1,Bk) 即 (AX1,AXk)=(B1,Bk), AXj = Bj (j=1,2,k) 相當(dāng)于同時(shí)解 k 個(gè)有公共系數(shù)矩陣A的線性方程. 同時(shí)對(duì)k個(gè)增廣矩陣 (A Bj) 做同樣的初等行變換。 可以合并到一同作初等行變換: (A B) (I X，X=A-1B。 2、 A = (A1,An) = x1A1+xnAn.3、行變換