多元線性回歸模型：估計(jì)及t檢驗(yàn)

1、多元線性回歸模型：估計(jì)及t檢 驗(yàn)作者:日期:多元線性回歸：估計(jì)方法及回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)線性回歸模型的基本假設(shè)：yi01x1 i2x2ikxki uii = ， 2 ,， n在普通最小二乘法中，為保證參數(shù)估計(jì)量具有良好的性質(zhì)，通常對(duì)模型提出若干基本假設(shè)：1 .解釋變量間不完全相關(guān)；2 .隨機(jī)誤差項(xiàng)具有。均值和同方差。即：2E(u。0, Var(uJi = 1 , 2 ,，n3 .不同時(shí)點(diǎn)的隨機(jī)誤差項(xiàng)互不相關(guān)(序列不相關(guān))，即Cov(Ui ,Ui s) 0 S W 0, i = 1 , 2 ,，n4 .隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量之間互不相關(guān)。即Cov(xji, ui) 0 j =1 ,2,，k, i =

2、 1 ,2 ,n5.隨機(jī)誤差項(xiàng)服從0均值、同方差的正態(tài)分布。即2、. 一ui N (0,)1 = 1 , 2 ,，n當(dāng)模型滿足假設(shè)14時(shí)，將回歸模型稱為 標(biāo)準(zhǔn)回歸模型”，當(dāng)模型滿足假設(shè)15時(shí)，將回歸模型稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)回歸模型如果實(shí)際模型滿足不了這些假設(shè)，普通最小二乘法就不再適用，而要發(fā)展其他方法來(lái)估計(jì)模型。廣義(加權(quán))最小二乘估計(jì)(ge neralized least squares)當(dāng)假設(shè)2和3不滿足時(shí)，即隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)存在異方差E(ui則上述兩個(gè)條件等價(jià)為:)H2,i = 1 , 2 ,n,且隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)序列相關(guān) CovU,%) j,i j , i = 1 , 2 ,，n,j = 1 , 2 ,，

3、n ，此時(shí)OLS估計(jì)仍然是無(wú)偏且一致的，但不是有效估計(jì)。線性回歸的矩陣表示：11121n對(duì)于正定矩陣V ar( u )=21222nT1 T2 . nn存在矩陣M ,使得M QM ' IM 'M 二在方程(1)兩邊同時(shí)左乘M,得到轉(zhuǎn)換后的新模型：y X 3 u My MX_ _A *Mu ,令 y My , X MX ,u Mu ,* 一一* *y X 0 u(2)新的隨機(jī)誤差項(xiàng)的協(xié)方差矩陣為,*、var(u )E(Muu 'M ') M QM ' I ,顯然是同方差、無(wú)序列相關(guān)的。目標(biāo)函數(shù)，即殘差平方和為:量的加權(quán)平方和，而權(quán)數(shù)矩陣則是Q u '

4、;u u'M 'Mu u' 1u o目標(biāo)函數(shù)是殘差向u的協(xié)方差矩陣的逆矩陣(因此 ，廣義最小二乘估計(jì)法也稱為加權(quán)最小二乘估計(jì)法)。而新模型的OLS估計(jì)量則是原模型的GL S估計(jì)量。?Gls (X*'X*) 1X* 'y* (X'M'MX) 1X'M 'My (X'Q1X) 1X'Q1yVar( Bgls) = (X*'X*) 1 =(X M'M X)-1=(X '1X)-1( Var ( Bols )= (X'X)-1X' X(X X) 1 ) °由于變換后

5、的模型(2)滿足經(jīng)典OL S的所有假設(shè)，所以根據(jù)高斯-馬科夫定理可知，GLS估計(jì)量是 BLUE (Best Linear Unbiased Est imator)。雖然從理論上講，GLS比O L S有效，但由于多數(shù)情況下殘差序列的協(xié)方差矩陣未知 當(dāng)我們用代替GLS估計(jì)式中的 以獲得估計(jì)時(shí)，估計(jì)量雖然仍舊是一致的，但卻不是最好線性無(wú)偏估計(jì)。而且，也很難推導(dǎo)出估計(jì)量的小樣本性質(zhì)。繼而用 White(1980)的 異方差一致協(xié)方差估計(jì)方法(殘差序列有未知形式的異方差，但序列不相關(guān))和Newey-W e st(198 7 )的異方差自相關(guān)一致協(xié)方差估計(jì)方法(有未知形式的異方差且自相關(guān)存在)得到修正的V

6、ar (P ols)是相對(duì)較好的選擇。(使用Whi t e或N e wey -We st異方差 一致協(xié)方差估計(jì)不會(huì)改變參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，只改變參數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差。)White協(xié)方差矩陣公式為：W -(XX)n ku2xixi (XX) 11其中n是觀測(cè)值數(shù)，k是回歸變量數(shù)，Ui是最小二乘殘差。Newey West協(xié)方差矩陣公式為：?NW (XX) 1 ?(XX) 1n nqn其中？-u；XX1-國(guó)05曠為v為曠口vUjXj)， q是n k i 1v 1 q 1 i v 1滯后截尾，一個(gè)用于評(píng)價(jià)O LS殘差 W的動(dòng)態(tài)的自相關(guān)數(shù)目的參數(shù)。q (4(n/100)2 9)。二階段最小二乘法(TSLS, Tw

7、o s t age least square s,Sargan(1958)當(dāng)假設(shè)4不成立時(shí)，即隨機(jī)誤差項(xiàng)與某些解釋變量相關(guān)時(shí)，OLS和廣義LS都是有偏的和不一致的。有幾種情況使右邊某些解釋變量與誤差項(xiàng)相關(guān)。如：在方程右邊有內(nèi)生決定變量，或右邊變量具有測(cè)量誤差。 為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，我們稱與殘差相關(guān)的變量為內(nèi)生變量 ，與殘差不 相關(guān)的變量為外生變量。解決解釋變量與 隨機(jī)誤差項(xiàng) 相關(guān)的方法是使用工具變量回歸。就是要找到一組變量 滿足下面兩個(gè)條件：(1)與內(nèi)生變量相關(guān)；(2 )與殘差不相關(guān)；這些變量稱為工具變量。用這些工具變量來(lái)消除右邊解釋變量與擾動(dòng)項(xiàng)之間的相關(guān) 性?？紤]工具變量時(shí)，應(yīng)注意以下問(wèn)題：1)使用

8、TSLS估計(jì)，方程說(shuō)明必需滿足識(shí)別的階條件，即工具變量的個(gè)數(shù)至少與 方程的系數(shù)一樣多(D av i d so n & M a cK in n o n(199 4 )和 J oh nsto n & Di Na r do (1 9 97)。2 )根據(jù)經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)理論，與擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)的解釋變量可以用作工具變量。3)常數(shù)c是一個(gè)合適的工具變量。在二階段最小二乘估計(jì)中有兩個(gè)獨(dú)立的階段。在第一個(gè)階段中，找到內(nèi)生變量和工具變量。這個(gè)階段包括估計(jì)模型中每個(gè)內(nèi)生變量關(guān)于工具變量的最小二乘回歸。第二個(gè) 階段是對(duì)原始方程的回歸，所有內(nèi)生變量用第一個(gè)階段回歸得到的擬合值來(lái)代替。這個(gè)回歸的系數(shù)就是TSLS

9、估計(jì)。令Z為工具變量矩陣，y和X是因變量和解釋變量矩陣。則二階段最小二乘估計(jì)的系數(shù) 由下式計(jì)算出來(lái)：11_11_?Tsls (XZ(ZZ) ZX) X Z(ZZ) Zy系數(shù)估計(jì)的協(xié)方差矩陣為：22 一一一 1 一 1Var( ?) s (X Z(Z Z) Z X)其中s2是估計(jì)殘差的協(xié)方差矩陣。廣義矩方法(GM M , Generalized Method of Mom e nt s ,Hans en(1982)由于傳統(tǒng)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型估計(jì)方法，例如普通最小二乘法、工具變量法、極大似然法 等，都有它們的局限性，其參數(shù)估計(jì)量必須在模型滿足某些假設(shè)時(shí)才具有良好的性質(zhì)而GM M估計(jì)是一個(gè)穩(wěn)健估計(jì)量，因

10、為它不要求擾動(dòng)項(xiàng)的準(zhǔn)確分布信息，允許隨機(jī)誤差項(xiàng)存在異方差和序列相關(guān)，所得到的參數(shù)估計(jì)量比其他參數(shù)估計(jì)方法更合乎實(shí)際；而且可以證明，普通最小二乘法、工具變量法、極大似然法都是GMM的特例設(shè)模型為：yt xt 3 ut其中，xt(Xlt,X2t,|,XKt) , 3 ( 1, 2,U|,k)',zt 為工具變量(1 L)。令 Wtyt,Xt,Zt,則L個(gè)矩條件為：m wt,0 Ezt'utEzt'ytxt00L1對(duì)應(yīng)的樣本矩條件為:r? wt, 0 zt' yt xt BT t 1等價(jià)于解方程K2Qmlr?(wt, 0)' n?(wt, 0) 0l 1(3)

11、當(dāng)存在L >K個(gè)工具變量時(shí)，共有L個(gè)矩方程，而只有 K個(gè)未知參數(shù)。因此 根據(jù)MM方法K共有K個(gè)組合，可以得到的矩估計(jì)量的個(gè)數(shù)為L(zhǎng)。這時(shí)，每個(gè)組合得到的 MM估計(jì)量L都不能滿足（3）式，即（3）式不會(huì)恰好為0。但可以考慮將各種不同的估計(jì)結(jié)果綜合起來(lái)使（3）式最小化，即使得 母矩條件的平方和最小。因?yàn)椴煌氐姆讲畈煌?，因此更科學(xué)的方法是使用加權(quán)的平方和，Q r?(wt, 9' Wtm?(wt, 0)GMM估計(jì)量是求下式的最優(yōu)解 ：Q arg min n?（wt, 0）' Wtn?（wt, 0）?GMM Wt與GLSK類似，G MM方法中，目標(biāo)函數(shù)為各個(gè)矩的加權(quán)平方和，權(quán)數(shù)的選

12、擇則要考慮各 個(gè)矩的異方差和相關(guān)性。最優(yōu)權(quán)數(shù)即是各個(gè)矩的協(xié)方差矩陣的逆矩陣。如果n?（wt, 0）為一致估計(jì)量?GMM對(duì)應(yīng)的矩，則S的一致估計(jì)量為? Var 4Tr?(wt, 0)T)Var n? wt, 0TVar - m wt, 8Tt 11 T cr?Tt 1wt, e m wt, 0因此，最優(yōu)權(quán)數(shù)矩陣為W詈S1Tn? wt, 8 m wt, 011其是Wt的一致估計(jì)?；貧w系數(shù)顯著性t檢驗(yàn)HO: 3=0 vs Hl: k。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：t = B / s t d（6 ）White t檢驗(yàn):t=0 / st d(年Whi te)N e wey-We s t t 檢驗(yàn)：t=P/ std(

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