一元二次方程根與系數的關系(韋達定理)

1、一元二次方程根與系數的關系（韋達定理）【學習目標】1、學會用韋達定理求代數式的值。2、理解并掌握應用韋達定理求待定系數。3、理解并掌握應用韋達定理構造方程，解方程組。4、能應用韋達定理分解二次三項式。知識框圖 求代數式的值 求待定系數一元二次 韋達定理 應用 構造方程方程的求 解特殊的二元二次方程組根公式 二次三項式的因式分解【內容分析】韋達定理：對于一元二次方程，如果方程有兩個實數根，那么說明：（1）定理成立的條件（2）注意公式重的負號與b的符號的區(qū)別根系關系的三大用處（1）計算對稱式的值例 若是方程的兩個根，試求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 解：由題意，根據根與系數的

2、關系得：(1) (2) (3) (4) 說明：利用根與系數的關系求值，要熟練掌握以下等式變形：，等等韋達定理體現了整體思想【課堂練習】1設x1，x2是方程2x26x30的兩根，則x12x22的值為_2已知x1，x2是方程2x27x40的兩根，則x1x2 ，x1·x2 ，（x1x2）2 3已知方程2x23x+k=0的兩根之差為2，則k= ;4若方程x2+(a22)x3=0的兩根是1和3，則a= ;5若關于x的方程x2+2(m1)x+4m2=0有兩個實數根，且這兩個根互為倒數，那么m的值為 ;6 設x1,x2是方程2x26x+3=0的兩個根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22

3、(2) 7已知x1和x2是方程2x23x1=0的兩個根，利用根與系數的關系，求下列各式的值：（2）構造新方程理論：以兩個數為根的一元二次方程是。例 解方程組 x+y=5            xy=6    解：顯然，x，y是方程z2-5z+60 的兩根由方程解得 z1=2,z2=3原方程組的解為 x1=2,y1=3            

4、;     x2=3,y2=2顯然，此法比代入法要簡單得多。（3）定性判斷字母系數的取值范圍例 一個三角形的兩邊長是方程的兩根，第三邊長為2，求k的取值范圍。解：設此三角形的三邊長分別為a、b、c，且a、b為的兩根，則c=2由題意知k2-4×2×20，k4或k-4 為所求?！镜湫屠}】例1 已知關于的方程，根據下列條件，分別求出的值(1) 方程兩實根的積為5；(2) 方程的兩實根滿足分析：(1) 由韋達定理即可求之；(2) 有兩種可能，一是，二是，所以要分類討論解：(1) 方程兩實根的積為5 所以，當時，方程兩實根的積為5(2) 由得

5、知：當時，所以方程有兩相等實數根，故；當時，由于 ，故不合題意，舍去綜上可得，時，方程的兩實根滿足說明：根據一元二次方程兩實根滿足的條件，求待定字母的值，務必要注意方程有兩實根的條件，即所求的字母應滿足例2 已知是一元二次方程的兩個實數根(1) 是否存在實數，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請您說明理由(2) 求使的值為整數的實數的整數值解：(1) 假設存在實數，使成立 一元二次方程的兩個實數根 ， 又是一元二次方程的兩個實數根 ，但 不存在實數，使成立 (2) 要使其值是整數，只需能被4整除，故，注意到，要使的值為整數的實數的整數值為說明：(1) 存在性問題的題型，通常是先假設存在，然后

6、推導其值，若能求出，則說明存在，否則即不存在 (2) 本題綜合性較強，要學會對為整數的分析方法一元二次方程根與系數的關系練習題A 組1一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是()ABCD2若是方程的兩個根，則的值為()ABCD3已知菱形ABCD的邊長為5，兩條對角線交于O點，且OA、OB的長分別是關于的方程的根，則等于()ABCD4若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關系是()ABCD大小關系不能確定5若實數，且滿足，則代數式的值為()ABCD6如果方程的兩根相等，則之間的關系是 _ 7已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰是方程的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是 _ 8若方程

7、的兩根之差為1，則的值是 _ 9設是方程的兩實根，是關于的方程的兩實根，則= _ ，= _ 10已知實數滿足，則= _ ，= _ ，= _ 11對于二次三項式，小明得出如下結論：無論取什么實數，其值都不可能等于10您是否同意他的看法？請您說明理由12若，關于的方程有兩個相等的的正實數根，求的值13已知關于的一元二次方程(1) 求證：不論為任何實數，方程總有兩個不相等的實數根；(2) 若方程的兩根為，且滿足，求的值14已知關于的方程的兩根是一個矩形兩邊的長(1) 取何值時，方程存在兩個正實數根？(2) 當矩形的對角線長是時，求的值B 組1已知關于的方程有兩個不相等的實數根(1) 求的取值范圍；(2) 是否存在實數，使方程的兩實根互為相反數？如果存在，求出的值；如果不存在，請您說明理由2已知關于的方程的兩個實數根的平方和等于11求證：關于的方程有實數根3若是關于的方程的兩個