第三章13可線性化的回歸分析

1、1.3 可線性化的回歸分析h預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) J桃戰(zhàn)且我,點(diǎn)賞落實(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1 進(jìn)一步體會(huì)回歸分析的基本思想.2 通過非線性回歸分析，判斷幾種不同模型的擬合程度.知識(shí)鏈接1 有些變量間的關(guān)系并不是線性相關(guān)，怎樣確定回歸模型？答 首先要作出散點(diǎn)圖，如果散點(diǎn)圖中的樣本點(diǎn)并沒有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)， 則兩個(gè)變量不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，不能直接利用線性回歸方程來建立兩個(gè)變量之 間的關(guān)系，這時(shí)可以根據(jù)已有函數(shù)知識(shí)，觀察樣本點(diǎn)是否呈指數(shù)函數(shù)關(guān)系或二次 函數(shù)關(guān)系，選定適當(dāng)?shù)幕貧w模型.2 如果兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性相關(guān)關(guān)系，怎樣求出回歸方程？答 可以通過對(duì)解釋變量進(jìn)行變換，如對(duì)數(shù)變換或平方變換，先得到另外兩個(gè)變 量間的回歸方程

2、，再得到所求兩個(gè)變量的回歸方程.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1 非線性回歸分析對(duì)不具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量做統(tǒng)計(jì)分析，通過變量代換，轉(zhuǎn)化為線性回歸模型.2 非線性回歸方程曲線方程曲線圖形公式變換變換后的線性函數(shù)日課堂講義 全更點(diǎn)難點(diǎn)個(gè)個(gè)擊皈要點(diǎn)一線性回歸分析例1某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:廣告費(fèi)用x（萬元）4235銷售額y（萬元）49263954由數(shù)據(jù)易知y與X具有線性相關(guān)關(guān)系，若b = 9.4，求線性回歸方程y = a + bx ；（2）據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為4萬元時(shí)的銷售額.-4 + 2 + 3 + 5-49 + 26 +39 + 54解(1) x = 3.5 , y = 42 ,44 a

3、 = y b x = 42 9.4 X3.5 = 9.1回歸直線方程為y= 9.1 + 9.4x.(2)當(dāng) x= 4 時(shí)，y = 9.1 + 9.4 X4 = 46.7,故廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為46.7萬元.跟蹤演練1為了研究3月下旬的平均氣溫(x)與4月20日前棉花害蟲化蛹高峰日(y)的關(guān)系，某地區(qū)觀察了 2006年2011年的情況，得到了下面的數(shù)據(jù)：年份200620072008200920102011x/C24.429.632.928.730.328.9y/日19611018(1) 對(duì)變量x，y進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)；(2) 據(jù)氣象預(yù)測(cè)，該地區(qū)在2012年3月下旬平均氣溫為27 C,試估計(jì)20

4、12年 4月化蛹高峰日為哪天.解制表.i123456xi24.429.632.928.730.328.9yi19611018一 6 一 6x 79.13 , j£y2 = 563，y = 7.5，iX；x2 = 5 130.92，6Qxiyi = 1 222.6iXjxiyi 6x y(1)r = I一0.949 8.6 6_.(i Xjx2 6x2)( i Xjy2 6y2)由|r| >0.75，可知變量y和x存在很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.1 222.6 6 X29.13 X7.5b = -2.3 , a = y bx "74.5.所以，線性回歸方程為5 130.92 6

5、 X29.132y = 74.5 2.3x.當(dāng) x= 27 時(shí),=74.5 2.3 X27 = 12.4.據(jù)此，可估計(jì)該地區(qū) 2012 年4月12日或13日為化蛹高峰日.要點(diǎn)二可線性化的回歸分析例2在一化學(xué)反應(yīng)過程中，化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y(g/min)與一種催化劑的量x(g)有關(guān)，現(xiàn)收集了 8組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表中：催化劑的量x/g1518212427303336化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y(g min -1)6830277020565350解 根據(jù)收集的數(shù)據(jù)，作散點(diǎn)圖(如圖)，根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn) 分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲數(shù)y = C1ec2X的周圍，其中C1和C2是待定的參數(shù).令 z =

6、in y，貝U z = in y = In 6 + C2X，即變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線 z = a + bx(a = In C1，b = C2)的周圍.迪Wi亠ion曲 D2 L血21 右蟲女'催化劑的 g由y與x的數(shù)據(jù)表可得到變換后的z與x的數(shù)據(jù)表:x1518212427303336z1.7922.0793.4013.2964.2485.3234.1745.858作出z與x的散點(diǎn)圖(如圖).I '*._12 15 1W 3124 27 3033 36 催代刑的量 g由散點(diǎn)圖可觀察到，變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，所以可用線性回歸方程來擬合.由Z與X的數(shù)據(jù)表，可得線性

7、回歸方程：z= 0.848 + 0.81 x,所以y與x之間的非線性回歸方程為ye - 0.848 + 0.81 x規(guī)律方法 可線性化的回歸分析問題，畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，選擇跟散點(diǎn)擬合 得最好的函數(shù)模型進(jìn)行變量代換，作出變換后樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖，用線性回歸模型 擬合.跟蹤演練2 電容器充電后，電壓達(dá)到100 V，然后開始放電，由經(jīng)驗(yàn)知道，此 后電壓U隨時(shí)間t變化的規(guī)律用公式U _Aebt(b v0)表示，現(xiàn)測(cè)得時(shí)間t(s)時(shí)的 電壓U(V)如下表：t/s012345678910U/V100755540302015101055試求：電壓U對(duì)時(shí)間t的回歸方程.(提示：對(duì)公式兩邊取自然對(duì)數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化

8、為線性回歸分析問題)解 對(duì) U _ Aebt 兩邊取對(duì)數(shù)得 In U _ In A + bt，令 y _ In U，a _ In A，x _ t，則y _a+ bx，得y與x的數(shù)據(jù)如下表:x012345678910y4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，如下圖所示，從圖中可以看出，y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，由表中數(shù)據(jù)求得x = 5, y3.045，進(jìn)而可以求得b一0.313 ,a= y bx = 4.61，所以y對(duì)x的線性回歸方程為 y = 4.61 0.313 x.5-43*2 « 1-0 -0.50I2J4567 B9W J

9、由 y = In U，得 U= ey，U = e4.61 0.313x = e4.16 e 0.313x，因此電壓 U 對(duì)時(shí)間 t 的 回歸方程為U二e4& e °313x.要點(diǎn)三非線性回歸模型的綜合應(yīng)用例3某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高x/cm60708090100110體重y/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高x/cm120130140150160170體重y/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05試建立y與x之間的回歸方程.解 根據(jù)題干表中數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖如圖所示.y6n50*4n302010Q20

10、 406080 100 120ISO由圖看出，樣本點(diǎn)分布在某條指數(shù)函數(shù)曲線y = ciec2X的周圍，于是令z = In y.x607080901001101201301401501601701.82.02.32.52.72.83.03.23.43.63.84.0z170016494661畫出散點(diǎn)圖如圖所示.y1斗 *J2*A120 406080 100 120 40 60 Itt)由表中數(shù)據(jù)可得z與x之間的線性回歸方程：z = 0.693 + 0.020 x，則有y= e0-693+ 0.020 x規(guī)律方法 根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)樣本分布在某一條指數(shù)型函數(shù)曲線y=CieC2X的周圍，其

11、中C1和C2是待定參數(shù)；可以通過對(duì)x進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，轉(zhuǎn)化 為線性相關(guān)關(guān)系.跟蹤演練3 對(duì)兩個(gè)變量x，y取得4組數(shù)據(jù)（1，1），（2，1.2），（3，1.3），（4，1.37），甲、乙、丙三人分別求得數(shù)學(xué)模型如下：甲 y = 0.1x+ 1，乙 y = 0.05x2 + 0.35x + 0.7，丙 y二0.8 0.5x + 1.4，試判斷三人誰的數(shù)學(xué)模型更接近于客觀實(shí)際.解 甲模型，當(dāng)x= 1時(shí)，y = 1.1 ;當(dāng)x = 2時(shí)，y = 1.2 ;當(dāng) x = 3 時(shí)，y = 1.3 ;當(dāng) x = 4 時(shí)，y = 14乙模型，當(dāng)x = 1時(shí)，y = 1 ;當(dāng)x= 2時(shí)，y = 1.2 ;當(dāng) x =

12、3 時(shí)，y = 1.3 ;當(dāng) x = 4 時(shí)，y = 1.3.丙模型，當(dāng)x = 1時(shí)，y = 1 ;當(dāng)x= 2時(shí)，y = 1.2 ;當(dāng) x = 3 時(shí)，y = 1.3 ;當(dāng) x = 4 時(shí)，y = 1.35.觀察4組數(shù)據(jù)并對(duì)照知，丙的數(shù)學(xué)模型更接近于客觀實(shí)際.弓當(dāng)堂檢測(cè) J 當(dāng)當(dāng)辿堀，休驗(yàn)應(yīng)功1 1 11 .在一次試驗(yàn)中，當(dāng)變量x的取值分別為1時(shí)，變量y的值分別為2，2 3 413，4，5，則y與；的回歸萬程為（)12A. y=一+1xB. y =+ 3xC. y=2x + 1D. y = x 1答案 A1解析 由數(shù)據(jù)可得，四個(gè)點(diǎn)都在曲線y=一+ 1上.則廣告費(fèi)與銷售額間的相關(guān)系數(shù)為（）A.

13、0.819 B. 0.919 C. 0.923 D. 0.95答案 B3 根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，我國能源生產(chǎn)發(fā)展迅速下面是我國能源生產(chǎn)總量（單位：億噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份1996200120062011產(chǎn)量12.916.119.322.3根據(jù)有關(guān)專家預(yù)測(cè)，到2020年我國能源生產(chǎn)總量將達(dá)到 27.6億噸左右，則專 家所選擇的回歸模型是下列四種模型中的哪一種（）A. y = ax + b（a卻）B. y= ax2 + bx + c（a0）C. y= ax（a>0 且 a1）D . y = log aX（a>0 且 a工1）答案 A4.某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y之間有下表關(guān)系，現(xiàn)

14、在知道其中一個(gè)數(shù) 據(jù)弄錯(cuò)了，則最可能錯(cuò)的數(shù)據(jù)是.x/萬元24568y/萬元3040605070、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1 .下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù).根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出 y關(guān)于x的線性回歸方程是y = 0.7x + 0.35，那么表中t的值是（）x3456y2.5t44.5A.4.5B. 4C. 3D . 3.15答案 C2 .下列數(shù)據(jù)x, y符合哪一種函數(shù)模型（）x12345678910y22.6933.383.63.844.084.24.31A.y = 2 +B. y = 2ex1C. y=2e_D . y = 2+

15、In xx答案 D解析 取x = 1 , 2，10分別代入各解析式判斷.3 .指數(shù)曲線y = aebx的圖像為（）答案 B解析 ty = aebx>0 時(shí) y>0，排除 A、C,且 x R,排除 D，選 B.4 .為研究廣告費(fèi)用x與銷售額y之間的關(guān)系，有人抽取了 5家餐廳，得到的數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用X/千元1.04.06.010.014.0銷售額y/千元19.044.040.052.053.060x在同一坐標(biāo)系中畫散點(diǎn)圖，直線L:y = 24 + 2.5x,曲線C:y =，如圖所示.更2+ x能表現(xiàn)這組數(shù)據(jù)之間的關(guān)系的是（）A .直線LB曲線CC.直線L和曲線C都一樣D .無法確定

16、答案 B5 .已知線性回歸方程的斜率的估計(jì)值是0.5，樣本點(diǎn)的中心為（4.5 , 5），則線性回歸方程是.答案 y = 2.75 + 0.5x解析 在回歸方程中，已知 b = 0.5，貝U a = y b x = 2.75.6.對(duì)于回歸方程y= 257 + 4.75x,當(dāng)x = 28時(shí)，y的估計(jì)值是.答案 390解析 當(dāng) x = 28 時(shí)，y = 257 + 4.75 X28 = 390 ,：y 的估計(jì)值為 390.7 .某醫(yī)院用光電比色計(jì)檢驗(yàn)?zāi)蚬瘯r(shí)，得尿汞含量（mg/L）與消光系數(shù)讀數(shù)結(jié)果如下.尿汞含量（Xi）246810消光系數(shù)(yi)64138205285360畫出對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;(2

17、)求線性回歸方程；根據(jù)的結(jié)果，估計(jì)當(dāng)為為12 mg/L時(shí)的消光系數(shù)yi.解(1)V,350-300L250-200100501丄O2468 10Xy = 11.3 + 36.95 x.當(dāng) Xi= 12 時(shí)代入 y = 11.3 + 36.95 x，得 y尸432.、能力提升8觀察下圖中的4個(gè)散點(diǎn)圖，適合用線性回歸模型擬合其中兩個(gè)變量的是 ()C D 可以根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是否線性A B答案 B解析 在研究?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)系時(shí), 相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù). 這種方法既直觀又方便，因而對(duì)解 決相關(guān)性檢驗(yàn)問題比較常用.9下表是某廠14月份用水量(單位：百噸)的一組數(shù)據(jù),月份x12

18、34用水量y4.5432.5由某散點(diǎn)圖可知，用水量y與月份x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是 y 0.7x + a，貝U a答案 5.25解析 x 2.5 , y 3.5 , b 0.7 ,'a 3.5 + 0.7 X2.5 5.25.10 已知某個(gè)樣本點(diǎn)中的變量 x, y線性相關(guān)，相關(guān)系數(shù)rv 0，則在以(x , y)為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系下的散點(diǎn)圖中，大多數(shù)的點(diǎn)都落在第 象限.答案二、四解析 '-rv0時(shí)b v0 ,大多數(shù)點(diǎn)落在第二、四象限.11 在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)值如下表：x0.250.5124y1612521試建立y與x之間的回歸方程.k1解

19、 根據(jù)散點(diǎn)圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)y ",令t一，則xxy kt，原數(shù)據(jù)變?yōu)?614108642Ot4210.50.25y16125212由散點(diǎn)圖也可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系列表如下:序號(hào)tiyitiyit2y2141664162562212244144315512540.5210.25450.2510.250.062 517.753694.2521.3125430't = 1.55, y = 7.2.5-i/iyi 5t yb =7.134 4.5習(xí)2-5 (t) 2 a = y b t M0.8. = 0.8 + 4.134 t.4.134'

20、y與x的回歸方程是y = 0.8 +x12 某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表.氣溫/C2618131041杯數(shù)202434385064畫出散點(diǎn)圖并判斷熱茶銷售量與氣溫之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系. 解畫出散點(diǎn)圖如圖所示.605040302010 'O 5 10 15 20 25 30-1x =一(26 + 18 + 13 + 10 + 4 1) "11.7 ,61y = 一(20 + 24 + 34 + 38 + 50 + 64) "38.3 ,66j£xiyi = 26 X20 + 18 X24 + 13 X34 + 10 X38 +4 X50 1 X64 = 1 910 ,6£x2 = 262+ 182 + 132+ 102 + 42+ ( 1)2 = 1 286 ,6jy2 = 202 + 242 + 342+ 382 + 502 + 642 = 10 172 ,h爲(wèi)xiyi nx y