微分方程數(shù)值解課程設(shè)計報告

1、 微分方程數(shù)值解課程設(shè)計 之 利用歐拉公式、改進的歐拉公式和經(jīng)典的四級四 階龍格-庫塔公式求解常微分方程組的初值問題 指導(dǎo)老師 王春武 姓名：丘凱倩 江雨芮 黃東方 曲健 代永軒 學(xué)號：081110209 081110202 081110232 081110310 081110311 班級： 0811102 0811103 學(xué)院： 理學(xué)院 專業(yè)： 信息與計算科學(xué) 南京航空航天大學(xué) 2014.6.15 第十組成員及分工組長：丘凱倩統(tǒng)一規(guī)劃分配任務(wù)，給出格式及求格式的截斷誤差，對小組成員的成果進行匯總成員：江雨芮進行matlab總體編程及代碼改進調(diào)試工作，并給出各個格式的程序流程圖 黃東方給出歐拉

2、公式的求解方法及編程思路，代表小組進行匯報展示 曲健給出改進歐拉公式的求解方法及編程思路，并負責(zé)ppt及報告的撰寫 代永軒給出四級四階R-K法的求解方法及編程思路，并負責(zé)ppt及報告的撰寫一研究問題分別利用歐拉公式、改進的歐拉公式和經(jīng)典的四級四階龍格-庫塔公式求解常微分方程組的初值問題：。二理論分析1、 歐拉公式為簡化分析，人們常在的前提下估計誤差。這種誤差稱為局部截斷誤差。對于歐拉格式，而按泰勒公式展開有因此有所以歐拉公式的截斷誤差為。2、改進的歐拉公式截斷誤差：3、四級四階龍格-庫塔公式，截斷誤差：將展開二元泰勒級數(shù)到項。再由比較同冪次級數(shù)可得三數(shù)值方法1.歐拉格式流程圖開始輸入x0,y0

3、,h,Nn=1輸出x1,y1N=n+1x0=x1,y0=y1n=N? 否 是結(jié)束2.改進的歐拉格式流程圖開始輸入x0,y0,h,Nn=1輸出x1,y1n=N?N=n+1x0=x1,y0=y1 否 是結(jié)束3.四級四階的龍格庫塔公式流程圖開始輸入x0,y0,h,Nn=1輸出x1,y1n=N?N=n+1x0=x1,y0=y1 否 是結(jié)束四計算結(jié)果精確解（下面實線）歐拉格式的解（上面實線） 改進的歐拉格式的解（紅線）四級四階的龍格庫塔的解（黑點） y1圖 y2圖歐拉格式誤差表格無窮范數(shù)誤差精度1-范數(shù)誤差精度2-范數(shù)誤差精度506.72760.968783.45130.978317.37320.973

4、51003.57800.9830 86.51960.988012.77540.98562001.84690.991188.16280.99379.21930.99254000.938689.01376.5870改進的歐拉格式誤差表格無窮范數(shù)誤差精度1-范數(shù)誤差精度2-范數(shù)誤差精度502.81221.0483 40.21431.04347.78551.04571001.40751.025239.71931.02245.42881.02372000.70361.012939.4520 1. 01143.80941.01214000.351739.31332.6829四級四階龍格庫塔格式誤差表格無窮

5、范數(shù)誤差精度1-范數(shù)誤差精度2-范數(shù)誤差精度502.71771.0250 39.17131.02547.55571.02521001.38221.012439.17111.01265.34351.01252000.69701.006239.17111.00633.77851.00634000.350039.17112.6719 五總結(jié)及體會由以上可知，在計算精度上，四階經(jīng)典龍格-庫塔方法的誤差最小，改進歐拉方法其次，歐拉方法誤差則比較大，所以四階經(jīng)典龍格-庫塔方法得到最佳的精度。而在計算量上面，相應(yīng)地，很明顯的四階經(jīng)典龍格-庫塔方法也是最大，改進歐拉方法其次，歐拉方法計算量最小。這樣的結(jié)果，說明了運用以上三種方法時，其計算量的多少與精度的大小成正比。我們在實際運用與操作中，可以根據(jù)實際情況，選擇這3種方法中的其中一種最適合的。紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。我們平時總感覺學(xué)的很好，但當(dāng)我們真正做事時才發(fā)現(xiàn)它的困難，這份報告不僅僅是我們團隊精誠合作，互幫互助的結(jié)晶，更是我們勇于探索，堅持不懈的付出。經(jīng)過兩天小組間的討論與摸索，我們對于這三種方法有了系統(tǒng)而全面的認(rèn)識和理解。在完成設(shè)計中，我們分工明確，迅速執(zhí)行。同時，我們還不忘小組成