數(shù)論初步(5年級(jí)培優(yōu))教師版

1、卻數(shù)論初步考息分析疇數(shù)的整除：掌握一些常用白整除性質(zhì)，如能被2、3、4、5、8、9、25、125等整除的數(shù)的性質(zhì)；同時(shí)了解特殊白整除性質(zhì)，如能被 7、11、13等整除的數(shù)的性質(zhì)。尊 分解質(zhì)因數(shù)：熟練運(yùn)用短除法來(lái)分解質(zhì)因數(shù)，能夠靈活應(yīng)用。期 特殊質(zhì)數(shù)：2是最小的質(zhì)數(shù)，也是唯一的偶質(zhì)數(shù)。卜列哪些數(shù)能被精濟(jì)色衡4或9或11整除？7/63505170296142252019能被4整除：能被9整除：能被11整除：【分析】知識(shí)點(diǎn)：整除的特征。難度：A 出處：從課本到奧數(shù)【解答】能被4整除的有296 ;能被9整除的有1422 ;能被11整除的有5170、52019 。密總結(jié)-能被4整除的數(shù)的特征：末兩位能被

2、4整除；能被9整除的數(shù)的特征：各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和能被9整除；能被11整除的數(shù)的特征： 末三位與末三位之前的數(shù)做差，差能被 11整除；奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和做差，差能被 11整除。3回F)下面的數(shù)，哪些能被 8或25?21253500372880641501104能被8整除：能被25整除：【解答】能被 8整除的有1104、3728、8064 ;能被25整除的有150、2125、3500 。監(jiān)總結(jié)二能被25整除的數(shù)的特征：末兩位能被25整除;能被8整除的數(shù)的特征：末三位能被8整除。.既是2和5的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)的最小三位數(shù)是多少？【分析】知識(shí)點(diǎn)：整除的特征。找出同時(shí)滿足條件的數(shù)。難度：A

3、出處：從課本到奧數(shù)【解答】因?yàn)槭侨粩?shù)，則百位最小為1 ;同時(shí)是2和5的倍數(shù)，則個(gè)位為 0 ;又是3的倍數(shù)，即各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和是 3的倍數(shù)，則十位最小是2。所以最小三位數(shù)是 120。一個(gè)七位數(shù)“ 2009口”能同時(shí)被 4, 9和5整除，寫(xiě)出所有滿足條件的七位數(shù)。【解答】由題可知，個(gè)位是 0 ;因?yàn)槟﹥晌荒鼙?4整除，則十位可填 0、2、4、6、8 ;各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和可以為 18或27 ,則百位與十位數(shù)字之和可為7或16。所以，這個(gè)七位數(shù)可為 2009700、2009520、2009340、2009160、2009880 。3 只修改21475的某一個(gè)數(shù)字，就可使修改后的數(shù)能被225整除，怎樣修

4、改？【分析】知識(shí)點(diǎn)：根據(jù)數(shù)的整除的特征，將除數(shù)分解后再進(jìn)行考慮。難度：B 出處：優(yōu)等生數(shù)學(xué)【解答】225 9 25,即修改后的數(shù)既能被 9整除也能被25整除。根據(jù)能被25整除的數(shù)的特征，原數(shù)末兩位是 75,滿足條件；根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，原數(shù)各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和是19,需要減去1或加上8。所以修改后的數(shù)可為 11475、20475、21375、29475 。一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)“ 3口6口5”，千位與十位數(shù)字看不清了，只知道這個(gè)數(shù)是75的倍數(shù)。這樣的五位數(shù)有哪幾個(gè)？【解答】75 3 25,即這個(gè)五位數(shù)既能被3整除又能被25整除。根據(jù)能被25整除的數(shù)的特征，十位數(shù)字可以為2或7;根據(jù)能被3整除

5、的數(shù)的特征， 當(dāng)十位數(shù)字為2時(shí)，各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和是16,則千位數(shù)字可為 2、5、8 ;當(dāng)十位數(shù)字為7時(shí)，各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和是21,則千位數(shù)字可為 0、3、6、9。此時(shí)有七個(gè)，32625、35625、38625、30675、33675、36675、39675 ,去掉重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則共有 3個(gè)，分別是38625、30675、39675 。宜小拓展A是一個(gè)自然數(shù)，它是15的倍數(shù)，并且它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字只有0和8兩種。A最小是幾？【分析】知識(shí)點(diǎn)：數(shù)的整除的特征，結(jié)合最小公倍數(shù)。難度：B 出處：優(yōu)等生數(shù)學(xué)【解答】15 3 5,即這個(gè)五位數(shù)既能被 3整除又能被5整除。根據(jù)能被5整除的數(shù)的特征，個(gè)位數(shù)字

6、為0;根據(jù)能被3整除的數(shù)的特征，且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字只有0和8兩種，則組成 A的數(shù)字中至少有三個(gè) 8。所以A最小是8880 。姐姐參加中學(xué)生英語(yǔ)競(jìng)賽，她說(shuō)：“將我得的名次、 我的年齡與我的競(jìng)賽得分相乘，正好等于2716?！蹦阒澜憬愕拿?、年齡、得分各是多少嗎？【分析】知識(shí)點(diǎn)：分解質(zhì)因數(shù)，再將分解后的質(zhì)因數(shù)重新組合成新的數(shù)。難度：B 出處：從課本到奧數(shù)【解答】2716 2 2 7 97,由于姐姐是中學(xué)生，所以年齡應(yīng)該是2 7 14 （歲），而剩下的兩個(gè)因數(shù) 2和97,則分別是名次和得分。所以，姐姐的名次是第 2名，年齡是14歲，得分是97分。小雨是六年級(jí)的學(xué)生，他參加了數(shù)學(xué)綜合能力競(jìng)賽，并獲得前

7、三名，他高興地對(duì)同學(xué)們說(shuō)：“我的得分、名次與我的年齡之積恰好是2328?！蹦隳芡扑愠鲂∮甑牡梅帧⒚闻c年齡分別是多少嗎？【解答】先把 2328分解質(zhì)因數(shù)。2328 2 2 2 3 97,因?yàn)樾∮晔橇昙?jí)的學(xué)生，所以小雨的年齡年齡應(yīng)該是 2 2 3 12 （歲），則他的得分是 97分，名次是第2名。府!小跖展1125乘自然數(shù)b,得到一個(gè)平方數(shù)，求 b的最小值和這個(gè)平方數(shù)?！痉治觥恐R(shí)點(diǎn)：分解質(zhì)因數(shù)，重新組合，構(gòu)成平方數(shù)。難度：C 出處：從課本到奧數(shù)23【解答】1125 3 5 ,因?yàn)榻Y(jié)果是平方數(shù)，出現(xiàn)奇數(shù)次方的因數(shù)是5,所以b的最小值為5。則這個(gè)平方數(shù)是1125 5 5625。d. 一個(gè)質(zhì)數(shù)的2

8、倍和一個(gè)質(zhì)數(shù)的3倍之和為100,這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是多少？【分析】知識(shí)點(diǎn)：特殊的質(zhì)數(shù)。難度：C 出處：優(yōu)等生數(shù)學(xué)【解答】不妨設(shè)這兩個(gè)質(zhì)數(shù)分別為a和b ,則2a 3b 100。因?yàn)楹?00是偶數(shù)，則2a、3b奇偶性相同。又因?yàn)?2a 一定為偶數(shù)，則3b也為偶數(shù),所以b為偶數(shù)。而唯一的偶質(zhì)數(shù)是 2,所以b 2,從而解得a 47。 a b 2 47 49,這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是 49 。機(jī)中有7個(gè)不同的質(zhì)數(shù)，它們的和是 60,其中最小的質(zhì)數(shù)是?！窘獯稹拷Y(jié)果為偶數(shù)，則其中必有一個(gè)偶數(shù)。而唯一的偶質(zhì)數(shù)是2,且2也是最小的質(zhì)數(shù)。所以，其中最小的質(zhì)數(shù)是 2。用09這十個(gè)數(shù)字組成幾個(gè)質(zhì)數(shù)，每個(gè)數(shù)字都恰好用一次， 這些質(zhì)

9、數(shù)的和最小是多少？解：理由如下即上面所說(shuō)的567?！痉治觥恐R(shí)點(diǎn)：質(zhì)數(shù)的特點(diǎn)，熟記100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)。難度：C 出處：底稿【解答】0、4、6、8均不能充當(dāng)個(gè)位數(shù)字，0也不能作首位，所以必有一個(gè)三位數(shù)的數(shù)字，以0為十位數(shù)字：2、5不能充當(dāng)兩位或三位數(shù)字的個(gè)位數(shù)字，于是1、7、9必須充當(dāng)個(gè)位數(shù)字；2、3、5作為質(zhì)數(shù)時(shí)，和最小。所以，這幾個(gè)質(zhì)數(shù)是 2、3、5、67、89、401時(shí)，它們的和最小是 567?！窘處焸溆谩?、有一個(gè)五位數(shù)a129b ,它可被36整除。請(qǐng)問(wèn)a2 b2等于多少？解：: 36 4 9, 4a129b,并且 9a129b。由 4a129b ,可得 b 2或者 b 6。當(dāng) b2時(shí)，9

10、(a129 2),即 9(a14),易得 a4;當(dāng) b6 時(shí)，9(a129 6),即 9(a18),易得 a9; a2 b2 42 22 20 或者 a2 b2 92 62 117。2、由2、3、5、7四個(gè)數(shù)字能組成許多沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，而在組成的四位數(shù)中，有兩個(gè)數(shù)是25的倍數(shù)，且這兩個(gè)數(shù)的差是 450。那么，這兩個(gè)四位數(shù)的和是 。（中 環(huán)杯，第六屆復(fù)賽）解： 這兩個(gè)數(shù)為3725、3275,和為3725 3275 7000。3、a , b和c都是兩位數(shù)的自然數(shù)，a,b的個(gè)位分別是7和5, C的十位是1。如果它們滿足 等式 ab c 2005，求 a b c。解：設(shè)a為A7, b為B5, c

11、為元，因此ab c A7 B5 記 2005 ,由此判斷出C 0。 即 C 10, ab X7 B_5 2005101995。因?yàn)?1995 35 57 ,所以 a 57,b 35a b c 57 35 10 102。4、已知 x, y, z為三個(gè)質(zhì)數(shù)，且 x y 24, y z 66, x y z,求 x,y,z。 解：因?yàn)閤 y 24 ,即將24分拆成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，一共有 24=19+5=17+7=13+11 ,則當(dāng) x5 , y19 時(shí)，z47 ;當(dāng)x7 , y17時(shí)，z49 ,不符合題意，舍去；當(dāng) x 11 , y 13 時(shí)，z 53 ;所以 x,y, z可為 5、9、47 或 11、

12、13、53鞏固練習(xí) 下面的數(shù)，哪些能被 4整除？哪些能被9整除？6018920823433678311072216能被4整除：能被9整除：【解答】能被4整除的數(shù)有60、208、336、2216 ;能被9整除的數(shù)有189、234、783、1107 。五位數(shù)“ 24口6口”能被15整除，這樣的五位數(shù)有哪些?【解答】15 3 5,則這個(gè)數(shù)既能被 3整除也能被5整除。根據(jù)能被5整除的數(shù)的特征，個(gè)位數(shù)字為0或5;根據(jù)能被3整除的數(shù)的特征，當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和是12,則千位數(shù)字可為 0、3、6、9 ; 當(dāng)十位數(shù)字為5時(shí)，各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和是17,則千位數(shù)字可為1、4、7。所以，這樣的五位數(shù)有2

13、4060、24360、24660、24960 ; 24165、24465、24765。 正方體紙盒每個(gè)面上都寫(xiě)有一個(gè)正整數(shù)，并且相對(duì)兩個(gè)面所寫(xiě)的兩數(shù)之和都相等。若18對(duì)面所寫(xiě)白質(zhì)數(shù)是 a, 14對(duì)面所寫(xiě)的質(zhì)數(shù)是 b , 35對(duì)面所寫(xiě)白質(zhì)數(shù)是 c。試求a b c 的值?！窘獯稹恳李}意得18 a 14 b 35 c ,要使等式成立，a, b, c的奇偶性應(yīng)分別為奇、奇、偶，或是偶、偶、奇。而 a , b , c均為質(zhì)數(shù)，唯一的偶質(zhì)數(shù)是2。所以只有c=2成立，此時(shí)b=23, a=19,所以a b c =19+23+2=44 o504乘自然數(shù)a ,得到一個(gè)平方數(shù)，求 a的最小值和這個(gè)平方數(shù)。【解答】5

14、04 23 32 7,所以a的最小值是2 7 14,這個(gè)平方數(shù)504 14 7056。鏈接整除的特征能被7整除的數(shù)的特征方法一，割尾法（適用于位數(shù)少時(shí)）。一個(gè)數(shù)割去末位數(shù)字，用剩下的數(shù)與被割去數(shù)字的2倍做差，結(jié)果是 7的倍數(shù)（包括0）,那么這個(gè)數(shù)就能被 7整除。如果第一次結(jié)果 太大或不易心算，則繼續(xù)重復(fù)之前的步驟，割尾、倍大、相減、驗(yàn)差，直到能夠判斷 為止。例如，判斷133是否為7的倍數(shù)：133X2=7,所以133是7的倍數(shù)；判斷6139是 否7的倍數(shù)：6139X 2=595 , 59 5X 2 = 49,所以6139是7的倍數(shù)。方法二，段差法（適用于數(shù)位在三位以上時(shí)）。一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)，與末三位數(shù)之前的數(shù)字所組成的數(shù)彳差，結(jié)果是7的倍數(shù)（包括0）,那么這個(gè)數(shù)就能被 7整除。例如，判斷280679是否為7的倍數(shù)：末三位數(shù)字是 679,末三位以前數(shù)字所組成的數(shù)是280, 679-280=399, 399能被7整除，因此 280679也能被7整除。此法也適用于判斷能否被11或13整除的問(wèn)題。能被11整除的數(shù)的特征方法一，段差法。與能被 7整除的方法二步驟相同，判斷結(jié)果是否能被11整除即可。方法二，奇偶位差法。一個(gè)數(shù)從右向左數(shù)，將奇位上的數(shù)