專題訓練螞蟻爬行的最短路徑(含答案)

1、號星片縝粒翎堂中心專片策劃方案螞蟻爬行的最短路徑1. 一只螞蟻從原點。出發(fā)來回爬行，爬行的各段路程依次為：+5,-3, +10, -8, -9, +12, -10.-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10>回答下列問題：(1)螞蟻最后是否回到出發(fā)點0：(2)在爬行過程中，如果每爬一個單位長度獎勵2粒芝麻，則螞蟻一共得到多少粒芝麻.解：(1)否，0+5-3+08-9+12-10=3 故沒有回到 0；(2) (I+5I+I-3I+I+10I+I-8I+I-9I+I+121+1-101) x2=U4 粒2 .如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂

2、點A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點8的最短距離是頁費內容解：如圖將正方體展開，根據(jù)“兩點之間，線段最短“知，線段A3即為最短路線.3 .(2006茂名)如圖，點A、8分別是棱長為2的正方體左、右兩側面的中心，一螞蚊從點A沿其表而爬到點B的最短路程是 0”解：由題意得，從點A沿K表而爬到點3的最短路程是兩個棱長的長，即2+2=4.4 .如圖，一只螞蟻從正方體的底面A點處沿著表面爬行到點上面的B點處，它爬行的最短 路線是（）BA. A=>PnB B. A=Q=8 C. A=R=8 D. A=S=8Q.A解：根據(jù)兩點之間線段最短可知選A.故選A.5 .如圖，點A的正方體左側而的中心，點8是正方

3、體的一個頂點，正方體的棱長為2,-螞蚊從點A沿其表面爬到點B的最短路程是（）6 .正方體盒子的棱長為21c的中點為M,一只螞蟻從A點爬行到M點的最短距離為（）B M 0解：展開正方體的點用所在的面，的中點為M,所以 MC= -BC=1>2在直角三角形中AM=也2+。+2a=V13.7 .如圖，點A和點8分別是棱長為20c,的正方體盒子上相鄰面的兩個中心，一只螞蟻在盒子表而由A處向8處爬行，所走最短路程是.解：將盒子展開,如圖所示：1111AB=CD=DF+FC= EF+ - GF= - x20+- x2O=2O( m.2222故選C.8 .正方體盒子的棱長為2, BC的中點為M, 一只螞

4、蟻從A點爬行到M點的最短距離解：將正方體展開，連接M、DU根據(jù)兩點之間線段最短，MD=.WC+CD= 1+2=3,MD尸+ DD；=五 + 2? = g9 .如圖所示一棱長為3a的正方體，把所有的而均分成3x3個小正方形.其邊長都為 假設一只螞蟻每秒爬行2cm,則它從下底面點A沿表面爬行至側面的B點，最少要用2.5 秒鐘.解：因為爬行路徑不唯一，故分情況分別計算，進行大、小比較，再從各個路線中確定最短 的路線.（1）展開前面右面由勾股定理得AB= （2+3）2+J 體（2）展開底面右而由勾股收+（2+2）!：所以最短路徑長為5”叫用時最少：5:2=2.5秒.10 . （2009恩施州）如圖，長

5、方體的長為15,寬為10,高為20,點8離點。的距離為5, 一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點a爬到點8,需要爬行的最短距離是。解：將長方體展開，連接A、B, 根;據(jù)兩點之間笈工最短，AB= 任互麗 =25.11 .如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點。處（三 條棱長如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長為.解：正而和上面沿4沿展開如圖,連接AG，A3G是直角三角形, ."。尸/介+8。； = J42+（1 + 2）2 = V42 +32 = 5號星片縝粒翎堂中心專片策劃方案12 .如圖所示：有一個長、寬都是2米，高為3米的長方體紙盒，一只小螞蟻從A點

6、爬到8點，那么這只螞蟻爬行的最短路徑為 米。頁，內容路徑一：AB= "（3+2）2+22= x/29 ：路徑二：AB= 7（2+2）2+32=5；路徑三：AB= V（3+2）2+22= V29 ：? V29 >5>，5米為最短路徑.13.如圖，直四棱柱側棱長為4。，底而是長為5c,寬為3a的長方形.一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點8.求：（1）螞蟻經(jīng)過的最短路程；（2）螞蟻沿著棱爬行（不能重復爬行同一條棱）的最長路程.解：（1） A8的長就為最短路線.然后根據(jù) 若螞蟻沿側面爬行，則經(jīng)過的路程為V（5+3）2+42 = V80 y若螞蟻沿側面和底面爬行，則經(jīng)過的路程

7、為V（4+3）2+52 = V74（”）,或 7（4+5）2+32 = V90（t7）所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是gem.（2），最長路程是30“.14 .如圖，在一個長為50a，寬為40o，高為30。的長方體盒子的頂點A處有一只螞蟻,圖1圖2圖3解：圖 1 中，AB- V402+802 = 40 VS 89.4 c/h.圖 2 中，AB = «9。2+3。2 = 30V10 n 94.7圖 3 中，AB = V502+702 = 20V15 a 77.5 cm.，采用圖3的爬法路程最短，為20V1S/H15 .如圖，長方體的長、寬、高分別為6cm, 8a，4cm. 一只螞蟻沿著長方體的

8、表面從點A爬到點&則螞蟻爬行的最短路徑的長是 Q解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個平而,則這個長方形的長和寬分別是12cm和6cm,則所走的最短線段是V122+62=6 V5c,h：第二種情況：把我們看到的左而與上面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是10切?和&?，所以走的最短線段是V102+82= Vl64r»f：號星片縝粒翎堂中心專片策劃方案第三種情況：把我們所看到的前面和右而組成一個長方形, 則這個長方形的長和寬分別是14"和4cnb所以走的最短線段是V142+42=2/三種情況比較而言，第二種情況最短.16.如圖是一個三級臺階，

9、它的每一級的長、寬、高分別為20c?、30、2cm. A和8是這 個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點8處去吃可口的食物，則螞蟻沿著 分階面爬行到點8的最短路程為 cm頁費內容解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為20a，寬為(2+3) x3o, 則螞蚊沿臺階而爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長.可設螞蟻沿臺階而爬行到B點最短路程為AC/H,由勾股定理得:=204(2+3) x32=252,解得x=25.故答案為25.17.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5a，和1cm, A和8是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物,請你想一想,

10、這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到5點，最短線路是，解：將臺階展開，如下圖，因為AC=3x3+lx3=12, BC=5,所以從324。+8=169,所以A3=13 (cm).所以螞蟻爬行的最短線路為13a兒答：螞蟻爬行的最短線路為3crn.18. （2011荊州）如圖，長方體的底面邊長分別為2,7和4r小，高為5加.若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側面爬行一圈到達。點，則螞奴爬行的最短路徑長為解：9：PA=2x (4+2) =12,。月=5：.PQ=3.故答案為：13.19.如圖，一塊長方體磚寬AN=5c】，長ND=10cm, CD上的點3距地面的高BD=8cm，地而上A處的一只螞蟻到3處吃食，需

11、要爬行的最短路徑是多少？解：如圖1,在磚的側面展開圖2上，連接A3.則AB的長即為人處到B處的最短路程.解：在股A8D中,號星片縝粒翎堂中心專片策劃方案因為 AD=AN+ND=5+1O=15, BD=8,所以 AB2=AD2+BD2=l 52+81289= 172.所以A3=17a.故螞蟻爬行的最短路徑為17cm.20. （2009佛山）如圖，一個長方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有健隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角G處.（1）請你畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑；（2）當AB=4, BC=4, CG=5時,求螞蟻爬過的最短路徑的長:（3）求點以到最短路徑的距離.備用

12、圖解：（1）如圖，木柜的表面展開圖是兩個矩形A8CA和ACGAi.故螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑有如圖的4a和AG. （2分）（2）螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段4辦到G，爬過的路徑的長是h = 742+（4+5）2 = V97.（3分）螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段BBi到。，爬過的路徑的長是Z2 = 7（4+4）2+52 = V89.（4 分）故最短路徑的長是12 二 怖.（5分）（3）作 BiEL4G 于 E,則E1E=翳.441二盤.5二患府為所求.組分）21.有一圓柱體如圖，高4?，底面半徑5c?，A處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到C處，求螞 蟻爬行的最短距離.解：AC的長就是螞蟻爬行的最短距離.C。

13、分別是BE, AF的中點.AF=25=10. AD=5tt.ac= Jazz+cd- i6cm.故答案為：1&旭.CED頁費內容22 .有一圓形油罐底面圓的周長為24小，高為6加，一只老鼠從距底而的A處爬行到對 角8處吃食物，它爬行的最短路線長為.解：AB=a/52 +122 = 13m23 .如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高A4的端點A到達4,若圓柱底面半徑為°,高為5,則螞蟻爬行的最短距離為解：因為圓柱底而圓的周長為2M2=12,高為5, n所以將側面展開為一長為12,寬為5的矩形，根據(jù)勾股定理，對角線長為回同= 13.故螞蟻爬行的最短距離為13.24 .如圖，一圓柱

14、體的底而周長為24“，高A8為9a，BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側而爬行到點C,則螞蟻爬行的最短路程是解：如圖所示：由于圓柱體的底面周長為24a,則 AD=24xL = 12（7.2又因為 CDAB=9cm.* / /BCAD所以 AC= V122+$2 = 15c/n.故螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點。的最短路程是5crn.故答案為：15.25 . （2006荊州）有一圓柱體高為10。，底而圓的半徑為4a，A4i, 88為相對的兩條母線.在A4上有一個蜘蛛。，QA=3c?；在8S上有一只蒼蠅P, PBi=2cm,蜘蛛沿圓柱體側面爬到P點吃蒼蠅，最短的路徑是 c?

15、.（結果用帶乃和根號的式子表示）解：。4=3, P8i=2,即可把PQ放到一個直角邊是4%和5的直角三角形中, 根據(jù)勾股定理得:QP= V16% 2-J-2526 .同學的茶杯是圓柱形，如圖是茶杯的立體圖，左邊下方有一只螞蚊，從A處爬行到對 而的中點8處，如果螞蟻爬行路線最短，請畫出這條最短路線圖.問題：某正方體盒子，如圖左邊下方A處有一只螞蟻，從A處爬行到側棱GF上的中點M 點處，如果螞蟻爬行路線最短，請畫出這條最短路線圖.解：如圖，將圓柱的側面展開成一個長方形，如圖示，則A、8分別位于如圖所示的位置, 連接A3,即是這條最短路線圖.號星片縝粒翎堂中心專片策劃方案如圖，將正方體中而A5CO和

16、而C8FG展開成一個長方形，如圖示，則A、M分別位于如 圖所示的位置，連接AM,即是這條最短路線圖.27 .如圖，圓錐的主視圖是等邊三角形，圓錐的底而半徑為2o，假若點5有一螞蟻只能沿 圓錐的表而爬行，它要想吃到母線AC的中點P處的食物，那么它爬行的最短路程解：:圓錐的底面周長是4外則4m 空二 180，=180。即圓錐側而展開圖的圓心角是180% ，在圓錐側而展開圖中AP=2, AB=4. N8AP=90。,，住阿推側面展開內中BP= 720=275 t,這50（爬行的最短距離是275 cm.故答案是：2后cm.28 .如圖，圓錐的底面半徑R=3力，母線/=5力，A8為底而直徑，C為底面圓周

17、上一點,NCO8=150。，D為VB上一點，VD= 47dm.現(xiàn)有一只螞蟻，沿圓錐表面從點。爬到D.則螞蟻爬行的最短路程是（）頁，內容且NA04.120。，一只螞蟻欲則螞蚊爬行的最短路程長解：連接44，作OCLAV于C,:圓錐的母線長為5a，NA0A產(chǎn)，A4'=2AC=5 6.AE：150ttx3 5k解：BO= Fn-=2殲,設弧BC所對的圓心角的度數(shù)為小解得=90.:.ZCVD=90°,CD= V52+7=4 V2，29.己知圓錐的母線長為5c，圓錐的側面展開圖如圖所示,從圓錐的底面上的點A出發(fā)，沿圓錐側而爬行一周回到點430.如圖，底而半徑為1,母線長為4的圓錐，一只小

18、螞蟻若從A點出發(fā)，繞側而一周又回到A點，它爬行的最短路線長是.第4題號星片縝粒翎堂中心專片策劃方案解：由題意知，底而圓的直徑為2,故底而周長等于2幾.設圓錐的側而展開后的扇形圓心角為。, 根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得，2萬=%，180解得w=90%所以展開圖中圓心角為90。，限據(jù)勾股定理求得到點A的最舊的路我K是：716716= 732= 4V2 .3L （2006南充）如圖，底面半徑為1,母線長為4的圓錐，一只小螞蟻若從A點出發(fā)，繞側面一周又回到A點，它爬行的最短路線長是，解：由題意知底而圓的直徑=2,故底面周長等于27r.設圓錐的側面展開后的扇形圓心角為。，根據(jù)底面周長等于展開后扇形

19、的弧長得2= ,180解得“90。,所以展開圖中的圓心角為90。，根據(jù)勾股定理求得它爬行的最短路線長為4& .32 . （2009樂山）如圖，一圓錐的底而半徑為2,母線P8的長為6, D為PB的中點.一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓錐的側面爬行到點。，則螞蟻爬行的最短路程為 o頁費內容號星片縝粒翎堂中心專片策劃方案解：由題意知,底而圓的直徑A8=4,故底面周長等于4-設圓錐的側面展開后的扇形圓心角為根據(jù)底而周長等于展開后扇形的弧長得4x2/? x 6360解得=120。, 所以展開圖中ZAPD= 120%2=60°, 根據(jù)勾股定理求得36.所以螞蟻爬行的最短距離為3后.33 .如圖，圓錐底面半徑為，母線長為3人底面圓周上有一螞蟻位于4點，它從A點出發(fā) 沿圓錐而爬行一周后又回到原出發(fā)點,請你給它指出一條爬行最短的路徑，并求出最短路徑.解：把圓錐沿過點A的母線展成如圖所示扇形, 則螞蟻運動的最短路程為A4