全等三角形培優(yōu)競(jìng)賽講義(一)(共8頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上全等三角形培優(yōu)競(jìng)賽講義（一）知識(shí)點(diǎn) 全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線相等，面積相等尋找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊(2)全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角(3)有公共邊的，公共邊常是對(duì)應(yīng)邊(4)有公共角的，公共角常是對(duì)應(yīng)角(5)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角常是對(duì)應(yīng)角(6)兩個(gè)全等的不等邊三角形中一對(duì)最長(zhǎng)邊(或最大角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)，一對(duì)最短邊(或最小角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)要想正確地表示兩個(gè)三角形全等，找出對(duì)應(yīng)的元

2、素是關(guān)鍵全等三角形的判定方法：(1) 邊角邊定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 (2) 角邊角定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(3) 邊邊邊定理(SSS)：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(4) 角角邊定理(AAS)：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(5) 斜邊、直角邊定理(HL)：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等全等三角形的應(yīng)用：運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時(shí)會(huì)添加輔助線拓展關(guān)鍵點(diǎn)：能通過判定兩個(gè)三角形全等進(jìn)而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系而證明兩條線段或兩個(gè)角的和、

3、差、倍、分相等是幾何證明的基礎(chǔ)例題精講板塊一、截長(zhǎng)補(bǔ)短【例1】 (年北京中考題)已知中，、分別平分和，、交于點(diǎn)，試判斷、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明 【解析】 ，理由是：在上截取，連結(jié)，利用證得，利用證得，【例2】 如圖，點(diǎn)為正三角形的邊所在直線上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)除外)，作，射線與外角的平分線交于點(diǎn)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系?【解析】 猜測(cè).過點(diǎn)作交于點(diǎn)，又，而，【變式拓展訓(xùn)練】如圖，點(diǎn)為正方形的邊上任意一點(diǎn)，且與外角的平分線交于點(diǎn)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 【解析】 猜測(cè).在上截取，【例3】 已知：如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)AD=FAE. 求證：BE+DF=AE.【解析】 延長(zhǎng)CB至M，使得BM=DF，連接A

4、M.AB=AD，ADCD，ABBM，BM=DF ABMADFAFD=AMB，DAF=BAMABCDAFD=BAF=EAF+BAE=BAE+BAM=EAMAMB=EAMAE=EM=BE+BM=BE+DF.【例4】 以的、為邊向三角形外作等邊、，連結(jié)、相交于點(diǎn)求證：平分 【解析】 因?yàn)?、是等邊三角形，所以，則，所以，則有，在上截取，連結(jié)，容易證得，進(jìn)而由得；由可得，即平分【例5】 (北京市、天津市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)如圖所示，是邊長(zhǎng)為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的，點(diǎn)、分別在、上，求的周長(zhǎng) 【解析】 如圖所示，延長(zhǎng)到使.在與中，因?yàn)椋?，?因?yàn)椋?又因?yàn)?，所? 在與中，所以

5、，則，所以的周長(zhǎng)為.【例6】 五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180， 求證：AD平分CDE【解析】 延長(zhǎng)DE至F，使得EF=BC，連接AC.ABC+AED=180，AEF+AED=180 ABC=AEFAB=AE，BC=EF ABCAEF EF=BC，AC=AFBC+DE=CD CD=DE+EF=DFADCADF ADC=ADF即AD平分CDE.板塊二、全等與角度【例7】如圖，在中，是的平分線，且，求的度數(shù). 【解析】 如圖所示，延長(zhǎng)至使，連接、.由知，而，則為等邊三角形.注意到，故.從而有，故.所以，.【另解】在上取點(diǎn)，使得，則由題意可知.在和中，則，從而

6、，進(jìn)而有，.注意到，則：，故.【點(diǎn)評(píng)】由已知條件可以想到將折線“拉直”成，利用角平分線可以構(gòu)造全等三角形.同樣地，將拆分成兩段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要說明的是，無論采取哪種方法，都體現(xiàn)出關(guān)于角平分線“對(duì)稱”的思想. 上述方法我們分別稱之為“補(bǔ)短法”和“截長(zhǎng)法”，它們是證明等量關(guān)系時(shí)優(yōu)先考 慮的方法.【例8】在等腰中，頂角，在邊上取點(diǎn)，使，求. 【解析】 以為邊向外作正，連接.在和中，則.由此可得，所以是等腰三角形.由于，則，從而，則.【另解1】以為邊在外作等邊三角形，連接.在和中，因此，從而，.在和中，故，從而，故，因此. 【另解2】如圖所示，以為邊向內(nèi)部作等邊，

7、連接、.在和中，故，而，進(jìn)而有.則，故.【點(diǎn)評(píng)】上述三種解法均是向三邊作正三角形，然后再由三角形全等得到邊長(zhǎng)、角度之間的關(guān)系.【例9】(“勤奮杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題) 如圖所示，在中，又在上，在上，且滿足，求. 【解析】 過作的平行線交于，連接交于.連接，易知、均為正三角形. 因?yàn)?，所以，則，故.從而.進(jìn)而有，.【另解】如圖所示，在上取點(diǎn)，使得，由、可知.而，故，.在中，故，從而，進(jìn)而可得.而，所以為等邊三角形.在中，故，從而.我們已經(jīng)得到，故是的外心，從而.【點(diǎn)評(píng)】本題是一道平面幾何名題，加拿大滑鐵盧大學(xué)的幾何大師Ross Honsberger將其喻為“平面幾何中的一顆明珠”.本題的大多數(shù)解法不是純幾何的，即使利用三角函數(shù)也不是那么容易.【例10】在四邊形中，已知，求的度數(shù).【解析】 如圖所示，延長(zhǎng)至，使，由已知可得：，故.又因?yàn)椋?，因此?又因?yàn)椋剩?而已知，所以為等邊三角形.于是，故，則，從而，所以.【例11】 (日本算術(shù)奧林匹克試題) 如圖所示，在四邊形中，求的度數(shù). 【解析】 仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)已知角的度數(shù)都是的倍數(shù)，這使我們想到構(gòu)造角，從而利用正三角形. 在四邊形外取一點(diǎn)，使且，連接、. 在和中，故.從而.在中，故，從而.而，故是正三角形，.在中，故.在和中，故，從而，則.【例12】 (河南省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題) 在正內(nèi)取一點(diǎn)，使， 在外取一點(diǎn)，使，且，求. 【解析】 如圖