2018年全國有關中考數(shù)學壓軸題精選全解之五

1、2018年全國有關中考數(shù)學壓軸題精選全解之五2007年全國各地中考試題壓軸題精選全解之五82.（四川省德陽市）25.如圖，已知與軸交于點和的拋物線的頂點為，拋物線與關于軸對稱，頂點為（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）已知原點，定點，上的點與上的點始終關于軸對稱，則當點運動到何處時，以點為頂點的四邊形是平行四邊形？（3）在上是否存在點，使是以為斜邊且一個角為的直角三角形？若存，求出點的坐標；若不存在，說明理由解：（1）由題意知點的坐標為設的函數(shù)關系式為又點在拋物線上，解得拋物線的函數(shù)關系式為（或）（2）與始終關于軸對稱， 與軸平行設點的橫坐標為，則其縱坐標為，即當時，解得當時，解得當點運動到或或

2、或時，以點為頂點的四邊形是平行四邊形（3）滿足條件的點不存在理由如下：若存在滿足條件的點在上，則，（或），過點作于點，可得，點的坐標為但是，當時，不存在這樣的點構成滿足條件的直角三角形83.（綿陽市）25.如圖，已知拋物線y = ax2 + bx3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，經(jīng)過A、B、C三點的圓的圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對稱軸上，M的半徑為設M與y軸交于D，拋物線的頂點為E（1）求m的值及拋物線的解析式；（2）設DBC = a，CBE = b，求sin（ab）的值；（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與BCE相似？若存在，請指出點P的位置，并直接寫

3、出點P的坐標；若不存在，請說明理由解：（1）由題意可知C（0，3）， 拋物線的解析式為y = ax22ax3（a0），過M作MNy軸于N，連結CM，則MN = 1， CN = 2，于是m =1同理可求得B（3，0）， a×3222a×33 = 0，得 a = 1， 拋物線的解析式為y = x22x3 （2）由（1）得 A（1，0），E（1，4），D（0，1） 在RtBCE中， ， ，即 ， RtBODRtBCE，得 CBE =OBD =b，因此 sin（ab）= sin（DBCOBD）= sinOBC =（3）顯然 RtCOARtBCE，此時點P1（0，0）過A作AP2AC

4、交y正半軸于P2，由RtCAP2 RtBCE，得過C作CP3AC交x正半軸于P3，由RtP3CARtBCE，得P3（9，0）故在坐標軸上存在三個點P1（0，0），P2（0，13），P3（9，0），使得以P、A、C為頂點的三角形與BCE相似84.（南充市）25.如圖，點M（4，0），以點M為圓心、2為半徑的圓與x軸交于點A、B已知拋物線過點A和B，與y軸交于點C（1）求點C的坐標，并畫出拋物線的大致圖象（2）點Q（8，m）在拋物線上，點P為此拋物線對稱軸上一個動點，求PQPB的最小值（3）CE是過點C的M的切線，點E是切點，求OE所在直線的解析式 CAMBxyODE解：（1）由已知，得A（2，0

5、），B（6，0），拋物線過點A和B，則解得則拋物線的解析式為 故C（0，2）（說明：拋物線的大致圖象要過點A、B、C，其開口方向、頂點和對稱軸相對準確）（3分）（2）如圖，拋物線對稱軸l是x4Q（8，m）拋物線上，m2過點Q作QKx軸于點K，則K（8，0），QK2，AK6，AQ又B（6，0）與A（2，0）關于對稱軸l對稱，PQPB的最小值AQCAMBxyODEQPK圖lCAMBxyODE圖（3）如圖，連結EM和CM由已知，得EMOC2CE是M的切線，DEM90º，則DEMDOC又ODCEDM故DEMDOCODDE，CDMD又在ODE和MDC中，ODEMDC，DOEDEODCMDMC則

6、OECM設CM所在直線的解析式為ykxb，CM過點C（0，2），M（4，0），解得直線CM的解析式為又直線OE過原點O，且OECM，則OE的解析式為yx85.（內江市）25.如圖（13），已知平行四邊形的頂點的坐標是，平行于軸，三點在拋物線上，交軸于點，一條直線與交于點，與交于點，如果點的橫坐標為，四邊形的面積為（1）求出兩點的坐標；（2）求的值；（3）作的內切圓，切點分別為，求的值圖（13）解：（1）點A的坐標為（0，16），且ABx軸B點縱坐標為4，且B點在拋物線上點B的坐標為（10，16）又點D、C在拋物線上，且CDx軸D、C兩點關于y軸對稱DNCN5.D點的坐標為（5,4）（2）設E點

7、的坐標為（a，16），則直線OE的解析式為：F點的坐標為（）由AEa，DF且，得解得a5（3）連結PH，PM，PKP是AND的內切圓，H，M，K為切點PHAD，PMDN，PKAN在RtAND中，由DN5，AN12，得AD13設P的半徑為r，則，r2在正方形PMNK中，PMMN2在RtPMF中，tanPMF86.（資陽市）25.如圖10，已知拋物線P：y=ax2+bx+c(a0) 與x軸交于A、B兩點(點A在x軸的正半軸上)，與y軸交于點C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點F、G分別在線段BC、AC上，拋物線P上部分點的橫坐標對應的縱坐標如下：x-3-212y-4-0圖10(1) 求A

8、、B、C三點的坐標；(2) 若點D的坐標為(m，0)，矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數(shù)關系，并指出m的取值范圍；(3) 當矩形DEFG的面積S取最大值時，連接DF并延長至點M，使FM=k·DF，若點M不在拋物線P上，求k的取值范圍. 解：（1）解法一：設，任取x,y的三組值代入，求出解析式，令y=0，求出；令x=0，得y=-4， A、B、C三點的坐標分別是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . 解法二：由拋物線P過點(1，-)，(-3，)可知，拋物線P的對稱軸方程為x=-1，又 拋物線P過(2，0)、(-2，-4)，則由拋物線的對稱性可知，點A、B、C的坐標分別為 A

9、(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .（2）由題意，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，又 ，EF=DG，得BE=4-2m， DE=3m，SDEFG=DG·DE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0m2) .注：也可通過解RtBOC及RtAOC，或依據(jù)BOC是等腰直角三角形建立關系求解.(3)SDEFG=12m-6m2 (0m2)，m=1時，矩形的面積最大，且最大面積是6 .當矩形面積最大時，其頂點為D(1，0)，G(1，-2)，F(xiàn)(-2，-2)，E(-2，0)，設直線DF的解析式為y=kx+b，易知，k=，b=-，又可求得拋物線P的解析式為：，令=，可

10、求出. 設射線DF與拋物線P相交于點N，則N的橫坐標為，過N作x軸的垂線交x軸于H，有=，點M不在拋物線P上，即點M不與N重合時，此時k的取值范圍是k且k0.說明：若以上兩條件錯漏一個，本步不得分.若選擇另一問題：(2)，而AD=1，AO=2，OC=4，則DG=2，又， 而AB=6，CP=2，OC=4，則FG=3，SDEFG=DG·FG=6. 87.（自貢市）26.ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，拋物線yx22axb2交x軸于兩點M，N，交y軸于點P，其中M的坐標是(ac，0)（1）求證：ABC是直角三角形（2）若SMNP3SNOP，求cosC的值；判斷ABC的三邊長能否

11、取一組適當?shù)闹担谷切蜯ND（D為拋物線的頂點）是等腰直角三角形？如能，請求出這組值；如不能，請說明理由解：（1）證明：拋物線yx22axb2 經(jīng)過點由勾股定理的逆定理得：為直角三角形 （2）解：如圖所示； 即 又 ，是方程x22axb20的兩根由（1）知：在中，A90°由勾股定理得能由（1）知 頂點過D作DEx軸于點 則NEEM DNDM要使為等腰直角三角形，只須EDMNEM 又c0，c1由于ca ba a b當a，b，c1時，為等腰直角三角形。88.（成都市）28.在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點（點在點的左邊），與軸交于點，其頂點的橫坐標為1，且過點和（1）

12、求此二次函數(shù)的表達式；（2）若直線與線段交于點（不與點重合），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達式及點的坐標；若不存在，請說明理由；yx11O（3）若點是位于該二次函數(shù)對稱軸右邊圖象上不與頂點重合的任意一點，試比較銳角與的大小（不必證明），并寫出此時點的橫坐標的取值范圍yxBEAOCD解：（1）二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標為1，且過點和，由解得此二次函數(shù)的表達式為（2）假設存在直線與線段交于點（不與點重合），使得以為頂點的三角形與相似在中，令，則由，解得令，得設過點的直線交于點，過點作軸于點點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為要使或，已有，則只需，或成立若

13、是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負值舍去）點的坐標為將點的坐標代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達式為或求出直線的函數(shù)表達式為，則與直線平行的直線的函數(shù)表達式為此時易知，再求出直線的函數(shù)表達式為聯(lián)立求得點的坐標為若是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負值舍去）點的坐標為將點的坐標代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達式為存在直線或與線段交于點（不與點重合），使得以為頂點的三角形與相似，且點的坐標分別為或（3）設過點的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點xBEAOCP·將點的坐標代入中，求得此直線的函數(shù)表達式為設點的坐標為，并代入，得解得（不合題意，舍去）點的坐標為此時，銳角又二次函數(shù)的對稱

14、軸為，點關于對稱軸對稱的點的坐標為當時，銳角；當時，銳角；當時，銳角89.（樂山市）28AOFBxyCE圖（16）.如圖（16），拋物線的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，其中點的坐標為；直線與拋物線交于點，與軸交于點，且（1）用表示點的坐標；（2）求實數(shù)的取值范圍；（3）請問的面積是否有最大值？若有，求出這個最大值；若沒有，請說明理由解：（1）拋物線過，點在拋物線上，點的坐標為（2）由（1）得，（3）的面積有最大值， 的對稱軸為，點的坐標為，由（1）得，而， 的對稱軸是，當時，取最大值，其最大值為90.（巴中市）30圖12.如圖12，以邊長為的正方形的對角線所在直線建立平面直角坐標系，拋物線經(jīng)過

15、點且與直線只有一個公共點（1）求直線的解析式（3分）（2）求拋物線的解析式（3分）（3）若點為（2）中拋物線上一點，過點作軸于點，問是否存在這樣的點，使？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由（5分）解：（1）直線AB的解析式為：（2）拋物線的解析式為：（3）存在這樣的點P，使PMCADC，P點的坐標為（0，-1）；（2，1）；（，）；（，）。理由略。91.（眉山市）26.如圖，矩形是矩形（邊在軸正半軸上，邊在軸正半軸上）繞點逆時針旋轉得到的，點在軸的正半軸上，點的坐標為（1）如果二次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過，兩點且圖象頂點的縱坐標為，求這個二次函數(shù)的解析式；（2）在（1）中求出的二次函數(shù)圖象對

16、稱軸的右支上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請求出點的坐標和的面積；若不存在，請說明理由；解：（1）連結，則，解得，所求二次函數(shù)的解析式為（2）設存在滿足題設條件的點連結，過作軸于則， 即在二次函數(shù)的圖象上解得或在對稱軸的右支上 即是所求的點，連結，顯然為等腰直角三角形為滿足條件的點滿足條件的點是或，或（3）設與的交點為顯然在中，即解得，設邊所在直線的解析式為則解得，所求直線解析式為92.(內蒙古呼和浩特市) 26.如圖，在矩形中，點在上，交于，交于于點從點（不含）沿方向移動，直到使點與點重合為止（1）設，的面積為請寫出關于的函數(shù)解析式，并確定的取值范圍BCQEDAP（2）點在運動過程中

17、，的面積是否有最大值，若有，請求出最大值及此時的取值；若無，請說明理由（1）解：過點作，垂足為在矩形中，又，又在中，又 又在四邊形中，四邊形為矩形 又 又 又 又 或過點作，垂足為在中，由等積法可得由題意可得當與重合時，與重合即，由得即 的取值范圍是（2）面積有最大值由（1）可得當即時，面積最大，即93.(赤峰市)25. 如圖，一元二次方程的二根（）是拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，且此拋物線過點（1）求此二次函數(shù)的解析式（2）設此拋物線的頂點為，對稱軸與線段相交于點，求點和點的坐標（3）在軸上有一動點，當取得最小值時，求點的坐標xyA（3，6）QCOBP解：（1）解方程得拋物線與軸的兩個交點坐

18、標為：設拋物線的解析式為在拋物線上 拋物線解析式為：xyA（3，6）QCOBP（2）由拋物線頂點的坐標為：，對稱軸方程為：設直線的方程為：在該直線上解得直線的方程為：將代入得點坐標為（3）作關于軸的對稱點，連接；與軸交于點即為所求的點設直線方程為解得直線：令，則點坐標為94.(鄂爾多斯市)26. 如圖17，拋物線（為常數(shù)）經(jīng)過坐標原點和軸上另一點，頂點在第一象限（1）確定拋物線所對應的函數(shù)關系式，并寫出頂點坐標；圖17（2）在四邊形內有一矩形，點分別在上，點在軸上當為多少時，矩形的面積最大？最大面積是多少？解（1）拋物線過點頂點在第一象限，且拋物線頂點坐標為（2）點的坐標為如圖所示，作軸于設點的坐標為 由拋物線的對稱性可知：當時，時，答：等于時，矩形的最大面積是95.(烏蘭察布市)24. 如圖所示，菱形ABCD的邊長為6cm，DAB60°，點M是邊AD上一點，且DM2cm，點E、F分別從A、C同時出發(fā)，以1cm/s的速度分別沿邊AB、CB向點B運動，EM、CD的延長線相交于G，GF交AD于O。設運動時間為x（s），CGF