概率論試題及答案

1、概率論1、設(shè)X為離散型的隨機變量，且期望EX、方差DX均存在，證明對任意0,都有EXDX證明 設(shè)P X XiPi iP X EXP Xlx EX| _2_xi EX _ DX2Pi= 1,2,則|X EXXiEX 2Pi63D X Y621123、一枚均勻硬幣要拋多少次才能使正面出現(xiàn)的頻率與0.5之間的偏2、設(shè)隨機變量X和Y的數(shù)學期望都是2,方差分別為1和4,而相關(guān)系 數(shù)為0.5,請利用切比雪夫不等式證明：1P X Y 612證 E X Y 0cov X,Y , DXDY 1DX DY 2covX,Y 5 26 P X Y E X Y 6差不小于0.04的概率不超過0.01 ?解設(shè)Xn為n次拋

2、硬幣中正面出現(xiàn)次數(shù)，按題目要求，由切比雪夫不等式可得P Xn 0.5 0.04從而有 n0.2520.01 0.0420.5 0.5 n 0.042156250.01即至少連拋1562歐硬幣，才能保證正面出現(xiàn)頻率與 0.5的偏差不小于0.04的概率不超過0.014、每名學生的數(shù)學考試成績X是隨機變量，已知EX 80, DX 25, (1)試用切比雪夫不等式估計該生成績在70分到90分之間的概率范圍； (2)多名學生參加數(shù)學考試，要使他們的平均分數(shù)在75分到85分之間的概率不低于90%至少要有多少學生參加考試？解(1)由切比雪夫不等式px EX 1弩0又 P 70 X 90 P 70 EX X

3、EX 90 EX P 10 X EX 10=P X 8025-101 至 0.75100即該生的數(shù)學考試成績在70分到90分之間的概率不低于75%（2）設(shè)有n個學生參加考試（獨立進行），記第i個學生的成績?yōu)閄ii i,2n ,則平均成績?yōu)閄1n_1n 一Xi ,又 EX EXi 80n i 1n i 11DX DXn25則由切比雪夫不等式可得：P75 X要使上述要求不低于90%只需上 n學生參加考試，就可以達到要求。5、設(shè)800臺設(shè)備獨立的工作85 P X 80 51 25n520.9,解得n 10,即有10個以上的,它們在同時發(fā)生故障的次數(shù)X B 800,0.01解 P X,現(xiàn)由2名維修工看

4、管，求發(fā)生故障不能及時維修的概率221 P X 21C800 0.01i0.99800 ii 0在二項分布表（附表1）中不能查出。np 8,使用正態(tài)分布近似計 算：近似若使用正態(tài)分布近似計算：X N 8,7.92 ,P X 21 P X 21c X 8 P 2.132,7.922.1320.98346、對于一個學生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量，設(shè)一個學生無家長來、有1名家長來、有2名家長來參加會議的概率分別 為0.05、0.8、0.15。若學校共有400名學生，設(shè)每個學生參加會議的家 長數(shù)相互獨立且服從同一分布，求：（1）參加會議的家長數(shù)X超過450的 概率；（2）每個學生有一名

5、家長來參加會議的學生數(shù)不多于340的概率。解（1）以Xi i 1,2.400表示第i個學生來參加會議的家長數(shù)，則X的分布律為：Xi_0_12_Pi0.00.0.18所以 EXi 1.1, DXi 0.19, i 1,2.400400而X Xi i 1近似由中心極限定理知：X N 440,76P X 45011.1470.1257(2)以Y表示每個學生有一名家長來參加會議的個數(shù)，則Y B 400,0.8近似由中心極限定理知：Y N 320,64貝U P Y 3402.50.99387、射手打靶得10分的概率為0.5 ,得9分的概率為0.3 ,得8分、7分 和6分的概率分別0 .1、0.05和0.

6、05,若此射手進行100次射擊，至少可 得95例的概率是多少？設(shè)Xi為射手第i次射擊的得分，則有Xi109876Pi0.50.30.10.050.05100 _2Xi , EXi 9.15, EX2 84.95, DX 1.2275 i 1由中心極限定理得:100P Xi 9501i 1950 915 彳1 100 1.22753.1590.00088、某產(chǎn)品的不合格率為0.005,任取10000件中不合格品不多于70件 的概率為多少？解 依題意，10000件產(chǎn)品中不合格品數(shù)X B 10000,0.005，由np 50 ,n1 p 5,故可用二項分布的正態(tài)近似，所求概率為2.83550.997

7、770 50 P X 70.,501 0.0059、某廠生產(chǎn)的螺絲釘?shù)牟缓细衿仿蕿?.01 ,問一盒中應(yīng)裝多少只螺絲釘才能使盒中含有100只合格品的1率不小于0.95?解 設(shè)n為一盒裝有的螺釘數(shù)，其中合格品數(shù)記為 X B n,0.99 ,該題要求n ,使得下述概率不等式成立。P X 1000.95或 PX 100利用二項分布的正態(tài)近似，可得:0.05100 0.99n0.050.0099n1.645因此，100 0.99n1.645,0.0099n解得，n 103.19這意味著，每盒應(yīng)裝104只螺釘，才能使每盒含有100只合格品的概 率不小于0.95。(B)1、為確定一批產(chǎn)品的次品率要從中抽取

8、多少個產(chǎn)品進行檢查，使其次品出現(xiàn)的頻率與實際次品率相差小于 0.1的概率不小于0.95。解：依題意，可建立如下概率不等式P P P 0.10.95其中P是這實際的次品率，如抽取n個產(chǎn)品則次品的頻率p x1 x2 .xn ,由中心極限定理，P近似服從正態(tài)分布： nN P,P 1 P /n 或P P N 0,P1 P /n0.1. n 1 0.95 從而有0.975,P 1 P 2查表可得：0.17n1.96或而 19.6JP1 P、P 1 P由于P未知，只得放大抽檢量，用1/2代替VPT下，可得：加9.8n 96,可見，需抽查96個產(chǎn)品才能使其次品率與實際次品率相差 0.1 小于的概率不小于0.95。2、假設(shè)批量生產(chǎn)的某產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為60%求在隨機抽取的200件產(chǎn)品中有120到150件優(yōu)質(zhì)品的概率.解 記n 隨機抽取的200件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的的件數(shù)，則n服從二 項分布，參數(shù)為 n=200, p=0.60 ； np 120, np(1 p) 48 .由于 n=200 充分大，故根據(jù)棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理，近似地P 120_n_np_ ,np(1 p)n 120,48 N(0,1);n 150n 120、48150 120.48P 0 Un 4.333、設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為 同分布隨機變量，證明：對任意(4.33)(0) 0.5 .的泊松分布，Xi，