電磁場(chǎng)與電磁波第四版習(xí)題集時(shí)變電磁場(chǎng)

1、1第4章時(shí)變電磁場(chǎng)在時(shí)變的情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互激勵(lì)，在空間形成電磁波，時(shí)變電磁場(chǎng)的能量以電磁 波的形式進(jìn)行傳播。電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程描述了電磁場(chǎng)的波動(dòng)性，本章首先對(duì)電磁場(chǎng)的波動(dòng)方 程進(jìn)行討論。在時(shí)變電磁場(chǎng)的情況卞，也可以引入輔助位函數(shù)來描述電磁場(chǎng)，使一些復(fù)雜問題的分析 求解過程得以簡(jiǎn)化。本章對(duì)時(shí)變電磁場(chǎng)的位函數(shù)及其微分方程進(jìn)行了討論。電磁能量一如其它能量服從能量守恒原理，本章將討論電磁場(chǎng)的能流和表征電磁場(chǎng)能量 守恒關(guān)系的坡印廷定理。本章在最后討論了隨時(shí)間按正弦函數(shù)變化的時(shí)變電磁場(chǎng)，這種時(shí)變電磁場(chǎng)稱為時(shí)諧電磁 場(chǎng)或正弦電磁場(chǎng)。4.1波動(dòng)方程對(duì)式(4.1.2)兩邊取旋度，有Vx(VxE) = -/-

2、(VxH)將式(4.1.1)代入上式，得到Q-pVx(VxE) + “w = 0利用矢量恒等式 VX(VXE) = V(V.E)-V2E 和式(4.1.4),可得到于E-W空=0dt此式即為無源區(qū)域中電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E滿足的波動(dòng)方程。同理可得到無源區(qū)域中磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H滿足的波動(dòng)方程為絲=0dt2無源區(qū)域中的E或H可以通過求解式(4.1.5)或式(4.1.6)的波動(dòng)方程得到。在直角坐標(biāo)系中，波動(dòng)方程可以分解為三個(gè)標(biāo)量方程，每個(gè)方程中只含有一個(gè)場(chǎng)分量。例如，式(4.1.5)可以分解為由麥克斯韋方程可以建立電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程，揭示了時(shí)變電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,的波動(dòng)性。下面建立無源空間中電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程。在無源

3、空間中，電流密度和電荷密度處處為零，即Q = 0、J = 0o在線性、的均勻媒質(zhì)中，E和丹滿足的麥克斯韋方程為QE= dtVxE = -/ dtv./ = o即電磁場(chǎng)各向同性(4.1.2)(4.1.3)(4.1.4)(4.1.5)(4.1.6)2d2Er52EVd2Erd2Ex A+= 0(4.1.7)ErOyovdr9r0遲d2ExFE&E、 cz、+ + “g =0(4.1.8)dr Qr dvdt2&E. d2E少EOE八+ + 一=0(4.1.9)dx2dy2dr dt2在其它坐標(biāo)系中分解得到的三個(gè)標(biāo)量方程都具有復(fù)雜的形式。波動(dòng)方程的解是在空間中沿一個(gè)特定方向傳播的電磁

4、波。研究電磁波的傳播問題都可歸結(jié)為在給定的邊界條件和初始條件卞求波動(dòng)方程的解。當(dāng)然，除最簡(jiǎn)單的情況外，求解波動(dòng) 方程常常是很復(fù)雜的。在靜態(tài)場(chǎng)中引入了標(biāo)量電位來描述電場(chǎng)，引入了矢量磁位和標(biāo)量磁位來描述磁場(chǎng)，使對(duì) 電場(chǎng)和磁場(chǎng)的分析得到很大程度的簡(jiǎn)化。對(duì)于時(shí)變電磁場(chǎng)，也可以引入位函數(shù)來描述，使一 些問題的分析得到簡(jiǎn)化。4.2.1矢量位和標(biāo)量位由于磁場(chǎng)B的散度恒定于零，即V-B = 0,因此可以將磁場(chǎng)B表示為一個(gè)矢量函數(shù)A的 旋度，即B = VxA式中的矢量函數(shù)A稱為電磁場(chǎng)的矢量位，單位是T.mo將式(421)代入方程VxE = 有dtAVx = - (VxA) x(E +討這表明E +百是無旋的，可

5、以用-個(gè)標(biāo)量函數(shù)。的梯度來表示，即(4.2.2)式中的標(biāo)量函數(shù)0稱為電磁場(chǎng)的標(biāo)量位，單位是V。由式(4.2.2 )可將電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E用 矢量位4和標(biāo)量位0表示為4E =-X (p(4.2.3)dt由式(4.2.1)和式(4.2.3)定義的矢量位和標(biāo)量位并不是惟一的，也就是說，對(duì)于同樣 的E和B,除了可用一組A和0來表示外，還存在另外的/V和0,使得B = VxAr和4.2電磁場(chǎng)的位函數(shù)(4.2.1)dt3QA9E = 實(shí)際上，設(shè)0為任意標(biāo)量函數(shù)，令dt4Af= A + Vi/rdll/(4.2.4)I dt則有VxA = VxA + Vx(V/) = VxA = B-W =-(A +Vi/)-

6、V(6?-dtdt由于0為任意標(biāo)量函數(shù)，所以由式(4.2.4)定義的A和0有無窮多組。出現(xiàn)這種現(xiàn)象 的原因在于確定一個(gè)矢量場(chǎng)需要同時(shí)規(guī)定該矢量場(chǎng)的散度和旋度，而式(4.2.1)只規(guī)定了矢 量位A的旋度，沒有規(guī)定矢量位A的散度。因此，通過適當(dāng)?shù)匾?guī)定矢量位4的散度，不僅 可以得到惟一的4和0,而且還可以使問題的求解得以簡(jiǎn)化。在電磁場(chǎng)工程中，通常規(guī)定矢 量位4的散度為V.A =(4.2.5)dt此式稱為洛侖茲條件。4.2.2達(dá)朗貝爾方程C)A在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中，將B = VxA和 = = 代入方程dtW八咕，則有V x V x A = /J - Lie一LIdr利用矢量恒等式VxVxA =

7、 V(V.A)-V2A,可得到口d2AAd(pus-bp彳 一十dr同樣，將 =-V0代入E = p、可得到dte. d1V+ (VA) = -pdte式(4.2.6)和式(4.2.7)是關(guān)于A和0得一組耦合微分方程，可通過適當(dāng)?shù)匾?guī)定矢量位A的 散度來加以簡(jiǎn)化。利用洛侖茲條件(4.2.5),由式(4.2.6)和式(4.2.7)可得到a2AV2A一/.IS- = -/J(4.2.8)driV0 -“二？=p(4.2.9)式(4.2.8)和式(4.2.9)就是在洛侖茲條件下，矢量位A和標(biāo)量位0所滿足的微分方程，稱 為達(dá)朗貝爾方程。由式(4.2.8)和式(4.2.9)可知，采用洛侖茲條件使矢量位4和

8、標(biāo)量位0分離在兩個(gè)獨(dú) 立的方程V(VeA + /5() = pj dt(4.2.6)(4.2.7)5中，且矢量位A僅與電流密度丿有關(guān)，而標(biāo)量位0僅與電荷密度P有關(guān)，這對(duì)方程 的求解是有利的。如果不采用洛侖茲條件，而選擇另外的得到的4和0的方程將不同6于式（4.2.8）和式（4.2.9）,其解也不相同，但最終由A和0求出的E和B是相同的。4.3電磁能量守恒定律電場(chǎng)和磁場(chǎng)都具有能量，在線性、各向同性的媒質(zhì)中，電場(chǎng)能量密度叫與磁場(chǎng)能量密度 能量密度分別為w = EDe2fti 2在時(shí)變電磁場(chǎng)中，電磁場(chǎng)能量密度W等于電場(chǎng)能量密度叭與磁場(chǎng)能量密度叱“之和，即w= w, + vv =-ED + -H*Be

9、 n,2 2當(dāng)場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，空間各點(diǎn)的電磁場(chǎng)能量密度也要隨時(shí)間改變，從而引起電磁能屋流動(dòng)。 為了描述能量的流動(dòng)狀況，引入了能流密度矢量，其方向表示能量的流動(dòng)方向，其犬小表示 單位時(shí)間內(nèi)穿過與能量流動(dòng)方向相垂直的單位面積的能量。能流密度矢量又稱為坡印廷矢 量，用S表示，其單位為W/nr（瓦/米？）o電磁能量一如其它能量服從能量守恒原理。卜 面將討論表征電磁場(chǎng)能量守恒關(guān)系的坡印 廷定理，以及描述電磁能量流動(dòng)的坡印廷矢量的表達(dá)式。坡印廷定理可由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出來。假設(shè)閉合面S包圍的體積V中無外加源，媒質(zhì)是線性和各向同性的，且參數(shù)不隨時(shí)間變化。分別用E點(diǎn)乘方程VxH=J + . H點(diǎn)、dt乘方程

10、冷，得dtH.(VxE) = -H普將以上兩式相減，得到oD dBE（yxH）-H（yxE）= EJ + E-+H石在線性、各向同性的媒質(zhì)中，當(dāng)參數(shù)不隨時(shí)間變化時(shí)H廻=H嘗些=2 （丄HB）dtdt 2 dt dt 2E竺七沁二眈EE）=2gdtdt 2 dt dt 2于是得到R 1E.(VxH)-H.(VxE) = +再利用矢量恒等式一 (xH) = (xH)-x E)可得到(43.1)(43.2)(433)d(pH) 1d 17-(ExH)=纟(*7/ + * 巧+ /(4.3.4)在體積V上，對(duì)式(4.3.4)兩端積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到機(jī)(E xH).dS =(|1 E.D)d

11、V + E.JdV(4.3.5)這就是表征電磁能量守恒關(guān)系的坡印廷定理。在式(4.3.5)中，右端第一項(xiàng)H-B + E-D)dV是在單位時(shí)間內(nèi)體積V中所增加 的電磁場(chǎng)能量；右端第二項(xiàng)E.JdV是在單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)對(duì)體枳V中的電流所作的功，在 導(dǎo)電媒質(zhì)中，VE.J6V =V(JE.EV即為體枳V內(nèi)總的損耗功率。根據(jù)能量守恒關(guān)系， 式(4.3.5)左端的-丸(ExH) dS則是單位時(shí)間內(nèi)通過曲面S進(jìn)入體積V的電磁能量，所以矢量ExH是一個(gè)與垂直通過單位面積的功率相關(guān)的矢量。因此，我們將ExH定義為電磁 能流密度矢量S,即S = ExH這樣，若已知某點(diǎn)的E和H，由式(4.3.6)即可求出該點(diǎn)的能流密度

12、矢量。由式(4.3.6)可知，S既垂直于E也垂直于7/,又由于E和H也是相互垂直的，因此S、E、H三考是相互垂直的, 且成右旋關(guān)系，如圖4.3.1所示。由此可知，任一時(shí)刻、空間 任以點(diǎn)的能流密度矢量的大小為S(/* J) = E(r,t)H (rj)(4.3.7)由于式中的E(rj)和都是瞬時(shí)值，所以能流密度S(/V)也是瞬時(shí)值，只有當(dāng)E(r,0和H(/V)同時(shí)達(dá)到最人值 時(shí)，能流密度S(rj)才達(dá)到最大。若某一時(shí)刻，E(r,t)或H(rj)為零，則能流密度S(r,t)也為零。例4.3.1同軸線地內(nèi)導(dǎo)體半徑為外導(dǎo)體地內(nèi)半徑為b,其間填充均勻的理想介質(zhì)。 設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為，導(dǎo)體中流過的電流為

13、(1)在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況卞，計(jì) 算同軸線中傳輸?shù)墓β剩?2)當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率 b 為有限值時(shí)，計(jì)算通過內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入每 單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率。解：(1)在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況卞，電場(chǎng)和磁場(chǎng)只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想 介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場(chǎng)無切向分量，只有電場(chǎng)的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路 定理，容易求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為E予謚麗(。如H = e (ap0時(shí)，區(qū)域V內(nèi)的電磁場(chǎng)由麥克斯韋方程惟一地確定。下面利用反證法對(duì)惟一性定理給予證明。假設(shè)區(qū)域V內(nèi)的解不是惟一的，那么至少存在 兩組解E】、和E,、滿足同樣的麥克斯韋方程，且具有相同的初始條件和邊界條件。 令E = E-E

14、,、=則f = 0時(shí)，在區(qū)域V內(nèi)，E。和Ho的初始值為零；在r0時(shí)，邊界面S上電場(chǎng)強(qiáng)度E。的 切向分量為零或磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量為零，且E。、滿足麥克斯韋方程Vx/f0=(yE0+ 6-V|時(shí)dU = O由于E和的初始值為零，將上式兩邊在(07)對(duì)r枳分，可得上式中兩項(xiàng)積分的被積函數(shù)均為非負(fù)的，要使得枳分為零，必有E = 0, HQ= 0即E嚴(yán)HL= H2這就證明了惟一性定理。惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件，為電磁場(chǎng)問題的求解提供了理論依 據(jù)，具有非常重要的意義和廣泛的應(yīng)用。4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)在時(shí)電磁場(chǎng)中，如果場(chǎng)源以一定的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧(正弦或余弦)變化，則所產(chǎn)生 電磁場(chǎng)也以同樣的

15、角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧變化。這種以一定角頻率作時(shí)諧變化的電磁場(chǎng)，稱為 時(shí)諧電磁場(chǎng)10或正弦電磁場(chǎng)。在工程上，應(yīng)用最多的就是時(shí)諧電磁場(chǎng)，同時(shí)任意的時(shí)變場(chǎng)在一 定的條件下可通過傅立葉分析方法展開為不同頻率的時(shí)諧場(chǎng)的疊加。因此，研究時(shí)諧電磁場(chǎng) 具有重要意義。4.5.1時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示對(duì)于時(shí)諧電磁場(chǎng)可采用復(fù)數(shù)方法使問題的分析得以簡(jiǎn)化。設(shè)(幾。是一個(gè)以角頻率血隨 時(shí)間呈時(shí)諧變化的標(biāo)量函數(shù)，其瞬時(shí)表示式為= u,”(/*)cosM + 0(/*)(4.5.1)式中,”()為振幅，它僅為空間坐標(biāo)的函數(shù)，血為角頻率，09)是與時(shí)間無關(guān)的初相位。利用復(fù)數(shù)取實(shí)部表示方法，可將式(4.5.1)寫成“(/J) = R

16、eum(r)ejr)ejM = ReM(r)eytw(4.5.2)式中2)=認(rèn))嚴(yán)稱為復(fù)振幅，或稱為的復(fù)數(shù)形式。為了區(qū)別復(fù)數(shù)形式與實(shí)數(shù)形式，這里用打“”的 符號(hào)表示復(fù)數(shù)形式。任意時(shí)諧矢量函數(shù)F(r,r)可分解為三個(gè)分量=每一個(gè)分量都是時(shí)諧標(biāo)量函數(shù)，即坊(幾0 =耳”(Q cos曲 +0 (r)(/ = x, y, z)它們可用復(fù)數(shù)表示為b(/V) = Re”,(刀(/ = ” z)于是F(r,0 =務(wù)耳D + eyFy(r,r) +e：Fz(r,r)=臉匕/(刀咯+務(wù)耳,”(碼咚幺加= ReFm(r)eja,(4.5.3)其中氏之幾”(少處)7的)嚴(yán)+0凡(心心(4.5.4)稱為時(shí)諧矢量函數(shù)F

17、(r,r)的復(fù)矢量。式(4.5.3)是瞬時(shí)矢量F(r,r)與復(fù)矢量的關(guān)系。對(duì)于給定的瞬時(shí)矢量，由式(4.5.3)可寫出與之相應(yīng)的復(fù)矢量；反之，給定一個(gè)復(fù)矢量，由式(4.5.3)可寫出與之相應(yīng)的瞬時(shí)矢 量。必須注意，復(fù)矢量只是一種數(shù)學(xué)表示方式，它只與空間有關(guān)，而時(shí)間無關(guān)。復(fù)矢量并不 是真實(shí)的場(chǎng)矢量，真實(shí)的場(chǎng)矢量是與之相應(yīng)的瞬時(shí)矢量。而且，只有頻率相同的時(shí)諧場(chǎng)之間 才能使用復(fù)矢量的方法進(jìn)行運(yùn)算。例4.5.1將卜列場(chǎng)矢屋的瞬時(shí)值形式寫為復(fù)數(shù)形式將微分算子“ V ”與實(shí)部符號(hào)“ Re ”交換順序，有11E(ZJ) = exExmcos(勁一炫 +0J + eyEyntsm(勁-kz + A )a兀x7

18、txH(x. z.t) = eKHQk() siii() sin(炫-cot) + e./0cos() cos(炫-cot) 7taaE(Z,t) =九cos(勁_(tái)転 +Q) + eyEmcos(曲-kz +札-彳)=+如嚴(yán) 5 號(hào)根據(jù)式(4.5.3),可知電場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)矢量為直NE廣 g 勺=2 九嚴(yán)一叮、.”嚴(yán))嚴(yán)八丿x xiny yin(2)因?yàn)閏os(炫一cot) = cos(期一kz)sin伙込-cot) = cos(fc - cot ) =COS(Q/ _ 慫 + 彳)所以Hm(x9z) =(空)砂/2 *cos(7r aa例4.5.2已知電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量Em(Z)= eJExmcos

19、伙乂)，其中E”和&為實(shí)常數(shù)。寫出 電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量。解：根據(jù)式(4.53),可得電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量E(ZJ) = Re J&,” cos伙:z)“s = ReWHm cos伙= jE.w cos伙二)cos(Qf +彳)4.5.2復(fù)矢量的麥克斯韋方程對(duì)于一般的時(shí)變電磁場(chǎng)，麥克斯韋方程組為V/(1)(2)解:(1)由于VxH=J +dDVxE = -dB由于以上表示式對(duì)于任何時(shí)刻，均成立，故實(shí)部符號(hào)可以消去，于是得到v xH,n(r) = Jm(r) + j(obm(r)(4.5.5)VxEm(r) = -jcoBm(r)(4.5.6)&,) = 0(4.5.7)(4

20、.5.8)這就是時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)矢量所滿足的麥克斯韋方程，也稱為麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式。這里為了突出復(fù)數(shù)形式與實(shí)數(shù)形式的區(qū)別，用打“”符號(hào)表示復(fù)數(shù)形式。由于復(fù)數(shù)形 式的公式與實(shí)數(shù)形式的公式之間存在明顯的區(qū)別，將復(fù)數(shù)形式的“”去掉，并不會(huì)引起混 淆。因此以后用復(fù)數(shù)形式時(shí)不再打“”符號(hào)，并略去下標(biāo)加，故將麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形 式寫成V x H = J + jcoD(4.5.9)V x E = -jcoB(4.5.10)V.B = 0(4.5.11)PD = p(4.5.12)4.5.3復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率實(shí)際的媒質(zhì)都是有損耗的，電導(dǎo)率為有限值的導(dǎo)電媒質(zhì)存在歐姆損耗，電介質(zhì)的極化存 在電極化損耗，磁介質(zhì)

21、的磁化存在磁化損耗。損耗的人小除與媒質(zhì)的材料有關(guān)外，也與場(chǎng)隨 時(shí)間變化的快慢有關(guān)。一些媒質(zhì)在低頻場(chǎng)中損耗可以忽略，而在高頻場(chǎng)中損耗往往就不能忽 略了。在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，對(duì)于介電常數(shù)為、電導(dǎo)率為 b 的導(dǎo)電媒質(zhì)，式(4.5.9)可寫為Vx H = oE + jcosE = jos- j )E = jcos E(4.5.13 )co式中E = E- j(4.5.14)CD由此可見，這類導(dǎo)電媒質(zhì)的歐姆損耗以負(fù)虎數(shù)形式反映在媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系中。因此，稱為 等效復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率。類似地，對(duì)于存在電極化損耗的電介質(zhì)，表征其電極化特性的介電常數(shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)6 = -(4.5.15 )稱為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率。

22、日表征電介質(zhì)中的電極化損耗，是人于零的正數(shù)。在高頻時(shí)諧 場(chǎng)中，和日都是頻率的函數(shù)。當(dāng)媒質(zhì)同時(shí)存在電極化損耗和歐姆損耗時(shí)，其等效復(fù)介電常數(shù)可寫為. = )(4.5.16)(0式(4.5.21)即為時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)矢量E和H在無源空間中所滿足的波動(dòng)方程，通常又13在工程上，通常采用損耗角正切snQ來表征電介質(zhì)的損耗特性，其定義為tan =(4.5.17)對(duì)于導(dǎo)電媒質(zhì)，其損耗角正切為tan = - = (4.5.18) SCD三描述了導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳導(dǎo)電流與位移電流的振幅之比。當(dāng)(通常取SCOcos三 V 丄)時(shí)，媒質(zhì)中傳導(dǎo)電流的振幅遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于位移電流的振幅，因此稱為弱導(dǎo)電媒質(zhì)或CD6 100良絕緣體。而

23、當(dāng)21(通常取100)時(shí)，媒質(zhì)中傳導(dǎo)電流的振幅遠(yuǎn)遠(yuǎn)人于位移電COSCDS流的振幅，因此稱為良導(dǎo)體。應(yīng)當(dāng)注意，同一種媒質(zhì)在低頻時(shí)可能是良導(dǎo)體，而在很高的頻 率時(shí)就可能變得類似于絕緣體了。與電介質(zhì)的情形相似，對(duì)于存在磁化損耗的磁介質(zhì)，表征其磁化特性的磁導(dǎo)率也是一個(gè) 復(fù)數(shù)=“-丿“(4.5.19)稱為復(fù)磁導(dǎo)率。其中，表征磁介質(zhì)中的磁化損耗，是犬于零的正數(shù)。磁介質(zhì)的損耗角正 切定義為tan 3fl=(4.5.20)例4.5.3海水的電導(dǎo)率b = 4S/m、相對(duì)電容率6 = 81。求海水在頻率/ =lkHz和/ = lGHz時(shí)的等效復(fù)電容率 6。解當(dāng)/ =lkHz時(shí)4.5.4亥姆霍茲方程對(duì)于時(shí)諧電磁場(chǎng)，

24、將d/dt jco .州稈,則由式(4.1.5)和式(4丄6)可得到V2H + k2H = 0、(4.5.21)7E + kE = 0式中k = CDyjj(4.5.22)8- J = 81xCO109436_；2xl03=7 16X10T -丿637x107 a丿637x107當(dāng)/ =lGHz時(shí)F/m= 7.16xlO-10-y6.37xlO-10F/m 472X109稱為亥姆霍茲方程。如果媒質(zhì)是有損耗的，即介電常數(shù)或磁導(dǎo)率為復(fù)數(shù)，則k也相應(yīng)地變?yōu)閺?fù)數(shù)人。對(duì)于電 導(dǎo)率bHO 的導(dǎo)電媒質(zhì)，用式(4.5.14)中的等效復(fù)介電常數(shù)耳代替式(4.5.22)中的 G 得 到kc=(4.5.23)波動(dòng)方

25、程(4.5.21)形式不變，只是將k替換為心。4.5.5時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù)對(duì)于時(shí)諧電磁場(chǎng)的情形，矢量位和標(biāo)量位都可改用復(fù)數(shù)，即H=丄VxAE = -ja)A-V(p洛侖茲條件變?yōu)閂A = - jcopscp達(dá)朗貝爾方程變?yōu)閂2A + 2A = -/JV2(p+k2(p = - p其中R2 = CCF/.IS。由洛侖茲條件(4.5.25),可將標(biāo)量位0表示為0=-一冋代入式(4.5.24),則可得到H丄VxAV “D. VVeA VVeAE = jcoA j-= ja)(AH)copsIc4.5.6平均能量密度和平均能流密度矢量前面討論的坡印廷矢量是瞬時(shí)值矢量，表示瞬時(shí)能流密度。在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，一個(gè)

26、周期 內(nèi)的平均能流密度矢量S“(即平均坡印廷矢量)更有意義。式(4.3.6)的平均值為 必冷出驚帥(4.5.29)T =第一章式中 血為時(shí)諧電磁場(chǎng)的時(shí)間周期。S“也可以直接由場(chǎng)矢量的復(fù)數(shù)形式來計(jì)算。對(duì)于時(shí)諧電磁場(chǎng)，坡印廷矢量可寫為S = ExH = ReEejM x ReHejcM=-EejM+ (EejM門x丄Hejat+ He,M)* 2(4.5.24)(4.5.25)(4.5.26)(4.5.27)(4.5.28)15= -ExHejt+ EtxHte + -ExH + ExHic44= -ExHej2M+(ExHej2y + -(ExHtiy + ExHt44= -ReEx H嚴(yán)+ 丄

27、ReE x ZT 2 2由麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)形式的坡印廷定理。設(shè)介質(zhì)的介電常數(shù) 6 和 磁導(dǎo)率兒都是復(fù)數(shù)。由恒等式V.(ExH*) = H*.VxE-E.VxH*和VxE = -jcop(H , gH* = CE*-j成E*得V.(E xH*) = -jcoH+ jcos*E _bE&即丄(ExH*) = ja)- ja)-E.E* + - aE.E2將上式對(duì)體枳V積分，并應(yīng)用散度定理將左邊體積分變?yōu)槊骅追?，得機(jī)扌(E X M) dS = jcov(i-1eE)dV + i o-EdV由于=J“)H/T=*/H T + j訥fHH*-j | eosE = -j |+

28、j )EE* =曰EE - j片血EE*于是得到札 *(E x H*) dS = (* co/H.H* +13WEE* + # crE E*)dV+(扌pH=(% + % + PjaV+ 丿2訓(xùn),( -)du (4.5.33)式中1仏Pcax=E.E/如=討羅分別是單位體積內(nèi)的磁損乙厶乙耗、介電損耗和焦耳熱損耗的平均值。式（4.5.33）即為復(fù)數(shù)形式的坡印廷定理，其右端的兩 項(xiàng)分代入式(4.5.29),可得到s, =雋ReF X H嚴(yán)+ *ReE X礦d/ = iReEx/*其中“ * ”表示取共轆復(fù)數(shù)。類似地，可以得到電場(chǎng)能量密度和磁場(chǎng)能量密度的時(shí)間平均值分別為1W =如7 Jo27wdt

29、= - Re(&E E J = - sE.E44= y J：心擊=扌Re(“,H H J =扌pH .H ”(4.5.30)(4.5.31)(4.5.32)16別表示體枳V內(nèi)的有功功率和無功功率。式（4.5.33）左端的面積分是穿過閉合面S的復(fù) 功率，其實(shí)部為有功功率，即功率的時(shí)間平均值，被積函數(shù)的實(shí)部即為平均能流密度矢量S”。例4 5.4在無源（Q = 0、J = 0）的自由空間中，已知電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量E = eyEQejkzV/m式中R和仇為常數(shù)。求：（1）磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量HQ）；瞬時(shí)坡印廷矢量S；平均坡印 廷矢量S“。解：（1）由VxE = -jcopQH,得H= -VxE

30、= -e.xeyEQe-jk:=-exe-jk:（2）電場(chǎng)、磁場(chǎng)的瞬時(shí)值為E（和）=RuE 幺加=eyEQcos（必-慫）H（z,t）= ReH（z）ejat = -ev邑cos（効-kz）所以，瞬時(shí)坡印廷矢量S為kES = ExH = evEQcos（曲一Rz）x-g cos（曲_怎）=e. - cos（曲-kz）卯。（3）由式（4.5.30）,可得平均坡印廷矢量S“ = LReeYEoe x（弋.覽戶丁 =lRee.垃=匕 竺2%。2叩；、2叭或由式（4.5.29）計(jì)算S“ = - cos2（曲-fa）d/ = e.也思考題4.1在時(shí)變電磁場(chǎng)中是如何引入動(dòng)態(tài)位A和0的？A和0不惟一的原因何

31、在？4.2什么是洛侖茲條件？為何要引入洛侖茲條件？在洛侖茲條件下，A和0滿足什么方 程？4.3坡印廷矢量是如何定義的？它的物理意義是什么？4.4什么是坡印廷定理，它的物理意義是什么？4.5什么是時(shí)變電磁場(chǎng)的惟一性定理？它有何重要意義？4.6什么是時(shí)諧電磁場(chǎng)？研究時(shí)諧電磁場(chǎng)有何意義？174.7時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)矢量是如何定義的？它與瞬時(shí)場(chǎng)矢量之間是什么關(guān)系？4.8時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)矢量是真實(shí)的場(chǎng)矢量嗎？引入復(fù)矢量的意義何在？4.9時(shí)諧場(chǎng)的平均坡印廷矢量是如何定義的？如何由復(fù)矢量計(jì)算平均坡印廷矢量？4.10時(shí)諧場(chǎng)的瞬時(shí)坡印廷矢量與平均坡印廷矢量有何關(guān)系？是否有Sg) = ReS嚴(yán)?4.11試寫出復(fù)數(shù)形式的

32、麥克斯韋方程組。它與瞬時(shí)形式的麥克斯韋方程組有何區(qū)別？4.12復(fù)介電常數(shù)的虛部描述了介質(zhì)的什么特性？如果不用復(fù)介電常數(shù)， 如何表示介質(zhì)的 損耗？4.13如何解釋復(fù)數(shù)形式的坡印廷定理中各項(xiàng)的物理意義？E。為常數(shù)。(3) E = eyEQcos(dX + Z)c4.2在無損耗的線性、各向同性媒質(zhì)中，電場(chǎng)強(qiáng)度E(Q的波動(dòng)方程為E(r) + ar psEr) = 0已知矢量函數(shù)E(r) = E0E ,其中和*是常矢量。試證明E(Q滿足波動(dòng)方程的條件是k2= GT fie,這里k = ko4.3已知無源的空氣中的磁場(chǎng)強(qiáng)度為H=匕0.1sin(10龍X)COS(6TTX109/-&Z)A/m利用波

33、動(dòng)方程求常數(shù)k的值。4.4證明：矢量函數(shù)E = exEQcos(a)t-x)滿足真空中的無源波動(dòng)方程c1Q-p=但不滿足麥克斯韋方程。l dr4.5證明：在有電荷密度。和電流密度丿的均勻無損耗媒質(zhì)中，電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁場(chǎng)強(qiáng)度H的波動(dòng)方程為：V2E-ps= / + V() ,=dr dt dr4.6在應(yīng)用電磁位時(shí)，如果不采用洛侖茲條件，而采用庫侖條件V.A=0,導(dǎo)出A和0所滿足的微分方程。4.7證明在無源空間(Q = 0, J = 0)中，可以引入矢量位A徂和標(biāo)量位厲定義為4.1證明以卜矢量函數(shù)滿足真空中的無源波動(dòng)方程1 d2E(1) E = exEQcos(dX z)；(2) E = erEosin(z)cos(dX)； c18n = -vxA/Kdt19.2冗co式中h = J=； C為真空中的光速，兄0是波長(zhǎng)。求：瞬時(shí)坡印廷矢量；(2)以上各點(diǎn)處的平均坡印廷矢量。在橫截面為axb的矩形金屬波導(dǎo)中，電磁場(chǎng)的復(fù)矢量為E = -ejcopH. siii(V/mna?H = eJP H. siii() +cos(