小波圖像壓縮方法的研究

1、小波圖像壓縮方法的研究（工程技術(shù)學(xué)院 光子信息工程系 電子科學(xué)與技術(shù) 張曉牧）（學(xué)號(hào)：2000301054）內(nèi)容提要：短時(shí)傅立葉變換作為傅立葉變換的一個(gè)重要發(fā)展，它能夠通過外加窗口展示局部信號(hào)，這對(duì)信號(hào)處理和圖象壓縮有著重要意義。以短時(shí)傅立葉變換為引導(dǎo)，介紹小波變換的基本原理，及其在圖像壓縮中的應(yīng)用。闡述小波圖壓像縮編碼的基本原理，進(jìn)行簡單的數(shù)值模擬計(jì)算，使用MATLAB 軟件進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)。關(guān) 鍵 詞：小波變換 圖像壓縮 圖像編碼教師點(diǎn)評(píng)：本文研究小波變換用于圖像壓縮，從理論到實(shí)現(xiàn)都有難度。論文論述清晰、分析透徹、文理通順，較好地達(dá)到了畢業(yè)設(shè)計(jì)的目的和要求，給予優(yōu)秀成績。（點(diǎn)評(píng)教師：曹建章，副

2、教授）1 引 言自1882年傅立葉發(fā)表熱傳導(dǎo)解析理論一文以來，傅立葉變換作為信號(hào)處理領(lǐng)域中最完美、效果最好的一種分析手段得到了最廣泛的應(yīng)用。但是傅立葉變換只是一種純頻域的分析方法，它在頻域的定位性是完全準(zhǔn)確的，具有最高的頻域分辨率，而在時(shí)域卻無任何定位性。傅立葉變換所反映的是整個(gè)信號(hào)全部時(shí)間下的整體頻域特征，而不能提供任何局部時(shí)間段上的頻域信息。而與此相反當(dāng)一個(gè)函數(shù)用脈沖函數(shù)展開時(shí)，它在時(shí)間域的定位性是完全準(zhǔn)確的，而在頻域卻無任何定位性，就是說脈沖函數(shù)分析所反映的只是信號(hào)在全部頻率上的整體時(shí)域特征，而不能夠提供任何頻率段所對(duì)應(yīng)的時(shí)間信息。對(duì)于時(shí)變信號(hào)進(jìn)行分析，通常需要提取某一時(shí)段的頻域信息或某

3、一頻段所對(duì)應(yīng)的時(shí)間信息，此時(shí)傅立葉變化就不再適用了。傅立葉變換在壓縮和分析包含瞬態(tài)或局部化成分的信號(hào)與圖像時(shí)得不到最佳表示。 1946年Gabor 提出了加窗傅立葉變換，其基本思想為：取時(shí)間函數(shù)作為窗口函數(shù)，用g( t - 與分析函數(shù)f(t相乘，然后再作傅立葉變換。(21/4/2t g t e = (1在Gabor 變換的基礎(chǔ)上為了適應(yīng)不同具體問題的需要，人們還構(gòu)造了多種形式的窗口函數(shù)。這一類的加窗傅立葉變換統(tǒng)稱為短時(shí)傅立葉變換（Short Time Fourier Transform,簡稱STFT ）。STFT 變換雖然可以描述任一局部時(shí)間段上的頻率信息，但是由于其時(shí)頻窗口Vt與Vw 不隨頻

4、率和的變化而變化，則對(duì)于一個(gè)時(shí)變的非穩(wěn)態(tài)信號(hào)就很難找到一個(gè)“好的”時(shí)間窗口來同時(shí)適合不同的時(shí)間段，人們用一組連續(xù)變化的伸縮平移基, ( a t 來代替STFT中的窗口函數(shù), ( ( jwt g t g t e =，使它的時(shí)頻域窗口均隨頻率的變化而變化，以實(shí)現(xiàn)對(duì)低頻分量采用大時(shí)窗，對(duì)高頻分量采用小時(shí)窗的符合自然規(guī)律的分析方法。這種基函數(shù)在頻率和位置上同時(shí)變化著的具有有限寬度的波被稱為小波，基于它們的變換被稱為小波變換。 2 小波變換的基本原理小波即為小區(qū)域的波，它的寬度為有限值。小波函數(shù)的確切定義為：設(shè)( t 為一平方可積函數(shù)，也即2( ( t L R ，若其傅立葉變換( 滿足條件：2( R d

5、 < (5則稱 ( t 為一個(gè)基本小波或小波母函數(shù)。式(5稱為小波的可容許性條件。1） 連續(xù)小波變換將小波母函數(shù)( t 進(jìn)行伸縮與平移，設(shè)其尺度因子為a ，平移因子為，令其變換后的函數(shù)為, ( a t 則有：2, ( ( a t t a a= a >0, R (6 稱, ( a t 為依賴參數(shù)a ，的小波基函數(shù)，由于尺度因子a ，平移因子是取連續(xù)變化的值，因此稱, ( a t 為連續(xù)小波基函數(shù)，它們?yōu)橛赏荒负瘮?shù)經(jīng)伸縮平移后得到的一組函數(shù)系。函數(shù)f(t以小波( t 為基的連續(xù)小波變換即為： , , (, (, ( ( ( f a a WT a f t t f t t dt dt =

6、 （7） 由連續(xù)小波的再生核方程可知，任意一個(gè)隨機(jī)信號(hào)，其連續(xù)小波變換系數(shù)在小波變換相平面上都具有一定的相關(guān)關(guān)系，相關(guān)區(qū)域大小由再生核方程給出，且隨著尺度的減小，其相關(guān)區(qū)域減小。任意函數(shù)的小波變換系數(shù)在a 域都必須滿足再生核方程。2） 離散小波變換 將小波基函數(shù)2, ( (a t t a a=的a ，限制在一些離散點(diǎn)上取值， 一種最常用的離散方法就是將尺度函數(shù)按冪級(jí)數(shù)進(jìn)行離散化，即取0m m a a =(m 為整數(shù)，0a 1 。當(dāng)a =02=1時(shí)，, ( ( a t t =。任意函數(shù)( f t 的離散小波變換為：dt t n m t f n m WT Rf (, ( , ( (10離散小波變換

7、和連續(xù)不同，在尺度位移相平面上，它對(duì)應(yīng)的是一些離散的點(diǎn)，因此稱之為離散小波變換。一個(gè)合理的離散小波變換，必須對(duì)所有的2( f L R 滿足以下條件：222, , , m nm n A f f B f , A B R + (11 滿足式(11的離散函數(shù)序列, ; , m n m n Z 在數(shù)學(xué)上稱為“框架”。 離散小波變換實(shí)際上仍然是一系列帶通濾波器，只是帶通濾波器的中心頻率與帶寬由于a 的離散采樣而成為一系列的離散值。從其再生核方程看來離散小波也具有冗余性，由于離散小波框架, (j k t 存在冗余性，所以離散小波變換是冗余采樣，但當(dāng)框架A=B=1時(shí), (j k t 就成了2( L R 中的正

8、交基。這時(shí)信號(hào)( f t 的離散小波變換相當(dāng)于正交分解，稱為正交離散小波變化，它是無冗余性的。3 小波變換在圖像壓縮中的應(yīng)用圖像是一種二維連續(xù)函數(shù)，即它的亮度點(diǎn)是其位置的連續(xù)函數(shù)，在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，首先要在空間與亮度上對(duì)圖像進(jìn)行數(shù)字化, 此過程稱之為采樣，而亮度上的數(shù)字化是將所得到的圖像亮度離散為整數(shù)值，此過程稱為量化。基于小波變換的圖像壓縮方法的核心問題，其一是如何對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行量化，其二是如何對(duì)量化結(jié)果進(jìn)行編碼，而無論何種編碼方法，都必須明顯的或隱含的表示出小波系數(shù)的位置信息（稱Map Information）和符號(hào)、幅值信息（稱Data Information）, 事實(shí)上。只要這兩

9、者一旦確定，小波系數(shù)矩陣就確定了。圖像壓縮包括編碼和解碼兩個(gè)過程，圖像分解也就是圖像變換，其目的就是將相關(guān)性強(qiáng)的圖像數(shù)據(jù)變換成相關(guān)性弱的數(shù)據(jù)，即變換后數(shù)據(jù)的能量盡可能的集中在少許系數(shù)上，圖像變換一般是線性變換，如小波變換等，其逆變換一定存在，圖像重構(gòu)小波編碼使用的是嚴(yán)格的完全重構(gòu)濾波器，并且符合正則性條件。小波編碼的基本思想為：將原始圖像經(jīng)二維小波變換后轉(zhuǎn)換成小波域上的小波系數(shù)，然后對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行量化編碼。離散小波變換在圖像壓縮領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，其方法理論的迅速發(fā)展，主要依賴三大技術(shù)：（1）濾波器族理論。（2）分辨率或多尺度分析理論。（3）子帶編碼技術(shù)。多分辨率分析又稱為多尺度分析, 是建立在函

10、數(shù)空間概念上的理論，該理論不僅為正交小波基的構(gòu)造提供了一種簡單的方法，而且為正交小波變換的快速算法提供了理論依據(jù)，其思想又同多采樣濾波器族相吻合，使我們可以將小波變換同數(shù)字濾波器的理論結(jié)合起來。對(duì)于函數(shù)2( f t L ，可以看作某一逐級(jí)逼近的極限，每級(jí)都是用某一個(gè)低通濾波函數(shù)( t 為( f t 作平滑的結(jié)果，同時(shí)逐級(jí)逼近的低通濾波函數(shù)( t 也作逐漸伸縮，也既是說用不同的分辨率或不同的尺度來逐級(jí)逼近( f t ，這就是多分辨率或多尺度分析的基本思想。子帶編碼的基本思想是，將原始信號(hào)通過一組濾波，其濾波后并抽取成若干個(gè)包含有限頻帶寬度的子帶，然后對(duì)每一個(gè)子帶根據(jù)其不同的頻率分布特性采取不同的

11、編碼方案。在子帶編碼中，為了減小相位偏差和量化的影響，我們希望使用的是線性相位濾波器。抽取、濾波和插值是構(gòu)成子帶變換的三個(gè)基本要素。圖像的子帶分解與塔式算法：對(duì)于二維信號(hào)，正交鏡像濾波器可設(shè)計(jì)為可分離的，所以我們可以直接在兩個(gè)方向上分別進(jìn)行一維濾波，這是圖像的子帶編碼中常用的方法。如果在第一個(gè)方向上的濾波完成后立即進(jìn)行亞采樣，則可減少另一個(gè)方向上的濾波所需要的計(jì)算量。在此基礎(chǔ)上Burt 和Adelson 曾引入了一個(gè)基本高斯函數(shù)的金字塔編碼策略。首先對(duì)圖像高斯脈沖響應(yīng)作低通濾波，濾波后的結(jié)果從原圖像減去。圖像的高頻細(xì)節(jié)保留在差值圖像里，然后對(duì)低通濾波后的圖像行間隔采樣，細(xì)節(jié)也就不會(huì)因此而丟失。

12、1989年Mallat 提出了多分辨率分析的概念，在泛函分析的框架下，統(tǒng)一了在此之前的各種具體小波構(gòu)造方法。給出了構(gòu)造正交小波基的一般方法和對(duì)應(yīng)于FFT 的快速小波算法。并將其用于圖像分解和重建，這是小波變換理論和應(yīng)用的一個(gè)突破性進(jìn)展。該算法中，主要是重復(fù)采用子帶分解方法，從下往上建立小波變換，即先計(jì)算小尺度系數(shù)，再計(jì)算大尺度系數(shù)。N 點(diǎn)的信號(hào)序列經(jīng)第一級(jí)子帶分解和亞取樣后，輸出N/2點(diǎn)的低子帶信號(hào)作為下一級(jí)的輸入繼續(xù)進(jìn)行子帶分解，而另一個(gè)N/2點(diǎn)的高子帶信號(hào)則留作最終的小尺度系數(shù)。可以一直如此下去，直至得到只有一個(gè)點(diǎn)的低子帶信號(hào)，變換系數(shù)就是該點(diǎn)信號(hào)和各個(gè)高子帶信號(hào)的全部。4 實(shí)驗(yàn)和分析：M

13、ATLAB 軟件是由美國Mathworks 公司推出的用于數(shù)值計(jì)算和圖形處理的科學(xué)計(jì)算系統(tǒng)環(huán)境。MATLAB 是英文MATrix LABoratory(短陣實(shí)驗(yàn)室 的縮寫。它的第1版(DoS版本1.0 發(fā)行于1984年，經(jīng)過10余年的不斷改進(jìn)，現(xiàn)今已推出它的6.5版。新的版本集中了日常數(shù)學(xué)處理中的各種功能，包括高效的數(shù)值計(jì)算、矩陣運(yùn)算、信號(hào)處理和圖形生成等功能。在MATLAB 環(huán)境下，用戶可以集成地進(jìn)行程序設(shè)計(jì)、數(shù)值計(jì)算、圖形繪制、輸入輸出、文件管理等各項(xiàng)操作。下面就通過調(diào)用matlab 的小波工具箱中的wdencmp 函數(shù)，對(duì)一圖像進(jìn)行壓縮變換。 通過以上實(shí)驗(yàn)，我們可知，應(yīng)用小波變換進(jìn)行圖像

14、壓縮時(shí)，在理論上可以獲得任意壓縮比的圖像，且實(shí)現(xiàn)起來也較為簡單。小波變換在圖像壓縮方面顯示出了他們的特性：即為圖像從空間域變換到時(shí)間域變換提供了一種非常有效的方法，其作用與專門用于圖像壓縮的離散余弦變換，傅立葉變換等類似。5 結(jié)束語小波變換作為信號(hào)處理的一種手段，在許多應(yīng)用中取得了顯著的效果，它同傳統(tǒng)的處理方法相比，有了質(zhì)的飛躍。小波技術(shù)做一種調(diào)和分析方法，具有十分巨大的生命力和廣闊的應(yīng)用前景。小波變換作為一種數(shù)學(xué)理論和方法在科學(xué)技術(shù)界引起了越來越多的關(guān)注和重視?？梢灶A(yù)見在今后，它將成為科技工作者手中一個(gè)銳利的數(shù)學(xué)工具，會(huì)極大的促進(jìn)科技工程應(yīng)用的各個(gè)領(lǐng)域的新發(fā)展。參考文獻(xiàn)：1秦前清, 楊宗凱，

15、實(shí)用小波分析，西安電子科技大學(xué)出版社, 1994。 2李世雄，小波變換及其應(yīng)用， 高等教育出版社, 1997。 3彭玉華，小波變換與工程應(yīng)用， 科學(xué)出版社, 1999。 4李建平, 唐遠(yuǎn)炎，小波分析方法的應(yīng)用， 重慶大學(xué)出版社, 1999。 5劉貴忠, 邸雙亮，小波分析及其應(yīng)用，西安電子科技大學(xué)出版社, 1992。 6鄭宏興等，MATLAB 5.x工具箱使用技巧與實(shí)例，華中科技大學(xué)出版社, 2001。 7鄭治真等，小波變換及其MATLAB 工具的應(yīng)用，地震出版社, 2001。 8徐長發(fā), 李國寬，實(shí)用小波方法，華中理工大學(xué)出版社, 2001。 9 陳武凡，小波分析及其在圖像處理中的應(yīng)用，科學(xué)出

16、版社, 2002。10 飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心，MATLAB 6.5輔助小波分析與應(yīng)用， 電子工業(yè)出版社, 2003。11 王立濤，丁勇，基于小波變換的圖像處理技術(shù)，遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào) ，2000，20（3）：344347。12 何業(yè)軍，陳永泰， 數(shù)據(jù)編碼與壓縮技術(shù)，電信快報(bào) 2001，6 ：3740。13 孫海威，談新權(quán)，基于離散小波分形的圖像壓縮編碼，華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，29（2）：3132。14 王 玲，宋國鄉(xiāng)，多小波的預(yù)處理及其在圖像壓縮中的應(yīng)用，電子學(xué)報(bào)，2001，29（10）：14181420。15 陳善學(xué)，一種基于小波變換的圖象壓縮方法，重慶郵電學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，13（3）：46-4816 馬社祥，劉貴忠，尚趙偉，基于小波變換的圖像可視頻壓縮編碼，工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2001，18（5）（小波?？?7-30 。17 唐良瑞， 小波圖象編碼技術(shù)的研究，北方工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，13（3）：917。18 李春華，張雨生，戚銀城，王彥駿，小波變換在圖像壓縮研究中的現(xiàn)狀和趨勢(shì)，華北電力大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，28（2）：8791。19 W