2018-2019學(xué)年安徽省安慶一中高一第二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2018-2019學(xué)年安徽省安慶一中高一第二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1.不等式3x2 7x 6至0的解集為（）A|-3,_ B （00, 3 ，-,1C ,3 1 3 J13J1 3 J2D . I -, R3,依）3【答案】D【解析】運(yùn)用一元二次不等式的解法來求解，可以先因式分解，結(jié)合圖像來求解集.【詳解】不等式3x2 _7x _6之0可以因式分解為（x3）（3x+2）之0 ,又因?yàn)槠鋱D像拋物線開口向上，要求大于或等于零的解集，則取兩根開外，故不等式的解集為2I -00, - L 13,收）,故選 D3【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法，較為簡(jiǎn)單2 .空間中可以確定一個(gè)平面的條件是

2、（）A .三個(gè)點(diǎn)B.四個(gè)點(diǎn)C.三角形D.四邊形【答案】C【解析】根據(jù)公理 2即可得出答案?！驹斀狻吭贏中，不共線的三個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面，共線的三個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；在B中，不共線的四個(gè)點(diǎn)最多能確定四個(gè)平面，故 B錯(cuò)誤；在C中，由于三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不共線，因此三角形能確定一個(gè)平面，故 C正確；在D中，四邊形有空間四邊形和平面四邊形，空間四邊形不能確定一個(gè)平面，故D錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】本題對(duì)公理2進(jìn)行了考查，確定一個(gè)平面關(guān)鍵是對(duì)過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有 一個(gè)平面的理解。3 .若直線li ：ax+2y 4=0與l2：x+(a+1)y+2 = 0平行，則實(shí)數(shù)a的值為()2A . a =

3、-2 或 a =1B . a =1C. a = -2D . a =3【答案】B【解析】利用直線與直線平行的性質(zhì)求解.【詳解】直線 11 : ax+2y 4 = 0與 12 : x+(a +1)y+ 2 =0平行，解得a=1或a= - 2.當(dāng)a= - 2時(shí)，兩直線重合, a= 1 .故選：B.本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意兩直線的位置關(guān)系的合理 運(yùn)用.4.設(shè)AABC的內(nèi)角A, B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c ,若a =3,b = J3,A =則B =( )A.二或旦B.二C.旦D及66663【答案】B【解析】根據(jù)正弦定理求解即可得到所求結(jié)果.【詳解】a b由正弦定理得 一

4、a=一b, sinA sinBsinB =bsinA又 b 0, b0,若3是3a與3b的等比中項(xiàng)，則1 4十一的最小值為（）a bA. 2720.3*291 4十的a bC- 2【解析】由3是3a與3b的等比中項(xiàng)，可得 a+b = 2,再利用不等式知識(shí)可得最小值.【詳解】解：3是3a與3b的等比中項(xiàng)，,3a 3b = 32,二 a +b=2,14 11一.二 一a b 2 a41b4a19+ |(a+b)=.5+| 一(5+2V4)=-b2ab22故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，及均值不等式求最值的運(yùn)用，考查了計(jì)算變通能力6.已知l,m,n為三條不同直線， u,為三個(gè)不同平面

5、，則下列判斷正確的是（）A.若 anP=m, 口口=門，l_Lm, l_Ln,則 l_Lc（B.若 mLJa , nl_l ,則 m nC.若汽。0=1, mU , ml。，則 milD.若m_Lof, nl_B, g_lP,則 m_Ln【答案】C【解析】根據(jù)線線位置關(guān)系，線面位置關(guān)系，以及面面位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng) 口 1_ 時(shí)，由。n P = m ,。n?= n可彳# m l_ n ,此時(shí)由| _L m , l _L n可得l u支或l 或l與a相交；所以A錯(cuò)誤；第3頁(yè)共18頁(yè)B選項(xiàng)，若mJ , n|J，則m|_n,或m，n相交，或m, n異面；所以b錯(cuò)誤;C

6、選項(xiàng)，若=l , mU , mU P ,根據(jù)線面平行的性質(zhì)，可得 mLJl ,所以C正 確；D 選項(xiàng)，若m_La, _lP,則 m二 P 或mUP,又 nUP,則 mLln,或 m, n 相交， 或m,n異面；所以D錯(cuò)誤； 故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查線面，面面有關(guān)命題的判定，熟記空間中點(diǎn)線面位置關(guān)系即可，屬于?？碱}型.7 .已知點(diǎn)P與點(diǎn)Q（1,-2 ）關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A. （3,0）【答案】AB (一3,2)C. (-3,0)D. (-1,2 )【解析】根據(jù)題意，設(shè)P的坐標(biāo)為（a, b）,分析可得U=1a-1u .一二122,解可得a、b【點(diǎn)睛】第5頁(yè)共18頁(yè)的值

7、，即可得答案.a 1 b - 2設(shè)P的坐標(biāo)為（a, b）,則PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，）,22若點(diǎn)P與Q （1, - 2）關(guān)于x+y-1 = 0對(duì)稱，則有U=1 a-1;匕二1,22解可得：a =3, b = 0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,0）；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的方法,涉及直線與直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.8 .己知等差數(shù)列an的公差為-1,前n項(xiàng)和為Sn,若a3,a5,a7為某三角形的三邊長(zhǎng),且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為 1201則Sn的最大值為（）A. 25B. 40C. 50D. 45【答案】D【解析】利用已知條件，結(jié)合余弦定理，轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的和，然后求解Sn的最

8、大值.【詳解】等差數(shù)列烝的公差為1, a3,a5,a7為某三角形的三邊長(zhǎng)，且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為120,222可付：a? =a5 4a7 +a5a7)得 0 4）（a 一9） =0 ,所以 a1 =4 （舍）或 a1 = 9 ,2Sn =9n nn（_i）=zn_9n 22所以n=9或n=10時(shí), 故Sn的最大值為4 = 0=45.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.9 .某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(C.13二D.3【解析】先由三視圖確定幾何體形狀，再由簡(jiǎn)單幾何體的體積公式計(jì)算即可【詳解】由三視圖

9、可知，該幾何體由半個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱體拼接而成，所以該幾何體的體積O 1O 1 13二V =冗父12父2+一冗父12父1父一=.故選C326只需先由三視圖確定幾何體本題主要考查由幾何體的三視圖求簡(jiǎn)單組合體的體積問題, 的形狀，再根據(jù)體積公式即可求解，屬于?？碱}型 .10 .如圖，在長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1中，AB = AD = J3, AA =1,而對(duì)角線AB上存在一點(diǎn)P,使得AP|+|DiP取得最小值，則此最小值為（）If第9頁(yè)共18頁(yè)A.用B. 3C. 1+T3D. 2【答案】A 【解析】把面 AAiB繞AB旋轉(zhuǎn)至面BAiM使其與對(duì)角面 ABCDi在同一平面上，連接MDi并求出，就是

10、最小值.【詳解】 把面AAiB繞AB旋轉(zhuǎn)至面BAiM使其與對(duì)角面AiBCDi在同一平面上，連接MDi. MDi就是|AP|十| DiP|的最小值,3 一0V |AB|=| AD | = 2),又 a1 =1 , an=an- anian-an_2. a2-a1. &n n 112 o 11=n 十(n 1 )十(n -2 )+.+2 +1 =.則=1-77、= 2 - -2ann n1 nn -1：111 1 ” 1 1 1111彳+.|21.1211:aa2a2018 _2 2 32018 2019力2019【點(diǎn)睛】 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查數(shù)列求和，考查新定義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知

11、識(shí) 的理解掌握水平和分析推理能力12 .已知正方體ABCD A1B1C1D1的體積為1,點(diǎn)M在線段BC上（點(diǎn)M異于B、C兩點(diǎn)），點(diǎn)N為線段CC1的中點(diǎn)，若平面AMN截正方體ABCD ABC1D1所得的截1A- i0,2j面為五邊形，則線段 BM的取值范圍是（B 11c.B . 1 ，1 121【解析】當(dāng)點(diǎn) M為線段BC的中點(diǎn)時(shí)，回出截面為四邊形，當(dāng) BM 一時(shí)，畫出截面 2為五邊形，結(jié)合選項(xiàng)可得結(jié)論【詳解】;正方體ABCD A1B1c1D1的體積為1,所以正方體的棱長(zhǎng)為 1,點(diǎn)M在線段BC上（點(diǎn)M異于B,C兩點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)時(shí)，MN /AD1A,M , N,Di共面，截面為四邊形

12、AMND i ,如圖,B1即BM =-，不合題意，排除選項(xiàng) A,C,D；21當(dāng)BM A 時(shí)，截面為五邊形，如圖，符合題意, 2即平面AMN截正方體ABCD - AB1C1D1所得的截面為五邊形，1線段BM的取值范圍為.一,1 .2故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的性質(zhì)、截面的畫法，考查作圖能力與空間想象能力，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練掌握與靈活應(yīng)用，屬于難題.二、填空題y-2013 .已知實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組x-y-1 0 ,則的取值范圍為 Ixx y -3 - 0【答案】1,2 一2【解析】作出可行域，y表示（x,y ）與（0, 0）連線的斜率，結(jié)合圖形求出斜率的最小 x值，最大值即可求解

13、.y-2 0如圖，不等式組x-y -1, 0表示的平面區(qū)域 ABC （包括邊界），所以且表示（x,y）x y - 3 0x與（0,0）連線的斜率，因?yàn)?A（1,2 ）, B（2,1）,所以 koA=2, koB =1,故/ w .1,2 L2 x _2【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，涉及斜率的幾何意義，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.14 .如圖， ABC是直角三角形，/ABC = 90, PAL平面ABC ,則此圖形中有 個(gè)直角三角形.【答案】4【解析】推導(dǎo)出 AB 1 BC , PAI BC ,從而BC _L平面PAB ,由此能求出圖中直角 三角形的個(gè)數(shù).【詳解】|_ABC是直角三角

14、形，/ABC =90、PA_L平面ABC,AB -L BC , PA -L BC ,ABC pa = A, ，BC_L 平面 PAB,，圖中直角三角形有|_ABC （/ABC是直角），|_PAC （/PAC是直角），PAB （/PAB 是直角），|_PBC （/PBC是直角），圖中直角三角形有 4個(gè)，故答案為4.【點(diǎn)睛】 本題考查幾何體中直角三角形的個(gè)數(shù)的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān) 系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.abc15 .在 ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c , BC邊

15、上的圖為一，則一 十22c 2b的最大值是.【答案】,2【解析】利用三角形面積公式可得a2 =2bcsin A,利用余弦定理化簡(jiǎn)原式為sinA+cosA ,再利用兩角和的正弦公式與三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果【詳解】a因?yàn)锽C邊上的高為一，21a1 ,所以一父一Ma = bcsin A ,即 a2 =2bcsin A,2 22222bc b ca 2bccosA可得=2c 2b 2bc 2bc2bcsin A 2b ccos A . A A _2bc二 sin A cos A = 2,b c-故+的最大值是J2 2c 2b故答案為2 對(duì)余弦定本題主要考查三角形面積公式、余弦定理、兩角和的正弦公式，

16、屬于中檔題222 一. b2 c22bc理一te要熟記兩種形式：(1) a =b +c 2bccosA； (2)cosA = 時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件16.在四面體 ABCD 中，AB=AD =2,/BAD =60：/BCD =90,二面角ABD-C的大小為150,則四面體 ABCD外接球的半徑為 .【解析】畫出圖象如下圖所示，其中E為等邊三角形BD邊的中點(diǎn)，Oi為等邊三角形的中心（等邊三角形四心合一力球心O在E點(diǎn)的正上方，也在Oi點(diǎn)的正上方.依題意知NOEOi = 60，,OiE = QA =拽，在 RSOOiE 中 OOi = OiEtan 60 = 1，所以外 33接圓半徑 r

17、= OA = 00廠。A2 =,14= -21三、解答題17.在如圖所示的圓錐中，底面直徑與母線長(zhǎng)均為 點(diǎn)，點(diǎn)D是母線PA的中點(diǎn).4,點(diǎn)C是底面直徑AB所對(duì)弧的中第19頁(yè)共18頁(yè)（1）求該圓錐的側(cè)面積與體積;（2）求異面直線 AB與CD所成角的正切值(1)8 -33冗,【解析】（1）先求出PO= 2 J3,再利用公式求該圓錐的側(cè)面積與體積；（2）取PO的中點(diǎn)E ,連接DE , CE ,則/CDE或其補(bǔ)角即為所求，再求其正切值得解【詳解】(1)由題意，得 OB=2，PB=4, po = Jpb2 _OB2 =2限,所以圓錐的側(cè)面積為 S=m=n 2 4=8幾，V=32h=322 273 = ;3

18、取PO的中點(diǎn)E,連接DE , CE,則/CDE或其補(bǔ)角即為所求，因?yàn)?DEEO,DE OC, EO,OC U 平面EOC, EOpOC =O ,1 -所以 DE，平面 EOC, DE .L EC , DE = OA =1 一2CE=JOC2 +OE2 = ,22+(T3 )=，于是 tan CDE =-7 = ,7 ,1即異面直線AB與CD所成角的正切值為 .【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐的側(cè)面積和體積的計(jì)算，考查異面直線所成的角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力318.已知直線li的方程為x+2y -4=0若I?在x軸上的截距為一，且li,l2.2(1)求直線11和12的交

19、點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知直線13經(jīng)過11與12的交點(diǎn)，且在y軸上截距是在x軸上的截距的2倍，求13的方程.一 一1 一 一一【答案】(1) (2,1)；(2) y = x或2x+y5 = 02【解析】(1)利用1i112,可得斜率k12 .利用點(diǎn)斜式可得直線12的方程，與直線11和12的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2, 1）；（2）當(dāng)直線13經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可得方程.當(dāng)直線13不經(jīng)過過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)在 x軸上截距為awq則在y軸上的截距的2a倍，其方程為：x+-y=1,把交點(diǎn)坐標(biāo)（2, 1）代入可a 2a得a.【詳解】-1 k =二解：（1） 1i112,121 2.23直線的方程為：y-0=2 （x_）,化為：y=2x-

20、3.x = 2,解得/y =1x 2y-4 =0聯(lián)立2x _y _3 =0，直線1i和12的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2, 1）.（2）當(dāng)直線13經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可得方程:1y=-x.2當(dāng)直線13不經(jīng)過過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)在 x軸上截距為awq則在y軸上的截距的2a倍，其方程為：x+-y-=1,把交點(diǎn)坐標(biāo)（2, 1）代入可得：2+2=1,解得a = 5.a 2aa 2a2可得方程：2x+y= 5.綜上可得直線13的方程為：x-2y=0, 2x+y-5=0.【點(diǎn)睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、截距式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19.已知在 MBC中，內(nèi)角A, B,C的對(duì)邊分別為a,b,c , A為

21、銳角，且滿足3b =5asinB.（1）求 sin2A + cos2 CKt；2（2）若a=J2, AABC的面積為-,求b,c.253【答案】（I ） （n） b = c = /5503【解析】（I ）根據(jù)正弦定理將條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到 sinA=-,然后利用倍角公式即可5得到三角函數(shù)的值.（n）根據(jù)三角形的面積公式，以及余弦定理，建立方程組解方程組即可得到結(jié)論.【詳解】（I ） 3b =5asinB, 3sinB =5sinAsinB3由 B 匚(0,n 尸 sinB #0, sinA ,、，一.4- A 為銳角， ，cosA= .5sin2 A cosB C1 cos B C1 - cos

22、A=2sin AcosA = 2sinAcosA 22225350 34(n )由(i )知，sinA =一 ,cosA = 一553 一 13 AABC 的面積為一， SBC = bcsinA= :2：22bc = 5(1)由余弦定理得：a2 =b2 c2 -2bccosA22 4218,_,22 =b +c -2bc = (b + c)bc = 2n (b + c ) = 20 ，b + c = 2J5(2)55由(1)、(2)解得 b =c= J5【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值,利用正弦定理，余弦定理以及三角形的面積公式,建立方程組是解決本題的關(guān)鍵.20.如圖，四邊形 ABCD

23、為菱形,/DAB =601 ED，面 ABCD, EF/AB ,ED =AD =2EF =2 , M 為 BC 的中點(diǎn).(1)求證：FM /平面BDE ;(2)若G為線段BE上一點(diǎn)，當(dāng)三棱錐 B -GCD的體積為 名3時(shí)，求BG的值.9BE【答案】(1)見解析；(2)1.3【解析】(1)設(shè)AC0|BD=O ,連結(jié)EO, MO ,推導(dǎo)出四邊形EOMF為平行四邊形，從而FM /EO .由此能證明FM /平面BDE .(2)過G作ED的平行線交BD于H ,則GH _L平面ABCD , GH為三棱錐G BCD的高，根據(jù)三棱錐 G-BCD的體積求得GH長(zhǎng)度.從而求得 GH的值，由三角形相似ED/口 BG

24、 BE得的值.【詳解】(1)證明：設(shè) ACcBD = 0,連結(jié) EO, MO .因?yàn)镸,0分別是BC,BD的中點(diǎn)，1因?yàn)?EF/AB ，且 EF= -AB ，21因?yàn)?0M /AB ，且 0M=-AB ，2所以 EF/0M ,且 EF=0M .所以四邊形E0MF為平行四邊形.所以 FM / E0 .又因?yàn)镋0 u平面BDE , FM值平面BDE ,所以FM /平面BDE .(2)解：過G作ED的平行線交BD于H .由已知ED 1平面ABCD ,所以GH _L平面ABCD .所以GH為三棱錐G-BCD的高.因?yàn)槿忮FG -BCD的體積為R3 ,9所以三棱錐G-BCD的體積：1 1-V BD BC

25、 sin603 21 1、.3GH2 2 - GH3 22gh=3；ABGH s abed ,BGBEGHED【點(diǎn)睛】 本題考查線面平行、 線線垂直的證明，考查兩線段比值的求法， 考查空間中線線、 線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.21.已知正項(xiàng)數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn, an =2尺 -1（1）求ai的值，并求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式an;（2）設(shè)bn = an +2an ,數(shù)列bn前n項(xiàng)和為Tn ,求使不等式 n2 +比2n -6成立的正整數(shù)n組成的集合.【答案】（1） a =14=2n 1 ；1,2【解析】（1）由數(shù)列

26、遞推式求出首項(xiàng)，進(jìn)一步得到JSn是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得Sn，代入an =2溫-1求得數(shù)列an的通項(xiàng)公2n 1式；（2）先求出Tn =n2 +2,再代入不等式解不等式即得解 .3【詳解】（1）解：由已知 an =2 Ja 1 ,得當(dāng) n = 1 時(shí)，a = 1 ；當(dāng)n2時(shí)，an =Sn Sn，代入已知有2卮=&J1,即 Sl=（屈-1）2,又 an A0,故JS二二5 -1或JS二=1 -卮（舍）， 即 JST - JSI=1(n - 2),由定義得商 是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，二 qS = n,則 an =2n1；(2)由題得 bn =an+2an

27、=2n-1+22n，2n 1 _ QQ2 n 1 _ Q所以數(shù)列bn前 n 項(xiàng)和 Tn=1(1+2n1)+ =n2 +2 233因?yàn)?Tn n2 +62n 一6 ,所以（2n）2 9 2n+80,1 2n8,所以 0 :二 n ： 3.所以正整數(shù)n組成的集合為1,2【點(diǎn)睛】 本題主要考查項(xiàng)和公式求數(shù)列的通項(xiàng)，考查等差等比數(shù)列求和，考查數(shù)列分組求和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力22.如圖，已知直角梯形 ABCD 中，AB / CD, AB BC , AB = 1, BC=2, CD= 1+ J3 ,過A作AE，CD ,垂足為E,現(xiàn)將 ADE沿AE折疊，使得 DE EC.A. B A. B求證