2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)難點(diǎn)2-12推理與新定義問題教學(xué)案文

1、2019 年【2019最新】精選高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)難點(diǎn)2-12推理與新定義問題教學(xué)案文隨著新課標(biāo)的深入實(shí)施，素質(zhì)教育要求不斷提高，全國各地的高考試卷都相繼推出了 以能力立意為目標(biāo)，以增大思維容量為特色，具有相當(dāng)濃度和明確導(dǎo)向的創(chuàng)新題型脫 穎而出，為高考試題增添了活力.縱觀近年各地高考的創(chuàng)新題型，不難發(fā)現(xiàn)，推理與“新定義”型這種題目是高考試題的一大熱點(diǎn). 所謂“新定義”型問題，主要是指在 問題中定義了中學(xué)數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些新概念、 新運(yùn)算、新符號(hào)，要求學(xué)生讀懂題 意并結(jié)合已有的知識(shí)、能力進(jìn)行理解， 并根據(jù)新的定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種 題型.這類題目具有啟發(fā)性、思考性、挑戰(zhàn)性和隱蔽性等特點(diǎn)，

2、由于它構(gòu)思巧妙，題 意新穎，是考察學(xué)生綜合素質(zhì)和能力、挖掘?qū)W生潛力的較佳題型，因而它受到命題者 的青睞.一.新定義以新課標(biāo)內(nèi)容為背景，這種類型的問題很多，一般是以新課標(biāo)教材內(nèi)容為背景，給出 某種新概念、新運(yùn)算（符號(hào)）、新法則（公式）等，學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新運(yùn)算（符號(hào)）、新法則（公式）之后，運(yùn)用新課標(biāo)學(xué)過的知識(shí)，結(jié)合已掌握的技能，通過 推理、運(yùn)算等尋求問題解決.縱觀這幾年的高考試題，可以發(fā)現(xiàn)，“新定義”型問題 按其命題背景可分為三種類型：以新課標(biāo)內(nèi)容為背景、以高等數(shù)學(xué)為背景、以跨學(xué)科 為背景.現(xiàn)就相關(guān)類型作探討：1 .新定義集合所謂“新定義集合”，給出集合元素滿足的性質(zhì)，探討集合中的元素屬性

3、，要求有較 高的抽象思維和邏輯推理能力.由于此類題目編制角度新穎，突出能力立意，突出學(xué) 生數(shù)學(xué)素質(zhì)的考查，特別能夠考查學(xué)生“現(xiàn)場(chǎng)做題”的能力，并且在近幾年高考模擬 試題和高考試題中出現(xiàn)頻繁出現(xiàn).下面選取幾例進(jìn)行分類歸納，解題時(shí)應(yīng)時(shí)刻牢記集 合元素的三要素：確定性，互異性，無序性.例1.已知集合，若對(duì)于任意，存在，使得成立，則稱集合是“理想集合”.給出下列4個(gè)集合：；.其中所有“理想集合”的序號(hào)是() 1、M (x,y)|y f(x)(Xi,yi) M(X2,y2) Mx? y. 0 M M (x, y) | y XxM ( x, y)| y sin x M ( x, y) | y e 2 M

4、( x, y) | y 1g xA.B. C.D.【答案】B【解析】由題意得，設(shè)盤/a上現(xiàn)布小。，又巧巧叱可知53,55,對(duì)于項(xiàng)，='是以工了軸 X為日麗線的雙曲柒，漸近的夾角為9?？谒援?dāng)點(diǎn),九8在同一支上時(shí)J44Q8V9Q，當(dāng)點(diǎn)B不 在同一支上時(shí)，乙皿孫，不存在至一方，的不正確j噴，逋過對(duì)圖象的分析發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意的點(diǎn)都能找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，使得成立，故正確；項(xiàng)由圖象可得，直角始終存在，故正確;項(xiàng)，由圖象可知，點(diǎn)在曲線上不存在另外一個(gè)點(diǎn)，使得成立，故錯(cuò)誤；綜合正uuu uuu uuu uuu確，所以選 B. A BOA OB(1,0) OA OB點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的是平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，元

5、素與集合的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合的思想，推理分析與綜合運(yùn)算能力，屬于難題，此類新定義問題最主要是弄明白問題的實(shí) 質(zhì)是什么，對(duì)于此題而言，通過可得出就是在函數(shù)的曲線上找任意一個(gè)點(diǎn)都能找到一個(gè)點(diǎn)，使得成立，找到新定義的含義了，剩余的選項(xiàng)中都是我們所熟知的基本初等函數(shù)，可通過數(shù)形結(jié)合分析即可求解，所以對(duì)新定義的轉(zhuǎn)化能力是解這類問題的關(guān)uuu uuu鍵.x)x2 y1y2 0 A B OA OB2 .新定義函數(shù)例2.12018湖南株洲兩校聯(lián)考】設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈,若f (x)滿足條件:存在a, b? D （a b）,使f （x）在a , b上的值域也是a, b,則稱為“優(yōu)美函 數(shù)”，若函數(shù)為“優(yōu)美函

6、數(shù)”，則t的取值范圍是（）f x log2 4x tA. B. C. D.110，1 0，20，4【解析】x）=1嗥代+才）為增留她 存在，間匚間"）橫"M在卜上的值域也為k同， log3（4fl + r） = ci¥ + r = r則 1 ,即7/5是方程4止-尸十T二0的兩個(gè)不等的根設(shè)丁 =加，1哈（4韋）=合爐+ "2-'一 / /十=。有兩個(gè)不等的實(shí)根，且兩根都大于0% 0 I解得J故答案選。評(píng)：定義新函數(shù)的定義域與值域相同， 先判定函數(shù)的單調(diào)性，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)方程根的情況，本題的關(guān)鍵也是能否轉(zhuǎn)化為函數(shù)根的問題，然后求解.例3.若函數(shù)在區(qū)

7、間上，均可為一個(gè)三角形的三邊長，則稱函數(shù)為“三角形函 數(shù)”.已知函數(shù)在區(qū)間上是“三角形函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為一、. 1A.1 e2 22 (一 ,)(一,e e ef(x) A a b c A f (a) f (b) f (c) f (x) f (x) xln x m ,e m e、e2 2)(,)e【答案】A【解析根據(jù)三角形星幽r的定義可知，若任）在區(qū)間工上的,'三角影讖r.則/（工）在凡上的最大值和最小值應(yīng)篇足加2小，由八同=1口什1=0可得工=%所以（»在上單調(diào)遞斌在上單調(diào)遞增，二明一1A =f（a=陽+z，所以回心琢2哂一1）0,解得曬的取值范圍為（L 5）,故選

8、工占J '、評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查考生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，屬于中檔題.解答本題首先通過給出的定義把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值 問題，通過導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，得到最小值，通過比較區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值求出最大值， 列出關(guān)于參數(shù)的不等式，進(jìn)而求得其范圍.m3 .新定義數(shù)列例4.【XX市XX區(qū)2018屆質(zhì)檢】設(shè)數(shù)列滿足：；所有項(xiàng)；.設(shè)集合，將集合中的元素的最大值記為.換句話說，是數(shù)列中滿足不等式的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值.我們稱數(shù)列為數(shù)列的伴隨數(shù)列.例如，數(shù)列 1,3,5的伴隨數(shù)列為一*，一*1,1,2,2,3. an a11 anN 1aa?anan 1Amn |

9、anm,m NAm bm bm &an m 4 an(1)若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1,1,1,2,2,2,3,請(qǐng)寫出數(shù)列；an an(2)設(shè)，求數(shù)列的彳隨數(shù)列的前100之和；an 3n 1 為 0(3)若數(shù)列的前項(xiàng)和(其中常數(shù))，試求數(shù)列的伴隨數(shù)列前項(xiàng)和. an n Sn 3 n2 1 n c c an bn m Tm 22思路分析：(1)根據(jù)伴隨數(shù)列的定義求出數(shù)列；(2)根據(jù)伴隨數(shù)列的定義得：，由 對(duì)數(shù)的運(yùn)算對(duì)分類討論求出伴隨數(shù)列的前 100項(xiàng)以及它們的和；(3)由題意和與的關(guān) 系式求出，代入得，并求出伴隨數(shù)列的各項(xiàng)，再對(duì)分類討論，分別求出伴隨數(shù)列的前項(xiàng)和.ann 1 log3m m N

10、mbnan Sn anan m nm_2m Nbmmbmm Tm3試題解析:1A7.(2)由/ =m j得科Ml + lcg產(chǎn)| m C 2V* J】當(dāng)M M 2而E用*時(shí)，4=4=1當(dāng) 3 £明 E&陶 E .V* 時(shí) j &=%=-=%1=? ?當(dāng) 9 £ w? K 2® wi W.V* 時(shí) j %=電=3當(dāng)27 VwiVEO：出亡A廣時(shí), 區(qū)彳:4公二二石2=4 ,當(dāng)El M祐4100：步曰V時(shí),與=與；=4工,=5 / ，. + 與 +-+ %=1乂2+2x 6+ 3乂丈51+£火20 = 384(3)，當(dāng)時(shí),由得：，二.使得成立

11、的的最大值為,當(dāng)時(shí)：，當(dāng)時(shí):aiS110 n 2 an S1 3n 2 a。3n一一*Nan 3n 23tTmTmTm1 t t 3 t2 t點(diǎn)評(píng):m n bm bi2t3t2 t本題考查數(shù)列的應(yīng)用,b2b3 1,b4b53t2 tb62,3t6mm3b3t 2b3t 1b3t3t3t3t,t3t ,t著重考查對(duì)抽象概念的理解與綜合應(yīng)用的能力，觀察、分析尋找規(guī)律是難點(diǎn)，是難題.4 .定義新運(yùn)算型例5.【四川省XX市2018屆12月月考】定義一種運(yùn)算，若，當(dāng)有 5個(gè)不同的零點(diǎn)日寸，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）aba,abfx 2x x24x3gx f x m mb,a bA. B. C. D.0,1

12、0,1 1,3 1,3【答案】A點(diǎn)評(píng)：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：（1）直接 法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.一 是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.y gx,y hxy a, y gx5 .定義新法則型例6. 一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串，其中 稱為第位碼元，二元碼是通信

13、中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤（即碼元由 0變?yōu)?,或者由1變?yōu)?0）,已知某種二元碼 的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組： 其中運(yùn)算 定義為：.現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了 1101101,那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定等X4 X5 X6 X70,于.KX2LXnn NXkk 1,2,L ,n kX1X2LX7X2X3X6X70,X1 X3 X5 X70,0 0 0,0 1 1,1 0 1,1 1 0 k k思路分析：根據(jù)二元碼及新定義，分析新定義的特點(diǎn)，按照所給的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求進(jìn) 行邏輯推理和計(jì)算求得.【答案5【解析】由題意得相同數(shù)字經(jīng)過運(yùn)算后為不同救字運(yùn)

14、算后為L由馬5%£%£二0可判斷后4個(gè)數(shù)字出錯(cuò)；由為9匹蝕/S毛=0可判斷后2個(gè)數(shù)字沒錯(cuò)，艮咄錯(cuò)的是第4個(gè)或第5個(gè)事由為日丐國葺3尤=?？膳袛喑鲥e(cuò)的是第5個(gè)綜上，第4位發(fā)生碼元錯(cuò)誤.點(diǎn)評(píng)：本題以二元碼為背景考查新定義問題， 解決時(shí)候要耐心讀題，并分析新定義的 特點(diǎn)，按照所給的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求進(jìn)行邏輯推理和計(jì)算等，從而達(dá)到解決問題的目 的.對(duì)于新法則，關(guān)鍵在于找到元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系， 我們可以借助圖表等方法尋找 它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用對(duì)應(yīng)關(guān)系列方程.6 .以高等數(shù)學(xué)為背景.本類型的題目通常是以高等數(shù)學(xué)符號(hào)、概念直接出現(xiàn)或以高等數(shù)學(xué)概念、定理作為依托融于初等數(shù)學(xué)知識(shí)中.此類問題

15、的設(shè)計(jì)雖來源于高等數(shù)學(xué)， 但一般是起點(diǎn)高，落點(diǎn)低，它的解決的方法還是運(yùn)用中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和基本技能.這要求學(xué)生認(rèn)真閱讀相關(guān)定義或方法，在充分理解題意的基礎(chǔ)上，結(jié)合已有的知識(shí)進(jìn)行解題.例7.對(duì)于使成立的所有常數(shù) M中，我們把M的最大值-1,稱為函數(shù)的“下確界”，若的“下確界”為x2 2xA、822yM x 2x x, y, z R , x y 2z 0, xz【思路分析】根據(jù)“下確界”的定義，將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值2 yxz【解析】由且，即，從而,由“下確界”的定義得“下確界”為8 . x, y, z R x y 2z 0 y2x 2z 2.2xz y 2 2 8 xz xzC、 4 D 、1

16、2 yxz點(diǎn)評(píng)：本題要充分理解題意，準(zhǔn)確把握“下確界”的實(shí)質(zhì)是什么？從而轉(zhuǎn)化求的最小 值的問題，運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)，便能求出相應(yīng)函數(shù)的最值.3以跨學(xué)科為背景本類型的題目，主要是介紹數(shù)學(xué)知識(shí)在其他學(xué)科或領(lǐng)域的運(yùn)用，一般都會(huì)介紹運(yùn)用時(shí)的知識(shí)背景、數(shù)學(xué)模型，因而題中文字、信息較多.學(xué)生必須準(zhǔn)確地把握題意、理順 線索、分析相應(yīng)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系， 結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)和能力進(jìn)行推 理、運(yùn)算.例8.設(shè)數(shù)列A: , ,().如果對(duì)小于()的每個(gè)正整數(shù)都有 < ,則稱是數(shù)列A的一個(gè)“G時(shí)刻”.記“是數(shù)列A的所有“G時(shí)刻”組成的集合.a a2aN N n 2 n N k ak an n G(A)(1

17、)對(duì)數(shù)列A: -2, 2,-1 ,1, 3,寫出的所有元素；G(A)(2)證明：若數(shù)列A中存在使得，則；ananaG(A)(3)證明：若數(shù)列A滿足-<l(n=2,3,N),則的元素個(gè)數(shù)不小于-.aa01 G(A) aN 4思路分析：（1）關(guān)鍵是理解G時(shí)刻的定義，根據(jù)定義即可寫出的所有元素；（2）要證, 即證中含有一元素即可；（3）當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.只要證明當(dāng)時(shí)仍然成立即 可.G(A)G(A) G(A)aN a aN 4試題解析：GG）的元素為2和5因?yàn)榇嬖谂c使得41A %所以十W叼2, Wh記掰=mill（! eA7*|2 <r<Ar=j. >aY?且對(duì)在首止整數(shù)代科生。

18、/門寸因此所亡仃，從而仃5）*0一（3）當(dāng)內(nèi) £%時(shí)，結(jié)論成立以下設(shè)小 >勺由<11 ）知GM），0設(shè)=卜1：打23一.內(nèi)尸.打1«打工< -記苗s =1則4 v4 <厘的 < 一4凡 對(duì)f=QL記。二上三入叫vkMM? 一如果母工0,取個(gè)=min % 則對(duì)任何】三立 < 加"v% 一從而mt 6改用且叫=3.又因?yàn)?是。中的最大元素，所以=打，從而對(duì)任意勾0 k *打，心特別地，口、。月對(duì)，= Ol-p-Ldf 的,因此門口 二口* J3*"七 討所以P心一/ < &.一6= 2（小 一口 >Sp

19、-f-L評(píng)：數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用題要注意分析題意， 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為常用的數(shù)列模型， 數(shù)列的 綜合問題涉及到的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想（如：求最值或基本量）、轉(zhuǎn)化與化歸思 想（如：求和或應(yīng)用）、特殊到一般思想（如：求通項(xiàng)公式）、分類討論思想（如：等比 數(shù)列求和，或）等.q 1 q 1 由上各例可見，“新定義”型的問題，通常是選取合適的數(shù)學(xué)背景，把新定義、新運(yùn)算、新符號(hào)等巧妙的融入高考試題中來，雖然它的構(gòu)思巧妙、題意新穎、隱蔽性強(qiáng)， 到處都體現(xiàn)出新意，但是，它考查的還是基本知識(shí)和基本技能， 解題的關(guān)鍵在于全面準(zhǔn)確理解題意，科學(xué)合理的推理運(yùn)算.因此，“新題”不一定是“難題”，只有夯實(shí)2019 年 基礎(chǔ)，

20、掌握好雙基，以不變應(yīng)萬變才是我們?nèi)俚姆▽?二.推理問題最近幾年，在高考數(shù)學(xué)命題中，在考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握情況的同時(shí),也逐漸加大了 對(duì)學(xué)生綜合應(yīng)用能力的考查.合情推理創(chuàng)新題型的考查力度增大，要求考生在推理過 程中具備獨(dú)特的方法和技巧.這類題型在高考試題中的位置較為特殊，尤其是“類比 推理”和“歸納推理”題型.1.類比推理類比推理是由兩類對(duì)象具有某些類似特征和已知其中一類對(duì)象的某些特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理.類比推理在具體實(shí)施過程中，關(guān)鍵是找到兩類對(duì)象之 間可以確切表述的相似特征.然后，用一類對(duì)象的已知特征，去推測(cè)另一類對(duì)象的特 征，從而得到一個(gè)猜想，最后檢驗(yàn)這個(gè)猜想.它是數(shù)學(xué)的

21、重要方法之一.要找到類比， 往往需要一點(diǎn)想象力和創(chuàng)新精神，在高中階段類比方向主要集中在等差數(shù)列與等比數(shù) 列，平面幾何與立體幾何，平面向量與空間向量等 例9.已知是的三邊，若滿足，即，為直角三角形，類比此結(jié)論：若滿足時(shí)，的形狀為.(填“銳角三角形”，“直角三角形”或“鈍角三角形“).a,b,c ABCa2 b2 c2 (-)2 (b)2 1 ABC an bn cn (n N,n 3) ABC c c22naba b2,22-1 a b cc c c c思路分析：本題考查解三角形、類比推理，涉及分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化 化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，

22、屬于較 難題型.首先判斷得最大，則角最大， nncC an bn cn (n N,n 3) a b 1 c ccosC a b c 00 C ,故該三角形為銳角三角形2ab22.22【答案】銳角三角形2019 年【解析】易得最大，則C龜最大J優(yōu)一方叱3)n _； + _： =1、, 、 j ,kcJ ,故該三角形為銳角三角22nn2.22a b a b222abc.1 a2 b2 c2 cosC 00 C -c c c c2ab2點(diǎn)評(píng)：類比推理是合情推理中的一類重要推理， 強(qiáng)調(diào)的是兩類事物之間的相似性，有 共同要素是產(chǎn)生類比遷移的客觀因素， 類比可以由概念性質(zhì)上的相似性引起，如等差 數(shù)列與等比數(shù)列的類比，也可以由解題方法上的類似引起.當(dāng)然首先是在某些方面有 一定的共性，才能有方法上的類比