2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題文(北京卷,含答案)

1、2018 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題文（北京卷）本試卷共 5 頁，150 分?？荚嚂r長 120 分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚?結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共 40 分）、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。(1 )已知集合A=(|2),B=-2,0,1,2,則AB二(A) 0,1(B) -1,0,1(C) -2,0,1,2(D) -1,0,1,2（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于1 -i（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）執(zhí)行如圖所

2、示的程序框圖，輸出的 s 值為（4）設(shè)a,b,c,d是非零實數(shù)，則ad=bc”是a,b,c,d成等比數(shù)列”的(A)(C)1276(B)-62(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件(5)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載埴最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于122 -若第一個單音的頻率 f,則第八個單音頻率為(A)32f(B)(C)122f( D)1227f(6)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱

3、錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為(A) 1(B) 2(C) 3( D) 4 (7)在平面坐標(biāo)系中，AB,CD, EF,GH是圓x2y2=1上的四段弧(如圖)，點 P 在其中一段上，角以O(shè)?始邊，OF為終邊，若tanr cosr sin二，貝U P所在的圓弧是(A)AB(B)CD(D)GHH -3(C)EF(8) 設(shè)集合A二( x, y) |x y _1,ax y . 4,x_ay _2,則(A) 對任意實數(shù)a, (2,1) A(B) 對任意實數(shù) a, (2,1 ) - A(C) 當(dāng)且僅當(dāng)ab,則一c ”為假命題的一組a,b的值依次為 _.a b2 2(12)_ 若雙曲線 務(wù)-上1(a 0)的離心

4、率為 ，則a=_.a242(13 )若，y滿足x +1蘭y蘭2x，貝 y 2y-?最小值是 _.(14)_ 若厶ABC的面積為3(a2+c2b2),且/C為鈍角，則/B=_；-的取值范圍是 _4a三、 解答題共 6 小題，共 80 分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(15)(本小題 13 分)設(shè)an是等差數(shù)列，且 印=1 n2, a2飛3=5ln 2.(I)求an的通項公式；(n)求ea1 ea2ean.(16)(本小題 13 分)已知函數(shù)f(x)二sin2x、3sin xcosx.4(I)求f (x)的最小正周期；3(n)若f (x)在區(qū)間,m上的最大值為，求m的最小值.325(1

5、7) (本小題 13 分)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值(I)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1 部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；(n)隨機(jī)選取 1 部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；(川)電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率減少0.1

6、，使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？(只需寫出結(jié)論)(18) (本小題 14 分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PADL平面ABCD PAL PD,PA=PQ E,F分別為ADPB的中點.(I)求證：PEI BC(n)求證：平面PABL平面PCD(川)求證：EF/平面PCD(19) (本小題 13 分)設(shè)函數(shù)f(x) =ax2-(3a 1)x 3a 2ex.(I)若曲線y = f(X)在點(2, f(2)處的切線斜率為 0，求a；(n)若f (x)在x=1處取得極小值，求a的取值范圍(20) (本小題 14 分)6不同的交點A,B.(I)求橢圓

7、M的方程;(n)若k=1，求|AB |的最大值；(川)設(shè)P(-2,0)，直線PA與橢圓M的另一個交點為C,直線PB與橢圓M的另一個交點為D.若CD7 1和點Q(_ ,)共線，求k.4 22 2已知橢圓M :務(wù) % =1(a b 0)的離心率為a b，焦距為2 2.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個71 . A 2. D 3. B 4. B 5. D10.(1,0)12 . 414 .60(2,ER)15 .(共 13 分)解：（I）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,Ta2a3二5ln 2,二2a-i3d = 5ln 2,又a1，則當(dāng)x(一，1)時，f (x)：0；a當(dāng)x (1,：)時，f (x)0.所以f

8、 (x)在x=1 處取得極小值.若a乞1，則當(dāng)x (0,1)時，ax -1乞x -1：0,所以f (x)0.所以 1 不是f(x)的極小值點.10綜上可知，a的取值范圍是(1, ：)方法二：f (x) =(ax -1)(x -1)ex.(1)當(dāng)a=0 時，令f (x) =0得x=1.f (x), f (x)隨x的變化情況如下表：X(4,1)1(1,母)f (X)+0-f(x)/極大值f (x)在x=1 處取得極大值，不合題意1(2)當(dāng)a0 時，令f(X)=0得X1,X2=1.a當(dāng)x x2，即a=1 時，f (x)二(x -1)2ex_ 0, f(x)在R上單調(diào)遞增, f (x)無極值，不合題意

9、.當(dāng)x1x2，即 0a1 時，f (x), f (x)隨x的變化情況如下表:X1(A,)a1 a(丄,1)a1(1嚴(yán))f(X)+0-0+f(x)/極大值極小值/f (x)在x=1 處取得極小值，即a1 滿足題意.111(3)當(dāng)a0 時，令f (x) =0得論= ,X2=1.ax1(-OQ,)a1 a1(,1)a1(1嚴(yán))(X)-0+0-f(x)極小值/極大值f (x), f (x)隨x的變化情況如下表:f (x)在x=1 處取得極大值，不合題意綜上所述，a的取值范圍為(1,：；4).20.(共 14 分)【解析】(i)由題意得2c =2、.2，所以c = 2，又e=Ca6，所以a i3，所以b

10、2二a2-c2=1,3所以橢圓2M的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=1.3(n)設(shè)直線AB的方程為y=x，m,y二x m由x22消去y可得4x2 6mx 3m2-3 =0,Ty =1則 #=36m24 4(3m23) =48 12m20,即卩m2: 4,設(shè)A% yj,B(X2, y2)，則捲x?二3m3m2- 3,x/2：24則| AB | = .1 k2I x1-x2F 1 k2.(論x2)2-4曲2 = 6- ，2易得當(dāng)m2=0時，|AB|max-6，故|AB|的最大值為、6.(川)設(shè)AyJ,B(X2,y2),Cg, y?),2 2 2 2則x13y1=3，x23y2= 3,12137 X1-12y17 x?-12y?所以C(1,1)，同理可得D(2,2).4x+7 4片+74X2+7 4X2+77171故QC =(X3, y3)，QD =(X4, y)，44447171因為Q, C,D二點共線，所以(x3)(y4)(X4)(y3)=0,4444y一y2將點C, D的坐標(biāo)代入化簡可得1一-