(山東專用)2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章三角函數(shù)、解三角形第四講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案(含解析)

1、第四講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知識梳理雙基自測回回西網(wǎng)知識點(diǎn)一周期函數(shù)的定義及周期的概念(1)對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使彳導(dǎo)當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù) T叫做這個函數(shù)的周期.如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期_.(2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，_2kTt(kCZ, 20)_都是它們的周期，最小正周期是_紅_.知識點(diǎn)二 正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y= sinxy = cos x

2、y= tan x圖象1釬1定義域x|xC Rx| x C 什.一 _r兀x| xC R,且 x+k% , k Z值域 y| -1 y 1y| -1 y0,為2兀，故C不正確；D中，f(x) =sin | x| =由正弦函數(shù)圖象知，在 x0sin x, x0,和x0時，f(x)均以2兀為周期，但在整個定義域上f(x)不是周期函數(shù)，故 D不正確，故選A.6. (2019 全國卷I ,5分)關(guān)于函數(shù)f (x) = sin | x| 十 |sin x|有下述四個結(jié)論：f (x)是偶函數(shù)兀f(x)在區(qū)間(萬，兀)上單調(diào)遞增f (x)在兀，兀有4個零點(diǎn)f(x)的最大值為2其中所有正確的結(jié)論的編號是 (C

3、)A.B.C.D.解析方法一：f ( - x)= sin |x|+|sin ( x)|= sin | x| 十 |sinx|= f (x), 1- f (x) ,.，兀,，兀，、，為偶函數(shù)，故正確；當(dāng) x%時，f(x)=sin x+ sin x= 2sin x, f(x)在(攵，兀)上單調(diào)遞減，故不正確；f(x)在兀，兀的圖象如圖所示，由圖可知函數(shù)f(x)在兀，兀只有3個零點(diǎn)，故不正確；: y=sin | x|與y=|sin x|的最大值都為1且可以同時取到, .f(x)可以取到最大值 2,故正確.綜上，正確結(jié)論的序號是.故選C.方法二：: f( x) = sin | x| + |sin (

4、x)| = sin | x| 十 |sinx| = f (x),f(x)為偶一，,兀，兀函數(shù)，故正確，排除B;當(dāng),。0,得sin x2,作出單位圓與直線y = 2的父點(diǎn)，可知 2k兀+ 6& x/a2+ b2sin ( x+巾)的形式，借助三角函數(shù)的圖象求最值(值域)；對于形如y=Asin 2x+ Bsin x+C函數(shù)求最值，一般通過換元法求解(使用換元法時要注意新元的取值范圍).考點(diǎn)二三角函數(shù)的單調(diào)性一一師生共研例2 (1)(多選題)(2020 山方2兀一第二次段考)函數(shù)f (x) = 3sin ( -2x)的一3個單調(diào)遞增區(qū)間是(AD )A.7兀13兀12 12B.D. ,一，,兀 .兀,

5、、，、一 一.一.(2)(2020 洛陽模擬)已知30,函數(shù)f(x)=sin ( wx+)在(2,兀)上單倜遞減，則3的取值范圍是(A )A.1 52 4B.一八1_C. 0, 2D. (0,24, 2兀兀兀 人解析(1) f (x) =3sin ( -2x) =3cos ( y-2x) =3cos (2 x-y).令 2knt 兀 W2 x-62 k % , kez,解得kn 52 w x w k兀+ 12 , k e z.所以函數(shù)f (x)的增區(qū)間為 k兀一彳2，k兀+ 12 , kC z.令k= 0,1 ,可得選項(xiàng) AD正確，故選 A D. 兀兀兀兀兀，r一，兀兀兀(2) 由-x兀 得-

6、W + - 3乂+彳兀 3+1，由題息知 (E 3 +彳，兀 3 +彳)兀兀 兀. 一 15 .,解得2 W -.故選A.萬3 + T5,兀 3 +-40)的單調(diào)區(qū)間時，要視“ cox+巾”為一個整體， 通過解不等式求解.但如果30,那么一定先借助誘導(dǎo)公式將3化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯.圖解法：若函數(shù)的圖象能夠容易畫出，可利用圖象直觀迅速求解.如某些含絕對值的 三角函數(shù).注：正、余弦型單調(diào)區(qū)間長度為半周期.(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù).先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求 解.變式訓(xùn)練1兀(1)函數(shù)f (x) =tan (2 x )的單調(diào)遞增區(qū)間是(B )k兀 兀 k兀 5兀A.

7、12 - 12，2 + 12 ( k Z)三包包212212 八 )C. (kn + A, kn + 與-)(kcZ) 63D. kL + 工(kJ)(2)(2018 課標(biāo)全國n,10)若f(x)=cos x sin x在0 , a上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù) a的最大值是(C )A.7t4B.7t2C.D.兀解析(1)由kjt 一卷2x 。水兀十亮(k Z),得等一白0,f (x)在0 , a上是減函數(shù)，所以 兀解得00)的取小正周期為兀,則該函數(shù)的圖象(AD )、,一 ， 兀，A.關(guān)于點(diǎn)(W，0)對稱B關(guān)于直線x=T對稱C.關(guān)于點(diǎn)(彳，0)對稱 兀一D.關(guān)于直線x=行對稱 122兀 2兀 -斛析由T

8、=兀知3=丁餐=2,I 兀-.TT所以函數(shù) f (x) = sin (2 x+).一， 兀 兀-一 兀 kn函數(shù) f(x)的對稱軸滿足 2x+y=-2+kTt (k Z),解得 x= + (kZ);兀函數(shù)f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)滿足2x += k兀(kC Z),3.一 aka.一.解得 x=- -6-+ (k Z) .故選 A、D.名師點(diǎn)撥？(1)求三角函數(shù)的最小正周期，一般先通過恒等變形化為y= Asin ( cox+6)或y = Acos,、 一一.、，、,，一 ，一,，、 一 _ 2 兀(co x + 6 )或y = Atan (cox+()(A, co , 6為吊數(shù)，Aw 0)的形式

9、，再分力U應(yīng)用公式T=-|，、兀，、一或T=;求解 |對 y= Asin ( w xy = Asin ( cox +(2)三角函數(shù)型奇偶性判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質(zhì), + 6)代入x=0,若y=0則為奇函數(shù)，若 y為最大或最小值則為偶函數(shù).若兀)為奇函數(shù)，則(J)=k7t(keZ),右 y= Asin ( w x +()為偶函數(shù)，則 6 =萬+ k 兀(k C Z). 求函數(shù)y= Asin ( wx+巾)的對稱中心、對稱軸問題往往轉(zhuǎn)化為解方程問題.y=sin x 的對稱中心是(kn , 0), (kCZ),y = Asin ( cox+ 6)的對稱中心，由方程 cox+ ()

10、= ku解出x= 電，故對稱中心、，k it 6_ _ 為(0)( ke Z).3 兀,y=sin x 的對稱軸是 x= ku + 2, kCZ,.兀,.3X + (J)=k7t + 2解出兀ku + y- 6x =,即 x3兀ku + -2-6一為函數(shù) y= Asin ( cox+ 6)的對稱軸方程.函數(shù)f(x) = Asin ( 3x+(J)(A,3，6為常數(shù)，Aw0)圖象的對稱軸一定經(jīng)過圖象的 最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線x = x0或點(diǎn)(x0,0)是否是函數(shù)圖象的對稱軸或?qū)ΨQ中心時，可通過檢驗(yàn)f (x。)的值進(jìn)行判斷.（4）注意y = tan x的對

11、稱中心為（?，0）（ k C Z）.變式訓(xùn)練2.、 一O 兀（1）（角度1）（2019 北東，5分）函數(shù)f（x） =sin 22x的最小正周期是_2_.（2）（多選題）（角度2）下列函數(shù)中，最小正周期為兀的奇函數(shù)是（BD ）一.一 .兀、A. y=sin (2 x + )B. y=cos (2 x + -2)C. y= sin 2 x+ cos 2 xD.7t7ty=sin(2 x ) + cos(2 x)兀兀兀（3）（角度3）（2018 江蘇）已知函數(shù)y= sin （2x+巾）（- 巾 萬）的圖象關(guān)于直線 x= 對稱，則6的值是二=一221 cos 4 x .,一，一 _ 2兀 兀解析(1)

12、f(x) =sin 2x=2，f(x)的取小正周期 T=.兀一，一一1一一兀一(2) y= sin (2 x+ ) =cos 2 x 是偶函數(shù)，不符合題息.y= cos (2 x+2) = sin 2*是丁=兀的奇函數(shù)，符合題意，同理 C不是奇函數(shù)，D為y=42sin 2 x,故選 B D.,r_2兀 2 71兀兀(3)由題息可得 sin ( 3-+ ()= + 1,所以-3+ 6 = -2+ k % , ()= +k7t(kZ),兀兀兀兀因?yàn)橐?萬，所以k=0, 6=一了.故填一8.MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名師講壇素養(yǎng)提升三角函數(shù)的值域與最值 一

13、， 2sin x+1,1 例6 (1)函數(shù)y= sin x_2的值域?yàn)?, 3一，兀 ，兀， 一， 2 十 r（2）函數(shù) f （x） = 2sin xsin （x+ 百），當(dāng) x C 0 ,5時，函數(shù) f （x）的值域?yàn)開0 ,=2，1 + sin x3(3)函數(shù)y=3TE的值域?yàn)橐籯4-.（4）若x是三角形的最小內(nèi)角，則函數(shù)y= sin x + cos x sin xcos x 的最小值是( A )A. -2+ 2C. 1D. ：2解析解法一：y =2sin x+ 1-z- =2 + -sin x 2 sin x2,一一、，55由于一1 w sinxw 1, 以一5w &,sin x-23一

14、一，1.函數(shù)的值域?yàn)?,-.3, 2sin x+1 n2y+1斛法一：由 y=sin x-2，斛信 sin x =.1 1sin x 1,一心存5解得-3W1，函數(shù)的值域?yàn)?,-.3(2) f (x) = 2sin x(1 sin x+ 2cosr 2J3 1 cos 2 xx) = q 3sin x+ sin xcos x = J2sin 2 x2小兀、，水sin (2 x-y) +-2-, 兀. xe 0 , -2,7t7t2x一丁一了.兀、一 sin (2 x-3) f(x)e 0(3)解法一:1 + sin xy 3+cos得sinx - ycos x = 3y 1, .sin ( x

15、 +6)3y1 /1 + y其中sin 6 =一y2, cos1 + yw 1 ,解得0W y, , |1 + sin x解法二： -可理解為點(diǎn)P( cos x, - sin x)與點(diǎn)Q3,1)連線的斜率，點(diǎn)3 十 cos xP( cosx,sin x)在單位圓上，如圖所示.1 + sin x故t = 滿足kcAW twkcB,設(shè)過點(diǎn) a3,1)的直線萬程為 y1=k(x3),即3 + cos xkx y+ 1-3k=0.由原點(diǎn)到直線的距離不大于半徑1,得L=tw1,解得0wkw；.從而值域?yàn)? ,:k+1434-兀(4)由條件知0xWw，3令 t=sin x+ cos x=J2sin (,兀

16、、x+R，TTTTTT7 TT一又 0xW-3,，丁*+丁 -T2,得 1tw庭;34412t2-1又 t =1 + 2sin xcos x, 得 sin xcos x = 2,/口 , t 11/、2Er 1 f 1付 y=t - -2- = - 2(t-1) +1,則-2 +，2 w y1, 1.所以函數(shù)的最小值為2+小.故選A.名師點(diǎn)撥 ？求三角函數(shù)值域或最值的方法(1) y= asin x+b(或 y= acos x+b)的值域?yàn)閨 a| + b, | a| + b.(2) y= asin 2x + bcos x+c可轉(zhuǎn)化為關(guān)于cos x的二次函數(shù)，求在給定區(qū)間上的值域最值)即可.(3

17、) y= asin 2x+bsin xcos x+c cos2x利用式 y= Asin 2 x+ Bcos 2 x|l y =曠代+ Bsin (2 x+ 6),再利用sin (2 x+ 6 )的有界性求解，注意2x+()的取值范圍.asin x+b jacos x+b_3， 一 人一(4) y，1n (或 y=”cc vJ,可反解出 sin x=f(y)(或 cos x= f(y)由正、余弦 csin x 十 dccos x 十 dasin x + b函數(shù)的有界性。小心1)求解；丫=中0可根據(jù)式子的幾何意義用數(shù)形結(jié)合萬法求解，或化為sin ( x+ 6 )=yd b日利用三角函數(shù)的有界性求解

18、.(2)(2020 黑龍江宜春二中月考)函數(shù)y =2+sin x+cos x的最大值是(D )A. -22-1C- 1-22_ 一 1.(2019 玄南倜研)函數(shù) y=sin xcos x+sin xcos x 的值域是 _ -2_小,1_.，,一一，兀，,一，兀解析(1)函數(shù)y=52cos (x 彳)的最大值為 5+2 = 7,此時x- -= % + 2k% ( kZ),即 x = 4-+ 2k 兀(k C Z).(2) y=，2姆 W2+ 也sin (x+4尸2+小,1,2i 學(xué)，(3)設(shè) t = sin x cos故選D.x,貝U 12= 1 2sin xcos x,2+ 業(yè)nx + 3sin xcos x=,且-*&t*t2 ,11/、2 /ymin= 42.y=- y+t