安全專業(yè)本科畢業(yè)論文外文文獻(煤礦安全方向)中英文對照

1、附錄A 非線性礦井通風網(wǎng)絡(luò)的控制Yunan Hua,1 , Olga I. Koroleva b,*, Miroslav Krsticba深空探測研究中心，哈爾濱工業(yè)大學，哈爾濱100051 ，中華人民共和國b機械航空工程系，加州大學，圣地亞哥，9500 Gilman Dr. MC0411, La Jolla, CA 92093-0411, 美國摘要：煤礦通風網(wǎng)絡(luò)的重要作用是使爆炸性或有毒氣體（如甲烷）維持在低濃度。由于其目的是控制流體的流動，所以礦井通風網(wǎng)絡(luò)是高階非線性系統(tǒng)。過去在這一方面的研究是基于多變量線性模型。本文提出的是一個非線性模型。開發(fā)兩個控制算法。一個人操縱所有的網(wǎng)絡(luò)分支機構(gòu)就

2、可實現(xiàn)全球性調(diào)控的結(jié)果。其他人只操縱網(wǎng)絡(luò)中不屬于樹圖的分行，實現(xiàn)監(jiān)管（非無窮?。┕ぷ鼽c的附近區(qū)域。這種針對礦井通風網(wǎng)絡(luò)提出的方法，也適用于其他類型的流體網(wǎng)絡(luò)，如燃氣或水的分銷網(wǎng)絡(luò)，灌溉網(wǎng)絡(luò)，并有可能建立起通風系統(tǒng)。關(guān)鍵詞：非線性控制;礦井通風網(wǎng)絡(luò);流量控制;暖通空調(diào)1. 簡介石油儲備枯竭后，煤作為礦物燃料能源還會保持一段相當長的時間。煤礦開采的一個主要困難是因為地下的煤礦存在有毒且易爆的氣體甲烷。煤礦事故血的教訓從古至今未曾間斷。 現(xiàn)代煤礦有的許多調(diào)節(jié)甲烷濃度的通風設(shè)施。在這種通風系統(tǒng)中通常不是直接控制空氣流動，而是通過通風網(wǎng)絡(luò)的個別部分來控制?？梢栽谕L網(wǎng)絡(luò)的重要位置（往往直接連接到外部環(huán)境

3、）安置幾臺風機/壓縮機來驅(qū)動空氣，也可以在網(wǎng)絡(luò)的分支上用 “風門” 來控制?？刂频V井通風的問題在20世紀70年代和80年代才受到相當?shù)闹匾暋?無疑，礦井通風網(wǎng)絡(luò)是一個分支能影響其他分支的流程的一個多變量控制問題。 為此，作為一個流體網(wǎng)絡(luò)(這與模擬一個電路非常相像)和一個多變量控制的問題，礦井通風需要接近基于模型的方式。 早期在這個題目上做研究的是Kocic。他認為礦井通風網(wǎng)絡(luò)是一個線性化的，各參量混在一起的動態(tài)模型并且發(fā)現(xiàn)了用線性反饋的規(guī)則來研究。 他發(fā)現(xiàn)了允許他分離問題并且避免使用高度復雜的MIMO控制工具來研究SISO問題的結(jié)構(gòu)特性。然而，他沒有利用網(wǎng)絡(luò)圖表理論的特性，這使他忽視了問題的非

4、線形性(根本問題在于流體的流動)和只要使用動態(tài)反饋補償器靜態(tài)輸出反饋就可以了。本文中將進行一些改善。礦井通風網(wǎng)絡(luò)的控制方式包括Kirchhos法，電壓法律法(代數(shù)等式)以及各分支(微分方程)可變的動態(tài)等式法。分支采取RL典型非線性抵抗的電等值的形式，被塑造成使用混合參量略計的不可壓縮的NavierStokes等式.確切地講，分支上氣壓的降低與空氣流動率(非線性抵抗項)的正方形和氣流加速度(線性引人期限) 近似成正比?？梢杂肒irchhos代數(shù)等式創(chuàng)建的模型和分支典型微分方程一起構(gòu)成一個最簡的控制模型。 顯而易見，由于在網(wǎng)絡(luò)的分支點(結(jié))處質(zhì)量守恒，所以許多分支的氣流是相互依賴的。 因此，分支的

5、數(shù)量比最小的系統(tǒng)表示法更主要。當一個人從循環(huán)理論得出形象化的概念時這種直覺就會變得系統(tǒng)化。每個網(wǎng)絡(luò)可以被劃分成樹(他們連接圖上的所有結(jié)點，并且沒有構(gòu)成任何回路)和補全樹的一套分支，稱余樹，分支指連接。流經(jīng)分支的流體確定動力學網(wǎng)絡(luò)的最小表示法。當可能僅控制獨立分支的氣流時，有必要在些分支里安置動力設(shè)備，在樹枝里安置動力設(shè)備的物理可能性允許用兩種方法來解決問題。第一種方法是我們?yōu)榈V井通風這個非線性系統(tǒng)設(shè)置一個能驅(qū)動所有分支的并且能達到總體穩(wěn)定的驅(qū)動設(shè)備。 第二種方法是只在獨立的分支或區(qū)域內(nèi)(在工作點附近的空間)實施驅(qū)動。一個問題是，當模型是仿射控制的輸入時，并沒有以疊加的方式出現(xiàn)。 因為分支對系統(tǒng)

6、的輸入是有抵抗力的(分支中的調(diào)節(jié)風門)，控制投入總是乘以平方的非線性。正如讀者在第4部分所見，下面的一個復雜的模型前面幾節(jié)的開發(fā)，總體線性控制設(shè)計的最后一步時多變量反饋的是線性化。這通常也許提升了問題的不確定性，但是在這類系統(tǒng)中他們和容易測量的巷道長度和直徑一樣不重要。因為煤礦巷道總是裝備有壓力、流量和甲烷含量傳感器，所以該方法可以進行充分的測量。本文如下安排。在第2部分我們介紹結(jié)構(gòu)性等式并且分別地推導非最簡系統(tǒng)的最小表示法。在第3部分我們開發(fā)使用驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)的所有分支的反饋法則，而在第4部分我們推導僅在獨立分支輸入時的反饋。我們結(jié)合范例，精選最簡短的語言來說明問題和設(shè)計算法。2. 礦井通風網(wǎng)絡(luò)系

7、統(tǒng)模型 2.1. 管路流程動力學和礦井通風網(wǎng)絡(luò)的Kirchhos法律為了開發(fā)礦井通風網(wǎng)絡(luò)的模型，首先我們建立一個分支的動態(tài)等式。簡而言之，我們做以下假設(shè)：(A1)空氣是不可壓縮的; (A2) 溫度在所有的分支是相同的。在假定(A1)和(A2)之后，礦井通風網(wǎng)絡(luò)的一個分支描述為下式:， (1)這里Qj是通過分支j的空氣流量; Rj =rjlj是空氣阻力，rj是分支的具體的空氣阻力，lj是分支，Hj = plj - plj0是分支的壓降，plj是分支的末端的絕對壓力，plj0是分支開始端的絕對壓力，Kj = Sj=lj是慣性系數(shù)，Sj是分支的橫斷面，是空氣密度，j =1,n，n是網(wǎng)絡(luò)分支的數(shù)量。就

8、像一個電子網(wǎng)絡(luò)，礦井通風網(wǎng)絡(luò)必須滿足Kirchhos法則，即在所有節(jié)點出入守恒。數(shù)學上，礦井通風網(wǎng)絡(luò)的Kirchhos法則可以表示為：, i=2,nc -1， (2)或者EQQ=0, (3)這里nc是網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點的數(shù)量，Q是風流矢量流量，EQ是滿秩矩陣(nc-2) × n，EQ =EQij，EQij定義如下：如果分支j與節(jié)點i連接并且氣流從節(jié)點i流出，EQij = 1; 如果分支j與節(jié)點i連接并且氣流流向節(jié)點i，EQij =-1; 如果分支j沒有與節(jié)點i連接，EQij =0。我們假設(shè)，礦井通風網(wǎng)絡(luò)使用礦井外部連接的一臺主要風扇。并且讓節(jié)點1連接到風扇所在分支。然后風扇所在分支的氣流可以

9、表示為：, (4)或者eQmQ=Qm, (5)這里Qm是通過風扇(主要)分支的空氣流量，eQm = eQm1 ,eQmn 是1×n矩陣，包括eQmj; j =1,n，定義如下：如果分支j連接到節(jié)點1并且氣流遠離節(jié)點1，eQmj =1; 如果分支j連接到節(jié)點1并且空氣流入節(jié)點1，eQmj = -1; 如果分支j沒有與節(jié)點1連接，eQmj =0。無獨有偶，礦井通風網(wǎng)絡(luò)也滿足Kirchhos電壓法則，即：在網(wǎng)絡(luò)中所有環(huán)上的降壓的總和一定是零或者數(shù)學上是相等的，, i=1,l-k (6)或者EHH =0, (7)這里Hj是分支j上的降壓; l是網(wǎng)絡(luò)中分支的數(shù)量，l=n-nc +1; H是降壓

10、，H是矢量壓降，EH是(l - k) × n基本矩陣，每個網(wǎng)格由一個分支和在連接分支的二個節(jié)點的樹的一個獨特的鏈子形成，k是網(wǎng)格的數(shù)量，包含風扇所在的分支，它與分支的數(shù)量是相等的，在它的末端風扇分支連接。EH = EHij，EHij的定義如下：如果網(wǎng)格i包含分支j并且方向相同，EHij = 1，如果網(wǎng)格i包含分支j并且方向相反，EHij =-1，如果網(wǎng)格i不包含分支j，EHij =0?？紤]網(wǎng)格，包含風扇所在分支，風扇所在分支的降壓可表示為：,i=1,k, (8)或者eHmH=-Hm, (9)這里Hm是風扇所在分支的降壓，eHm是k×n矩陣，包括eHmij; j=1，定義n如

11、下：如果網(wǎng)格i包含分支j并且同向，eHmij =1，如果網(wǎng)格i包含分支j并且反向，eHmij =-1，如果網(wǎng)格i不包含分支j ，eHmij = 0。風扇分支的動力學可以表達為 Hm =d-RmQm， (10) d表示風扇引起的等效降壓的地方，Rm是在風扇分支的阻力系數(shù)2.2非最小化網(wǎng)絡(luò)的模型為了建立狀態(tài)方程，一必須尋找獨立變量作為系統(tǒng)的狀態(tài)。由于樹和分支的概念，可能容易找到他們。因此第一步將描述包含這樣風扇分支的礦井通風網(wǎng)絡(luò)的樹，并且采取分支的氣流流量分支作為狀態(tài)變量。為了便于分析，我們標記從分支1到N - nc +1的氣流流量，其中N =n+1。定義Q=, H=, (11)因此Qc和Hc矩陣

12、分別在各自的分支中表明氣流流量和降壓，在樹枝中描述Qa和Ha矩陣，不包括風扇所分支。加上符號得：， (12)(1) 可以得出. (13)題2.1. 有適當?shù)拇笮〉木仃嘇， B， C，YRQ，YQ和Yd，以便充分表達礦井通風網(wǎng)絡(luò)命令模型, (14), (15)這里Q是狀態(tài)，R和D是輸入量，而H是系統(tǒng)的排出量。證明. 可以將矩陣EH, EQ,eHm和eQm表達為：EH=EHcEHa, EQ=EQcEQa, (16)eHm =eHmceHma,eQm =eQmceQma, (17)這里 , (18), eQma =0. (19)現(xiàn)在我們通過分支的氣流來表達樹氣流流量。 從(3)， (11)和(16)

13、，我們有 , (20)結(jié)合式子(19)得出. (21)現(xiàn)在通過分支的壓降來表達風扇所在分支的壓降和樹的壓降。從(7)，(9)和(17)，我們可以得到, (22)從這個等式，結(jié)合式子(18) 能得到一個Hc, (23)結(jié)合式子10)，式子(23)可以寫成, (24)這里, (25), (26). (27)(13)， (24)，區(qū)分(3)，我們有, (28)這里, (29), (30), (31)應(yīng)該注意的是，EQcKcSHa +Ka與Eqs相反。(29) (31)，將在題2.1中表示出來。用(28)來替代(24)，可以表示為. (32)結(jié)合(11)，(28)和(32)，我們有, (33)這里,

14、, .用(33)替代(13)，得出 =, (34)這里, , .題2.1. 反證EQcKcSHa +Ka存在。證明. 我們接下來給分支編號：從1到l=N - nc +1列舉分支，第一個分支與風扇所在分支連接，從l到N列舉樹枝，其中風扇所在分支是最后一個。包括風扇所在分支的環(huán)和節(jié)點的方程可以表示為, (35). (36)可以顯示為3，p. 493，, (37)或者 .從(19)和(37)得出，EQ是滿秩矩陣。因此EQK可以被奇異值4因式分解為. (38), , i=1,nc-2. (39)結(jié)合(38)和(39)，我們可以得出.所以我們有det, (40)替代(17)和(19)入(40)，我們得到

15、det, (41)結(jié)合(25)，(19)，(37)和(41)，我們有下式：det=det. (42)因此反證出EQcKcSHa +Ka存在。2.3. 網(wǎng)絡(luò)的最小化模型 早先我們建立了秩為n的礦井通風網(wǎng)絡(luò)的全模型。系統(tǒng)的狀態(tài)不是獨立的，因此一個需要尋找最小的表示法。在這個部分，我們將建立一個礦井通風網(wǎng)絡(luò)的最小模型。定義, (43), (44), (45) (44)式中的Qc應(yīng)該被理解為式子(21)的形式。題 2.2. 有適當?shù)拇笮〉木仃嘇c、Aca， BC和Cc，以便表式礦井通風網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的最小模型, (46), (47)這里Qc是狀態(tài)，Rc、Ra和d是控制輸入量，Ha是系統(tǒng)排出量。證明. 首先我

16、們應(yīng)該提及的是，SQa =0，隨著(19)和(26)。并且，從(30)得出。用(44)代替(32)，我們得出. (48)從 (13)，我們得出, (49)現(xiàn)在用(48)替代(49)，+=, (50)這里 , (51) , (52) , (53) . (54)從(21)，(28)和(30)，我們有. (55)在風扇所在分支中的壓降可以表示為. (56)3. 設(shè)計分支中的調(diào)節(jié)變量 在這個部分，我們用Rc、Ra和d作為調(diào)節(jié)變量。輸入量Ra和d作為輔助輸入(因而下標為“a”)。因為我們在下面部分就會看見，他們是不必要的，即系統(tǒng)可以順利地獨立地控制Rc，但是輔助的輸入量提供更加有效的控制。我們選擇限制定

17、律如下, (57) , (58), (59)這里Hcr、Hmr和Har分別為Hc、Hm和Ha的參考(平衡)價值，Qce =Qc Qcr，Qae =Qa - Qar，Qcr和Qar分別為Qc和Qa的參考(平衡)價值，而且是常數(shù)，這個以后再定義。很明顯，Hr和Qr需要滿足礦井通風網(wǎng)絡(luò)的Kirchhos法則。 結(jié)合式子(57) (58)，我們有以下結(jié)果。 定理3.1.對于(14)和(15)描述的系統(tǒng)，根據(jù)控制定律(57) (58)，得出以下結(jié)果：(i) ; (ii) 是穩(wěn)定的指數(shù);(iii) 假設(shè),而且 ，然后 ,這里 i=1,n.證明. (i)區(qū)分式子(3)，我們有. (60)用(16)替代(13

18、)，(43)和(44)入(60)，我們得到. (61)用(23)替代Eq。(61)，可以寫成 . (62) 重新整理此式，我們有 . (63)最后，把(57)和(58)代入(63)，我們得到以下結(jié)果：. (64)從氣流流量的Kirchhos法則(3)我們能得出EQcQce + Qae = 0，因此考慮到把此式入(64)和(23)，我們吧(64)寫成一下形式. (65)從(65)的兩邊減去EQcKcSHaHar +KaHar，我們得到, (66)從題2.1，反證存在，所以. (67)比較(10)和(59)，很容易得出 . (68)替代(67)和(68)入(23)，我們有. (69)結(jié)合(67)，

19、(68)和(69)，我們得到.(ii)在把(57)和(58)代入(13)里以后，回路系統(tǒng)成為. (70)因為，所以，這里隱藏著(ii)。(iii)從(70)，結(jié)果是,i=1,n. (71)把(67) (69)和(71)代入(57)， =,i=1,n. (72)從(72)得出若 (73), (74)則 , i=1,n.結(jié)論3.1. 在現(xiàn)實中的礦井通風的實現(xiàn)，調(diào)節(jié)風門充分打開時，由于巷道壁有阻力，所以最小的分支阻力Ri (t)不為零而是正值。4.設(shè)計僅在余樹中的控制變量在這個部分我們實現(xiàn)對單獨的Rc的控制。選擇控制定律如下, (75) , (76). (77)注意Ra和d是恒定的。(11)和(12

20、)，表示空氣流量的式子(13)可以寫成 , (78), (79)把(75)代入(78)，. (80)這個等式明顯地表明指數(shù)的穩(wěn)定。然而，只有當保證控制定律(75)可行時，才能保證穩(wěn)定。一個限制條件是阻力不能為負值。因而我們需要學習怎樣反饋(75)的可行性。然而(75)中壓降Hc適合進行測量的的，因為壓力比空氣流速更加容易測量，為了可行性研究我們必須把Hc以函數(shù)的形式來表達。這將使我們尋找函數(shù)Rc (Qc)。結(jié)合(80)，區(qū)分于(21)，我們得到樹枝的空氣流量, (81)現(xiàn)在讓我們計算壓降。由(79)和(81)，Ha可以寫成 =. (82)用(82)，我們可以把(23)寫成=. (83)在把(8

21、3)代入(75)以后，控制定律成為 = (84)我們現(xiàn)在準備估計反饋系統(tǒng)的可行性區(qū)域。Let F= i=1,N -nc +1是可行的控制集合。是極小的可行的控制量。同樣定義集合Br =。使用這些指定我們現(xiàn)在可以為系統(tǒng)建立以下結(jié)果，包括模型(46)，(47)和控制定律(77)，(76)和(84)。定理 4.1. 讓r*是最大的r，然后有BrF，Q = Qr的穩(wěn)定是按指數(shù)的，包括Br*吸引力的局部。證明. 考慮Lyapunov函數(shù) (85)其水平集為Br ，因為QeBr*，我們有如閉合環(huán)系統(tǒng)可以表達為, (86)區(qū)分于(85) (86)，我們得到. (87)從(87)，我們可以認為Q=Qr的穩(wěn)定是

22、按指數(shù)的。5.例子先認為礦井通風網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，包括3個節(jié)點，3個分支和1個主要風扇分支，如圖1，選擇分支3和m作為網(wǎng)絡(luò)的樹，環(huán)等式和節(jié)點等式可以表示為 , , , ,這里, , , , , , , , , ,定義, , , ,圖1.具有4個分支的礦井通風網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在(24)，(28)和(33)中的矩陣和向量是, , , , ,.全命令系統(tǒng)的矩陣和向量是,.矩陣和向量的最小表示法為,. 圖2.沒有輔助控制器時的變化.系統(tǒng)的參量選擇Rm=1、K1=1/10、K2=1/40和K3=1/10。首先，我們調(diào)查不用輔助控制器的系統(tǒng)的反應(yīng)。起始點是Hmr =3.0; H3r =1.7和。選擇作調(diào)節(jié)。在最初的情

23、況下，系統(tǒng)的反應(yīng)在圖2上顯示。調(diào)節(jié)開始接近極限，但是最終卻使系統(tǒng)進入其可行性區(qū)域。 接下來，我們考慮設(shè)計輔助控制器。我們開始以一個相同的原始起點并且設(shè)置同一個參考點。我們使用不同的過程。反應(yīng)在圖3.顯示。應(yīng)該做亮點觀察。首先，由于最初選擇了一個特殊的情況(在圖2中輸入量飽)，輔助控制R3是變化不太大。然而，輔助控制d是變化較大的。其次，是d的變化圖3.有輔助控制器時的變化.允許R1和R2不飽和。記下d是怎么在大范圍內(nèi)變化的，以及R1和R2相對于圖2有怎么樣趨勢。附錄B Nonlinear control of mine ventilation networksYunan Hua,1 , Olg

24、a I. Koroleva b,*, Miroslav KrsticbAbstract:Ventilation networks in coal mines serve the critical task of maintaining a low concentration of explosive or noxious gases (e.g., methane). Due to the objective of controlling fluid flows, mine ventilation networks are high-order nonlinear systems. Previo

25、us efforts on this topic were based on multivariable linear models. The designs presented here are for a nonlinear model. Two control algorithms are developed. One employs actuation in all the branches of the network and achieves a global regulation result. The other employs actuation only in branch

26、es not belonging to the tree of the graph of the network and achieves regulation in a (non-infinitesimal) region around the operating point. The approach proposed for mine ventilation networks is also applicable to other types of uid networks like gas and water distribution networks, irrigation netw

27、orks, and possibly to building ventilation.Keywords: Nonlinear control; Mine ventilation networks; Flow control; HVAC1. IntroductionCoal as a source of fossil fuel energy should remain in abundance for a considerable time after petroleum reserves are exhausted. One of the principal diffculties in un

28、derground coal mines is the presence of poisonous and explosive gases like methane. Accidents claiming the lives of coal miners have been numerous through the history and continue to this day.Modern coal mines contain elaborate ventilation facilities that allow to regulate the concentration of metha

29、ne. In such ventilation systems the objective is usually not to directly control the concentrations but to control the air flow rates through individual branches of the ventilation network. The actuation available ranges from a few fans/compressors strategically located through the network(and often

30、 directly connected to the outside environment), to actively controlled “doors” that are in many of the branches of the network. The problem of controlling mine ventilation received considerable attention in the 1970s and the 1980s.It is clear that a mine ventilation network is a multivariable contr

31、ol problem where acting in one branch can affect the flow in the other branches in an undesirable way. For this reason, mine ventilation needs to be approached in a model-based fashion, as a fluid flow network(in much of the same way one would model an electric circuit) and as a multivariable contro

32、l problem.Pioneering work on this topic was performed by Kocic5 who considered a linearized lumped-parameter dynamic model of a mine ventilation network and developed a methodology for designing linear feedback laws for it. He discovered structural properties that allowed him to decouple the problem

33、 into SISO problems and avoid the use of generic, highly complicated MIMO control tools. However, he did not take advantage of the graph theoretic properties of the network, which forced him to both neglect the nonlinearities (essential in this fluid flow problem) and to employ dynamic output-feedba

34、ck compensators where static output feedback would suffice. We provide these improvements in this article.The control model of a mine ventilation network consists of Kirchhos current and voltage laws (algebraic equations) and fluid dynamical equations of individual branches (differential equations).

35、 The branches are modeled using lumped parameter approximations of incompressible NavierStokes equations that take a form whose electric equivalent is an RL characteristic with a nonlinear resistance. To be precise, the pressure drop over a branch is approximated to be proportional to the square of

36、the air flow rate (nonlinear resistive term) and to the air flow acceleration (linear inductive term).A model written using Kirchhos algebraic equations and the branch characteristic differential equation constitute a non-minimal representation of the control model. It is clear that, due to the mass

37、 conservation at the branching points (nodes) of the network, air flows in many of the branches will be inter-dependent. Hence, the minimal system representation will be of lower order than the number of branches.This intuition becomes systematic when one employs graph theoretic concepts from circui

38、t theory 3. Each network can be divided into a set of branches called a tree (they connect all the nodes of the graph without creating any loops) and the complement of the tree, called a co-tree, whose branches are referred to as the links. The minimal system representation of the dynamics of the ne

39、twork is given by the flow through the links.While it is to possible to control the airflows only in independent branchesthe linksand therefore necessary to put actuators only in those branches, the physical possibility to put actuators also in the tree branches allows to approach the control proble

40、m in two distinct ways. The first approach that we pursue actuates all the branches and yields a global stability result for this nonlinear system. The second approach actuates only the independent, link branches and yields a regional (around the operating point in the state space) result.A peculiar

41、ity of the problem is that, while the model is affine in the control inputs, they do not appear in an additive manner. Since the inputs to the system are resistivities of the branches (modulated by the openings of “doors” in the branches), the control inputs are always multiplied by quadratic nonlin

42、earities.As the reader shall see in Section 4, following a complicated model development in the preceding sections, the last step of the nonlinear control design amounts to multivariable feedback linearization. This might normally raise the issue of modeling uncertainties but in this class of system

43、s they are minor as tunnel lengths and diameters are easy to measure.The method developed employs full state measurement because coal mine tunnels are always equipped with pressure, flow, and methane concentration sensors.The paper is organized as follows. In Section 2 we introduce the constitutive

44、equations and develop separately the non-minimal and the minimal representation of the system. In Section 3 we develop feedback laws that employ actuation in all the branches of the network, while in Section 4 we develop feedbacks for inputs only in the independent branches. We close with an example

45、, chosen of minimal order to illustrate the main issues in the problem and the design algorithms.2. Model of mine ventilation network system2.1. Pipe flow dynamics and Kirchhos laws for mine ventilation networksIn order to develop the model of a mine ventilation network, we rst establish the dynamical equation of one branch. For simplicity, we make the following assumptions: (A1) the air is incompressible; (A2) the temperatures in all branches are identical.