有限元分析方法課件

1、1有限元分析方法有限元分析方法2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院2一、緒論問題的提出均態(tài)連續(xù)變化的、復雜幾何形狀等問題難以用傳統(tǒng)解析法、實驗法解決有限元法數(shù)值解法分析離散多個單元體代數(shù)方程組求解 研究對象2022-1-20 有限元分析方法3（2）有限元法應用的發(fā)展古代：圓周率的近似算法近代：力學中的剛架位移法要點：將復雜剛架的計算問題轉(zhuǎn)化為簡單桿件的分析與綜合問題現(xiàn)代有限元法：拆桿件剛架組合剛架（1）有限元法特點單元整體整體離散綜合多至成千上萬推廣應用彈性力學平面問題上述思路2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院4彈性力學：外力作用變形應力產(chǎn)生物體外力去除全部或部分

2、恢復分析過程：先將彈性連續(xù)體離散化，變?yōu)橛邢迋€三角形單元在角點鉸接的組合體；分析每一個三角形單元受力與變形的關系，列方程；將各單元再進行組裝，將全部關系式綜合為代數(shù)方程組。現(xiàn)代有限元法的條件：計算機應用2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院5（3）有限元法應用的范圍彈性力學平面問題 空間問題和板殼問題（對拱壩、渦輪葉片、飛機、船體等復雜結(jié)構進行應力、變形分析）平衡問題 穩(wěn)定問題與動力問題（對結(jié)構在地震力與波浪力作用下的動力反應進行分析）彈性問題 彈塑性與粘彈性問題，疲勞與脆性斷裂問題固體力學 流體力學、熱傳導與熱應力問題（如焊接殘余應力、原子反應堆結(jié)構的熱應力）、磁場問題（感應電動

3、機的磁場分析），以及建筑聲學與噪音問題。工程力學 力學的其它領域（如冰川與地質(zhì)力學、血管與眼球力學等）2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院6（4）近來研究較多的問題新型單元的研究有限元法的數(shù)學基礎：變分法（把有限元法歸結(jié)為求泛函的極值問題）、加權余數(shù)法（直接從基本微分方程出發(fā)）向新領域的擴展：專門化問題通用程序編制，設計自動化的研究（5）本課主要講授內(nèi)容有限元位移法取結(jié)點位移作為基本未知量一維（桿件）有限元數(shù)學模型二維（平面）有限元數(shù)學模型剛度矩陣及線性方程組解法有限元建模：單元網(wǎng)格劃分、邊界條件、載荷的簡化有限元計算程序（6）參考書計算機輔助工程. 郝靜如等. 航空工業(yè)出版社,

4、 2000有限元法原理建模及應用. 杜平安等. 國防工業(yè)出版社.2004有限元法基礎. 蔣友諒. 國防工業(yè)出版社,19902022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院7二、一維桿件的有限元法（1）單元位移插值函數(shù)位移在此處易彈性變形：假定xaau21)(xfu （1）2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院8xluuuu121（4）在結(jié)點1、2上，式（1）應分別有結(jié)點位移0211aau（2）212uaa l式中：l 單元長度由式（2）解得：11ua （3）luua122（3）代入（1）得單元位移插值函數(shù)：2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院9（2）單元應變與結(jié)點位

5、移的關系應變單元長度的伸長將（4）式對x求導得應變:luudxdux12（5）)(12uulEExx（3）單元應力與結(jié)點位移的關系應力：產(chǎn)生單位應變所需的力。根據(jù)虎克定律：桿單元的軸向力為：)(12uulEAAFx（6）（7）E彈性模量A橫截面積2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院10（4）單元結(jié)點力與結(jié)點位移的關系單元剛度矩陣在式（7）中，F(xiàn)表示桿件的軸力（內(nèi)力），規(guī)定其正負號為：拉力為正，壓力為負。圖示結(jié)點力f1、f2表示結(jié)點1、2對單元的作用力，其符號為：與坐標軸x方向相同為正，相反時為負。)()(21121uulEAuulEAFf21211111uulEAff eeeKf

6、)(122uulEAFf（8）表示為矩陣形式：（9）（10）單元剛度：lEAKkkkkKe式中：則有：2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院11多單元桿件：根據(jù)式（9）有：2111111211uukkkkff單元1有：3222222322uukkkkff單元2有：2333333332uukkkkff單元3有：2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院12（5）整體構件上結(jié)點荷載與結(jié)點位移的關系構件整體剛度矩陣結(jié)點載荷：把作用在構件上的外載荷外載荷（包括溫度載荷、慣性載荷等）等效轉(zhuǎn)化為等效轉(zhuǎn)化為作 用在結(jié)點上的載荷結(jié)點上的載荷，定義為結(jié)點載荷。在連續(xù)桿單元中，各結(jié)點載荷Fi為

7、相應各結(jié)點力的代數(shù)和。則：)(211111uukfF結(jié)點1：22122ffF結(jié)點2：)(232233uukfF結(jié)點3：3212222111132100uuukkkkkkkkFFF即： KF 構件整體剛度矩陣：矩陣形式 (11）（12） 2222111100kkkkkkkkK（13）2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院13剛度疊加原理：構件中若干單元間公共結(jié)點的剛度等于該結(jié)點在各相關獨立單元中相應剛度項之和。觀察式（11）：力F1只對單元1有作用，所以其相對結(jié)點位移u1、u2的剛度不變。力F3只對單元3有作用，所以其相對結(jié)點位移u2、u3的剛度不變。力F2作用在單元1、2的公共結(jié)點

8、上，其大小要使兩單元都在該點上產(chǎn)生位移，所以其相對u2的剛度值等于原兩獨立單元的相應剛度之和。觀察式（13）：構件整體剛度矩陣等于各單元剛度矩陣的組裝。2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院14三、二維彈性平面問題的有限元分析二維彈性平面問題構件呈平板狀，且厚度很小，另外所受外力均作用在其平面內(nèi)。以三結(jié)點三角形為例（其它有矩形單元、六結(jié)點三角形等）已知單元三結(jié)點坐標為 xi yi xj yj xm ym 單元三結(jié)點位移為 e = ui vi uj vj um vm T2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院15（1）單元位移插值函數(shù)設單元內(nèi)一點的位移（ u, v）與其坐標

9、值（x, y）成線性關系yaxaavyaxaau654321（14）式中a1a6為為待定系數(shù)將點 i, j, m的坐標值和位移值分別代入上式，有：654321100010001000000100010001aaaaaayxyxyxyxyxyxvvvuuujmjjiijmjjiimjimji（15）2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院16mjimjimjimjimjiyaxaavyaxaaumji,6,54,3,21,（16）式（14）（15）：mmmjjjiiiyaxaauyaxaauyaxaau321321321mmmjjjiiiyaxaavyaxaavyaxaav654654

10、654321111aaayxyxyxuuummjjimjii654111aaayxyxyxvvvmmjjimjii2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院17654321000100010001aaaaaayxyxyxuuujmjjiimji654321100010001000aaaaaayxyxyxvvvjmjjiimji由式（15）解得 a1 a6，再代入式（14），得到：mmjjiimmjjiiuNuNuNvuNuNuNu式中 Ni，Nj，Nm 是（x,y）和單元三結(jié)點坐標的函數(shù)。（17）2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院18mjimjijmmjiiiixxcy

11、ybyxyxaycxbaANi)(21i，j，m三點的公式一樣。只按規(guī)律替換角標號A單元面積mjimjiyyyxxxA11121單元結(jié)點位移列陣為： mmjjiievuvuvu2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院19單元內(nèi)任一點的位移列陣據(jù)式（17）有： emjimjiNNNNNNvu000000（18）（2）單元應變表達式（是結(jié)點坐標和結(jié)點位移的函數(shù)）應變與位移關系：xvyuyuxuxyyx21x向應變y向應變角應變（19）2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院20典型應力狀態(tài)：將u、v的表達式（18）代入式（19），得到用單元結(jié)點坐標和位移表達的應變：mjimji

12、mmjjiimjimjixyyxvvvuuubcbcbccccbbbA00000021B：結(jié)點坐標（xi,j,m，yi,j,m）函數(shù)即： eeB（20）單元應變已知坐標位移2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院21（3）單元應力表達式據(jù)彈性理論中應力與應變的關系，有：xyxyxyyyxxuEuuEuuE)1 (2)(1)(122x軸方向正應力y軸方向正應力Xy面上剪應力矩陣表達式為： xyyxxyyxuuuuE2100010112D：彈性矩陣，只與E、u有關2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院22即： D（21）將式（20）代入（21）得： eBD（22）應力彈性矩陣

13、坐標矩陣位移列陣此式也適用于三角形單元（當兩結(jié)點坐標合一時）2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院23（4）單元結(jié)點力與結(jié)點位移的關系單元剛度矩陣經(jīng)推導可得與一維有限元式（10）形式一樣的平面單元的關系式： eeeKf（23）平面單元應力與結(jié)點力的轉(zhuǎn)化：由上式 項 由上式 項BD2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院24展開式（23）有：332221333231232221131211332211vuvuvukkkkkkkkkffffffyxyxyx（24）式中：krs剛度項，作用在結(jié)點r上使結(jié)點s產(chǎn)生單位位移的力的大小，為二階子矩陣，二行分別對應x、y，二列分別對應于

14、u、v。srsrsrsrsrsrsrsrrsbbucccbubucbcucubccubbuEhk21212121)1 (42r=i,j,m; s=i,j,m bi,j,m,ci,j,m值見時（17）2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院25（5）整體構件上結(jié)點載荷與結(jié)點位移的關系 構件整體剛度矩陣參照一維有限元式（12），由上面式（23）、（24）可同樣推出： KF（25）式中：F總體結(jié)點載荷列陣（共2m項，m為結(jié)點總數(shù)）； 總體結(jié)點位移列陣（共2m項，m為結(jié)點總數(shù)）； F整體剛度矩陣。 2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院26如圖所示三角板4單元構件，其式（25）的

15、具體形式為：66554433221166554433221110110102020010611141011216021210103100211213000100410061210110120016140001202161211011141601002020101101vuvuvuvuvuvuFFFFFFFFFFFFyxyxyxyxyxyx（26）2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院27（6）剛度項數(shù)值根據(jù)一維方程式（11）、（13）所示的剛度疊加原理，式（26）中矩陣中Krs是由共同具有結(jié)點r、s的有關單元的相應剛度項疊加而成的。物理意義：r結(jié)點上的載荷由相關各單元在s點上的位移

16、所分享。單元 單元 665544332211333231232221111111665544332211vuvuvuvuvuvuKKKKKKKKKFFFFFFFFFFFFyxyxyxyxyxyx 665544332211555452454432252422665544332211vuvuvuvuvuvuKKKKKKKKKFFFFFFFFFFFFyxyxyxyxyxyx 2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院28單元 單元 553322555352353332252322553322vuvuvuKKKKKKKKKFFFFFFyxyxyx 66553366656356555336353

17、3665533vuvuvuKKKKKKKKKFFFFFFyxyxyx 2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院29式右中各項可在相關單元的剛度矩陣中查到。至此，即得到方城（26）中的構件整體剛度矩陣。如已知結(jié)點載荷Fij，可解各結(jié)點位移 。如結(jié)點2是單元 、 、 的共同結(jié)點，則剛度項K2s（s為相鄰結(jié)點號，s1，2，3，4，5）有：2121KK 22222222KKKK 232323KKK 2424KK 252525KKK 2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院30四、求解線性方程組需注意的問題觀察式（26）中的剛度矩陣有如下性質(zhì)：（1）構件整體剛度矩陣是對稱矩陣，其是彈

18、性結(jié)構反力互等定理的反映；（2）構件整體剛度矩陣是奇異矩陣，即其中每一行（列）所有數(shù)值的和都各為零，即行列式|K|0。而方程組 KFKF，無法求解。力學意義： 上述剛度矩陣建立的前提是構件被視為懸空無約束，存在剛體移動，故無法有結(jié)點間的相對位移。解決辦法: 引入構件的幾何邊界條件，即邊界條件處理。2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院31步驟：v 代入：已知外力F1x， F1y， F2x； 支反力F4x， F4y， F5y， F6y以外諸力為零； 已知位移約束條件u4，v4，v5，v60v 消元：消去對應于零位移（ u4，v4，v5，v5 ）的行和列，同時消去位移列 陣和外載列陣F

19、中相應的元素。 66554433221166554433221110110102020010611141011216021210103100211213000100410061210110120016140001202161211011141601002020101101vuvuvuvuvuvuFFFFFFFFFFFFyxyxyxyxyxyx（26）00000=0=0=0=0=0=u1v1v2u3v3u4v4u5v5u6v6u22022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院32653322112112226121016121012161400121612114160100202010110

20、100000uuvuvuvuFFFxyx（27）則方程成為：則方程（27）成為可解。先解位移ui，vi，再計算應變、應力。（3）整體剛度矩陣為稀疏矩陣2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院33kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk1098765432110987654321結(jié)點kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk1098765432110987654321結(jié)點因每結(jié)點的剛度項只與相鄰結(jié)點有關，故兩不相鄰的結(jié)點間kij為零。結(jié)論： 劃分結(jié)點時，要盡可能使同一單元的幾個結(jié)點號碼盡可能接

21、近。2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院34五、有限元建模有限元模型包括：單元、結(jié)點、邊界條件、外載荷、材料特性模型質(zhì)量的影響：分析精度、效率、計算機CPU時間和存儲量（1）常用單元類型及網(wǎng)格劃分一維二維二維三維網(wǎng)格劃分：應力變化梯度或應力集中處單元劃分密。2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院35結(jié)點編號： 同一單元的幾個結(jié)點號碼盡可能接近。2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院36（2）結(jié)點外載荷：據(jù)力的等效原理，將外載荷簡化到結(jié)點上。（3）邊界約束條件：平面問題至少三個約束1、將支承轉(zhuǎn)化為約束2、構件和載荷為對稱時，可取對稱軸線的一側(cè)計算，并給出相應

22、約束2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院37六、有限元法解題步驟2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院38七、有限元軟件第一代：人工完成前、后處理，如結(jié)點號、單元號及結(jié)點 坐標的計算及逐點輸入，例SAP半自動：半自動生成網(wǎng)格，給出關鍵點及區(qū)域，例Super SAP全自動：自動生成網(wǎng)格 各種圖形顯示，例Ansys2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院39有限元解的性質(zhì)和收斂性1、收斂準則的物理意義（以平面問題為例） 其中 ，常數(shù)項代表單元 的剛體位移模式是u、v的一次導數(shù)，用m1表示導數(shù)次數(shù). . .位移插值函數(shù)yxvyxu65432141應變xyyx、53

23、xy2xux6yvy5362常數(shù)項代表單元的常應變狀態(tài)位移插值函數(shù)必須至少是x、y的一次完全多項式2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院40安全性要求（完備性）： 由插值函數(shù)構成的有限元解必須能反映單元的剛體位移和常應變狀態(tài)，否則單元內(nèi)部將產(chǎn)生非零或非常值的應變，則有限元解不可能收斂于真正解。 如場函數(shù)的最高階導數(shù)是m階,則單元插值函數(shù)至少是m次完全多項式(即高至m階導數(shù)都有常數(shù)項)。連續(xù)性要求（協(xié)調(diào)性）： 位移函數(shù)自身在單元交界面上是連續(xù)的，否則，交界面上引起無限大應變，有限元不能收斂于真正解。 如場函數(shù)的最高階導數(shù)是m階，則單元插值函數(shù)在交界面上必須具有（m-1）階的連續(xù)導數(shù)。

24、 3結(jié)點三角形的插值函數(shù)滿足以上二要求。2、有限元解的收斂準則 如采用完全多項式作為單元的插值函數(shù)，則有限元解在一個有限尺寸的單元內(nèi)可以精確地和真正解一致，但實際上只取有限項多項式，故結(jié)果是近似的。2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院41設取p次多項式為插值函數(shù)，m階導數(shù)是非零的，則須 ，有mp mppmmmmppppppxmppxmmdxdxppxdxdxpxxdxdxxxx)!(!.)!1(!.)1(.62.32.12322212321332210常數(shù)項可知，p次完全多項式 的高至m階導數(shù)的表達式中都有常數(shù)項，當單元尺寸趨于零時，每單元內(nèi) 及其至m階導數(shù)將趨于它的精確值，即趨于常數(shù)。如插值函數(shù)還滿足連續(xù)性要求，則有限元階趨于精確解，即收斂。2022-1-20 有限元分析方法北京機械工業(yè)學院42準則1：完備性要求 如果場函數(shù)的最高階導數(shù)是m階，則單元插值函數(shù)至少是m次完全多項式（即函數(shù)本身和高至m階導數(shù)都有常數(shù)項）收斂條件之一收斂條件之一。如應變、應力（磁、溫度場）準則2：協(xié)調(diào)性要求 如果場函數(shù)的最高階導數(shù)是m階，則單元插值函數(shù)在單元交界面上必須具有函數(shù)直至（m1）階的連續(xù)導數(shù)收斂條