(完整word版)多元統(tǒng)計分析期末考試考點整理

1、多元統(tǒng)計分析題型一 題型 題型 一、定義定義、名詞解釋計算（協(xié)方差陣、模糊矩陣） 解答題§ 1隨機向量及貝分布一、隨機向量的聯(lián)合分布設耳兀是定義在樣本空間Q上的左個隨機變量，則稱:f;維隨機向量（或Q維隨機變量hP元函數(shù)尸（.巧”.12）=尸；<< .T）稱為左維隨機向量（耳耳J丿的聯(lián)合分布函數(shù).如果存在非負町積函數(shù)/（片 J八使得/Vi" g.號）=Jj ： Z 冬- 作同葉施為尸則稱仁I;,/足戸維連續(xù)型隨機向屋，稱/（片心.號）為 的聯(lián)合分布宗度.§ 2隨機向暈的數(shù)字特征-隨機向量的數(shù)學期望（均值）定義1設-I上（片；./,若乩i；）M®

2、; 工./>#/, 則稱ZT二（£；,£1>；已/為=（；/的數(shù)學期望（向吊）.i殳（；）"，稱工為隨機矩陣，稱日上入尸為隨機矩陣T 的數(shù)學期里（知陣）.二、邊緣分布稱維隨機向量（兀兀的分量構成的子向量的概率分 布為（兀兀七y的邊緣分布.設P維隨機向量石j;y的分布函數(shù)為尺斤小“），則 關于£的邊緣分布函數(shù)為£(丫/)=尸/匕S科 = F(+s+®s+coj +s)設維連續(xù)型隨機向量（兀;/的聯(lián)合分布密度為 心，則關于£的邊緣分布密度為力（兀）=匚J匚/（®6心g9）心dgdg dXp.四、協(xié)方差矩陣的

3、性質設，為隨機向量"占為常數(shù)矩陣，則性質2 久£門=aux 五、協(xié)方差矩陣zn的代數(shù)性質1. £為非負定矩陣，即對ba電RP、有ofHa hO.記號：若工為非負定矩陣，則記作30若工為1E定矩陣，則記作£>0.二、數(shù)學期望的性質設工，尸為隨機矩陣，為常數(shù)矩陣，則性質1牲質2G.gU&Q B、性質3gCH = £F + ZT三、協(xié)方差矩陣定義 2 設-1/, r=(j;j;. j;y,若«心；丿；)，/=12.P、j=、2.？存在，則稱CH 工門=EX-EXy-E)y= SU 加為隨機向量T與F的協(xié)方差矩陣.當心0=0時,

4、稱隨機向量-T與，不相關.稱兒門=©心0=勿6隨機向ml的協(xié)方差矩陣.顯然，協(xié)方差矩陣是一個對稱矩陣.定義3記=笄罕2稱R=g嚴P為隨機向量-T的相關陣由相關系數(shù)的概念，顯然有/； = !» |訃1"八L 2,P， K短距離法(NearestnejgHwr)考慮和個樣本構成的距離矩陣，定義G與Gj之間的距離為兩類最近樣品的距離，即D* = min d対.(3-3-29)» "N" y現(xiàn)右設G,與G合并為一個新類記為Gy,則任意一類Gg與S的距離為2.若工為正定矩陣,則有下述等價結論.(1)>0 0 3非奇異方陣Z,使Z = 27

5、.EaO o 3正交矩陣r,使廠二如石.®y其中，人m、p.為2的全部特征根.(3) 2 >0 O T的任一主子式均大于零.(4)工 > 0 O Va G RP,有A 0 ,且ala = 0 o a = 0."0 o存在且L >0§ 3多元總體一、多元總體設觀測指標為則嚴構成一個維隨機 向量一UCJ；)',工的一切町能取值的全體就構成了元總 體，仍記作r左維隨機向量丄的概率分布即為所對應總體的概率分布，工 的數(shù)字特征也即為所對應總體的數(shù)字特征.二、樣本觀測陣設對元總體進行了"次觀測，記兒廠(町；2為第/次的觀測結果(,“ 2.“

6、)，每次的觀測結果稱為一個樣品如果斗）.-1缶J"）滿足；（1）心忑2）：”）相互獨立；（2）每個一均與總體#具有相同的概率分布.稱心心為來|'|總體T的一個容帰為的簡E隨機樣木，仍 簡稱為樣本.稱樣木觀測值的金體構成的矩陣5托2丐夕>丫22.呵.%2為樣木觀測陣（資料陣）.三、樣本數(shù)字特征m片2衛(wèi)J2- %1 樣本均值（向承）=-工勺*稱T =（片：?，忑y為樣木均值向量樣本離差陣» = X（a -£）（$ -弓），稱s=（»）E為樣木離差陣3 樣木協(xié)蓉旳 稱呂幾為樣水協(xié)差阻4 樣木相關陣記 =二"l （= 戶L）初'人

7、=0）皿為樣本和關陣.§ 1.3. 1多元正態(tài)分布V' 1L I!定義15 =若卩元隨機向量X=（易耳 - -X）* 的概率密度函數(shù)為=幾""宀&沁嚴兩川弓（心2小bb（EM心）則稱X=（兀亟，兀丁遵從P元正態(tài)分布，也稱炳P元正 態(tài)變量。記為X兒（円遲）|Z|為協(xié)差陣Z的行列式。二、一般的正態(tài)分布設隨機向量x=3,召,©）',若其的密度函數(shù)為/（聲，丐，,x”）=5）胡謂¥ expl（x-/z/Z-'（X-/Z）_8V兀 V+oc其中x=a，七,-»）"的均值為Ez=g、g、A） 協(xié)方并為3

8、“）2（/aX-v, /a）»=£3 “）a Mx® /）（七/）"（七一“XXp 一已）（x _“pX七/a）（Xp 一比y_（幵_“心/）稱x = 3,形，,亠,）服從均值為E（X）,協(xié)方差為X的止態(tài)分布。馬氏足巨離定JJJ設總體G為機維總體（考察"2個指標），均值向量為二（"1，P 2， ，心,協(xié)方差陣為S = （ a.p,則樣品 X=（xX3，.,x,）'與總體G的馬氏距離定義為2（x,g）=（x -“k（x -/）當= 1時山2（丸0 =（X-"）（X-“）_（X-“）2二名詞解釋1、多元統(tǒng)計分析：多元統(tǒng)計

9、分析是運用數(shù)理統(tǒng)計的方法來研究多變量（多指標）問題的理 論和方法，是一元統(tǒng)計學的推廣 2、聚類分析：是根據(jù)“物以類聚”的道理，對樣品或指標進行分類的一種多元統(tǒng)計分析方 法。將個體或對象分類，使得同一類中的對象之間的相似性比與其他類的對象的相似性更強。 使類內對象的同質性最大化和類間對象的異質性最大化3、隨機變量：是指變量的值無法預先確定僅以一定的可能性（概率）取值的量。它是由于隨 機而獲得的非確定值，是概率中的一個基本概念。即每個分量都是隨機變量的向量為隨機向 量。類似地，所有元素都是隨機變量的矩陣稱為隨機矩陣。,把樣本的信息濃縮4、統(tǒng)計量：多元統(tǒng)計研究的是多指標問題 ，為了了解總體的特征,通

10、過對總體抽樣得到代表 總體的樣本，但因為信息是分散在每個樣本上的，就需要對樣本進行加工到不包含未知量的樣本函數(shù)中，這個函數(shù)稱為統(tǒng)計量二、計算題2 '-14"16K設畫心哥峯/爐乩其中尹=（1Q紂尼=-42試判斷® + 2屯與宀-延是否獨立?"01-P5” 2、1000二11力103/4-3< Z0解:F八0 1 -r1 0 0®丿血+ 3工3 ;J 0 2,疋1 + 2工”他Xj 工八1-r-42、91-r00-4-1100022-14102V-6一16203040'10-6-Id、A r 10-d-】G1Id20 >J-16

11、300'2故旳片的聯(lián)合分祐為妝1故不獨立口2、對某地區(qū)農(nóng)村的6名2周歲男嬰的身高、胸圉、上半臂圍進行測雖， 得相關茲據(jù)如下，根據(jù)以往資料，該地區(qū)城市2周歲男嬰的這三個指標的 均值如=(90上乩i&r現(xiàn)欲在峯元IE態(tài)性的假定下檢驗該地區(qū)農(nóng)村男翌是 否與城市男嬰有相同的均值.出 2.0"4.3107-14.6210E9464 =基中x=60.2= (115.6924)-'-14.62103.172-37 376014.5、S.9464-37 376035.5936 丿2、(a=Om.用0102) = 99.2.0103) =295 血mCV) =167)答:2假設

12、檢驗問題r H.&、4=兩R.彈壬氏經(jīng)計算可得，左一處='4.3107=(23.13848)- -14.62108.94642,2廠1J-14.62103 172-37 37608.9464 1-37.376035.5936/構造檢驗統(tǒng)計量：尸=旳(壬-曲ys"(壬-坯)= 6x70.0741 = 420.445由題目己知熱加(3,) = 295由是略=竽竝023) = 147 5所以在顯著性水平=001下，拒絕原設 即認為農(nóng)村和城市的2周歲男嬰上述三個 指標的均值有顯著性差異肛 設X = (Ai，K，禺，耳)協(xié)方差陣£ =QP.P(1) 試從工出發(fā)求X W

13、第一總體王成分M答:A-1-P-P-P-PA 1-P-P-QA -1一P-P一 P-P幾14由=0得特征根為人=打3爐(2) 試問當0取多丸時才能便第一主成分的融率達吧?以上.爲=> =人=1-£fA-l懈?斯對應的方程-p-p-p-p一P-p-pA 1-叩八一口-p幾一 1丿忑2X. ' /得入所對應的單儻特征向量*1 1故得第一主成分2 = * +*局+冷血£ £ £ £(2)第一個主成分的貢獻率為蟲 =1±|£95%A+幾嚴入+兒4得#竺竽二10 933題型三解答題1、簡述多元統(tǒng)計分析中協(xié)差陣檢驗的步驟答

14、：第一，第二，第三，第四，提出待檢驗的假設和H1;給出檢驗的統(tǒng)計量及其服從的分布； 給定檢驗水平，查統(tǒng)計量的分布表，確定相應的臨界值，從而得到否定域；根據(jù)樣本觀測值計算出統(tǒng)計量的值，看是否落入否定域中， 以便對待判假設做出決策(拒絕或接受)。2、簡述一下聚類分析的思想答：聚類分析的基本思想， 是根據(jù)一批樣品的多個觀測指標，具體地找出一些能夠度量樣品或指標之間相似程度的統(tǒng)計量，然后利用統(tǒng)計量將樣品或指標進行歸類。把相似的樣品或指標歸為一類，把不相似的歸為其他類。直到把所有的樣品(或指標)聚合完畢.3、多元統(tǒng)計分析的內容和方法答：1、簡化數(shù)據(jù)結構，將具有錯綜復雜關系的多個變量綜合成數(shù)量較少且互不相

15、關的變量，使研究問題得到簡化但損失的信息又不太多。(1)主成分分析(2)因子分析(3)對應分析等(1)聚類分析：根據(jù)分析樣本的各研(2)判別分析：判別樣本應屬何種類型的統(tǒng)計2、分類與判別，對所考察的變量按相似程度進行分類。 究變量，將性質相似的樣本歸為一類的方法。方法。4、系統(tǒng)聚類法基本原理和步驟答:1)2)3)4)5)6)7)先計算n個樣本兩兩間的距離 構造n個類，每個類只包含一個樣本 合并距離最近的兩類為一新類 計算新類與當前各類的距離 類的個數(shù)是否等于 畫出聚類圖 決定分類個數(shù)和類1，如果不等于回到3在做聚類分析的類型有：答：(1) 對樣本分類，稱為(2) 對變量分類，稱為5、Q型聚類分

16、析R型聚類分析#Q型聚類是對樣本進行聚類，它使具有相似性特征#R型聚類是對變量進行聚類，它使具有 差異性大的變量分離開來，可在相似變量中選擇少數(shù)具有代表性的樣本聚集在一起，使差異性大的樣本分離開來。 相似性的變量聚集在一起，的變量參與其他分析，實現(xiàn)減少變量個數(shù)，達到變量降維的目的。6、簡述歐氏距離與馬氏距離的區(qū)別和聯(lián)系。4*1簡述歐氏距離與馬氏距離的區(qū)別和聯(lián)系答I設P錐空闔耐中的兩點x=（XpX2.»xpr和Y=則歐氏距禽為歐氏距離的局限育在多無數(shù)據(jù)分析中，其度童不合理-會受到弼間題 中壘綱的雪響°設瓦Y是來自均值向壘為卜，協(xié)方差為£的總體G中的P維樣本.則馬氏距

17、離為Da ¥）= X-Y Z XY.當忑=【目卩單位陣時，D尿Y）二X Y' X丫=二1人 =即歐氏距離-因此，在一宦程度上，歐氐距離是馬氏距離的特殊情況-馬氏距離是歐氏距離的推廣.7、試述系統(tǒng)聚類的基本思想。答：系統(tǒng)聚類的基本思想是：距離相近的樣品（或變量）先聚成類，距離相遠的后聚成類, 過程一直進行下去，每個樣品（或變量）總能聚到合適的類中。8對樣品和變量進行聚類分析時所構造的統(tǒng)計量分別是什么？簡要說明為什么這樣構造？答：對樣品進行聚類分析時，用距離來測定樣品之間的相似程度。因為我們把n個樣本看作P維空間的n個點。點之間的距離即可代表樣品間的相似度。常用的距離為（-）明氏

18、距庖;Xih X批jt-iq取不同值，分冷P（丄）（2）（3）絕對距離（1）巧0 =工I疋進_産Jt-l *切比雪夫距離（可h也）仏®歐氏距離（二）馬氏距離（三）蘭氏距離心耐）=CX, -xp攏們更多地要了解變壘的變化趨勢或變化方向，因此用相關性進行衛(wèi)壘°對變壘的相佩性，將變堡看作P維空間的向量，一般用（）夫角余弦V工兀（二）相關系數(shù) n<1兀兀）q =丄Jz （死-兄）嗔3川-無9、在進行系統(tǒng)聚類時，選擇距離公式應遵循哪些原則?如歐氏距離就有非常明確的答：（1）要考慮所選擇的距離公式在實際應用中有明確的意義。 空間距離概念。馬氏距離有消除量綱影響的作用。(2 )要綜合考慮對樣本觀測數(shù)據(jù)的預處理