函數(shù)定義域--抽象函數(shù)定義域的求法

1、知識闖關(guān)考點明示：1、了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域2、會求一些較為復(fù)雜的函數(shù)的定義域；3、理解并初步掌握求定義域的逆向思維知識梳理已知函數(shù)的解析式，若未加特殊說明，則定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍。一般有以下幾種情況：1、分式中的分母不為零；2、偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零；3、指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一；4、對數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。5、正切函數(shù)y tanx x R,且x1. (2008 全國 I 理，1)函數(shù) y= x(x 1)Jx的定義域為A.x|x 0C.x|x 1 U0答案CB.x|xD.x|01x 12. （2009 河南新鄭二中模

2、擬）函數(shù)y= log 2（x 1）的定義域是,2 xA. 1,2B.2)C.(2, +00)D.(-巴2)答案B3. （2008 湖北理，4）函數(shù)f (x) =Lnx3xx2 3x 4)的定義域為A.-OOB.C. -4 , 0) U ( 0, 1答案 DD.(-4, 0) U ( 0, 1)-4, 0) U ( 0, 1)4、y= (x 1)x| x1，即 x|x|口 x 10, 口解：由題意得，化簡得|x| x 01 一.故函數(shù)的JE義域為x|x0且x，-1.0難點突破或易錯點明晰（此處結(jié)構(gòu)為考查角度（知識點），單獨成行。例題精析（例題+分析）變式訓(xùn)練（附答案及解析，也就是做成教師用書格式

3、）考查角度:1、已知f（x）的定義域，求f g（x）的定義域2、已知f g（x）的定義域，求f（x）的定義域3、已知的定義域，求的定義域4、求由有限個抽象函數(shù)經(jīng)四則運算得到的函數(shù)的定義域5、應(yīng)用題中的定義域除了要使解析式有意義外，還需考慮實際上的有效范圍。例題精析:例1已知函數(shù)f(x)的定義域為15，求f(3x 5)的定義域.分析：若f (x)的定義域為a x b,則在f g(x)中，a g(x) b ,從中解得x的取值范圍即為 f g(x)的定義域.本題該函數(shù)是由u 3x 5和f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),其中x是自變量，u是中間變量，由于 f(x)與f(u)是同一個函數(shù)，因此這里是已知1&u05

4、,即103x 5 0 5,求x的取值范圍.410解：Qf(x)的定義域為15,1 3x 5 5 ,- x ,334 10故函數(shù)f (3x 5)的定義域為 4,-0 .3 3變式訓(xùn)練：1若函數(shù)yf(x)的定義域為 1,2，則f (log 2 x)的定義域為2x 2 ；所以y f (log 2 x)中有1 一. 1分析：由函數(shù)y f(x)的定義域為 1,2可知：122log2 x 2。解：依題意知：解之，得： 2x41 log2 x 22f (log 2 x)的定義域為x|j2 x 4例2已知函數(shù)f(x2 2x 2)的定義域為 0,3 ,求函數(shù)f(x)的定義域.分析：若f g(x)的定義域為m x

5、 n ,則由m x n確定的g (x)的范圍即為f(x)的定義域.這種情況下，f (x)的定義域即為復(fù)合函數(shù)f g(x)的內(nèi)函數(shù)的值域。本題中令 u x2 2x 2,則 f(x2 2x 2) f(u),由于f (u)與f (x)是同一函數(shù)，因此 u的取值范圍即為 f(x)的定義域.解：由 0 & x & 3 ,得 1 w x2 2x 2 w 5 .令 u x2 2x 2,則 f(x2 2x 2) f(u) , 1 u5.故f(x)的定義域為15變式訓(xùn)練：已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為解：由，得所以，故填例3.函數(shù)定義域是，則的定義域是()A. B. C. D.分析：已知的定義域，求的定義域，

6、可先由定義域求得的定義域，再由的定義域求得的定義域解：先求的定義域的定義域是，即的定義域是，再求的定義域的定義域是，故應(yīng)選A變式訓(xùn)練：已知函數(shù)f(2 x)的定義域是-1 , 1,求f(log 2X)的定義域.分析：先求2x的值域為M則log 2X的值域也是 M,再卞據(jù)log 2X的值域求定義域。1解 ,y=f(2 x)的定義域是1-1, 1,即-1 wxwi, 2 W222.1函數(shù) y=f(log 2X)中 2 w log 雙w 2.即 log 22 log 2X log 24, 22 x4.故函數(shù)f(log 2X)的定義域為J2 , 4例4若f(X)的定義域為3,5 ,求(x) f( x)

7、f (2x 5)的定義域.分析：求由有限個抽象函數(shù)經(jīng)四則運算得到的函數(shù)的定義域，其解法是：先求出各個函數(shù)的定義域，然后再求交集.、.3 x5,解：由f(x)的定義域為3,5 ,則(x)必有 解得 4 x0.3 2x 5 5,所以函數(shù) (x)的定義域為4,0 .變式訓(xùn)練：已知函數(shù)的定義域是，求的定義域。分析：分別求f(x+a)與f(x-a)的定義域，再取交集。解：由已知，有,即函數(shù)的定義域由確定函數(shù)的定義域是例3、某單位用木料制作如圖所示的框架,框架的下部是邊長分別為 x、y(單位：m) 的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架圍成的總面積 8cm2.問x、y分別為多少(精確到 時用料最?。糠治觯?/p>

8、應(yīng)用題中的定義域除了要使解析式有意義外，還需考慮實際上的有效范圍。實際上的有效范圍，即實際問題要有意義，一般來說有以下幾中常見情況：(1)面積問題中，要考慮部分的面積小于整體的面積；(2)銷售問題中，要考慮日期只能是自然數(shù)，價格不能小于0也不能大于題設(shè)中規(guī)定的值(有的題沒有規(guī)定)；(3)生產(chǎn)問題中，要考慮日期、月份、年份等只能是自然數(shù)，增長率要滿足題設(shè)；(4)1 C路程問題中，要考慮路程的范圍。本題中總面積為S三角形 S矩形xy X2 8,由于一,4xy 0,于是1x2 8,即x 4叵。又x 0,，x的取值范圍是0 x 4 J2。4解：由題意得28勺xy+ x =8, - y=- = (0x4

9、 /6 4- 2 .22x當(dāng)(3 +J2)x= 16，即x=8 4 J2時等號成立. 2x此時，x ,y=2 J2 =.故當(dāng)x為,y為時，用料最省.變式訓(xùn)練：13. (2007 北京理，19)如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為 2r,短半軸長為r.計劃將此鋼板 切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底 CD的端點在橢圓上.記CD=2x,梯形面積為S.(1)求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；(2)求面積S的最大值.解(1)依題意，以AB的中點。為原點建立直角坐標(biāo)系O-xy (如圖)，則點C的橫坐標(biāo)為x,點C的縱坐標(biāo)y滿足方程22三七1,r 4r1斛得 y=2 r r x

10、 (0xr).S= (2x+2r)24 r x=2(x+r) - ,r2 x2 ,其定義域為x0xr.(2)記 f(x)=4(x+r)2(r 2-x 2),0xr,則 f (x)=8(x+r) 2(r-2x).令 f (x)=0,得 x=lr.因為當(dāng) 0x0;22當(dāng)Lxr時,f (x)0 ,所以f (工r)是f(x)的最大值.22因此，當(dāng)x=1r時，S也取得最大值，最大值為 jf (1r) 竽 r2.即梯形面積S的最大值為 以3r2. 2鞏固訓(xùn)練(各專題題目數(shù)量盡量一致，各題均附答案及解析)1 .設(shè)函數(shù)的定義域為，則(1)函數(shù)的定義域為。(2)函數(shù)的定義域為分析：做法與例題1相同。解：(1)由已知有，解得故的定義域為(2)由已知，得，解得故的定義域為2、已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為。分析：做法與例題2相同。解：由，得所以，故填3、已知函數(shù)的定義域為，則y=f(3x-5)的定義域為 o分析：做法與例題3相同。解：由，得所以，所以0W3x-5Wl,所以5/3 WxW2.1-14、設(shè)函數(shù)y=