2016年級合肥一中數(shù)學(xué)競賽A班選拔試卷(含答案)

1、2016級合肥一中數(shù)學(xué)競賽 A班選拔試卷 2016-10-07班級姓名得分一、填空題(共8小題，每題9分，共計(jì)72分)1、函數(shù)f(x)二，1X,，,2X的值域是BC2、在4ABC中，已知AB=AC,/A=40,P為AB上一點(diǎn)，/ACP=20,則AP3、已知函數(shù) f(x)是定義在(0,依)上的單調(diào)遞增函數(shù)，且f(x)Lf f(x)Mi)=2017x-22016x-2=14、已知實(shí)數(shù)x、y滿足，2017，則x+y=y-32016y-3=-15、已知函數(shù)f(x)=2x2+2x-4,g(x)=x2-x+2,集合A=«xfx)w”>.則.|g(x)6、設(shè)集合A=x1,x2,x3,x4，x

2、5,其中Xex2<x3<%,若A中所有二元子集的兩個(gè)元素之和組成的集合為B=3,4,5,|",10,11,13,則集合A=7、一列有限項(xiàng)的數(shù)：a1,a2,a3,川，斗，滿足任何三個(gè)連續(xù)項(xiàng)之和均為負(fù)數(shù)，且任何四個(gè)連續(xù)項(xiàng)之和為正數(shù)，則此數(shù)列項(xiàng)數(shù)的最大值為.8、方程1+2x'3y=z2的全部正整數(shù)解(x,y,z)組成的集合A=.二、解答題(共4題，共計(jì)78分)229、(19分)設(shè)f(x)=(1xxx+ax+b)的圖像關(guān)于x=-2對稱.(1)求f(x)的解析式；(2)若2WxE3,求f(x)的最大值和最小值第1頁共5頁2_2_.,一一10、(19分)設(shè)f(x)=x53x+

3、196+x-53x+196，求f(1)+f(2)+|十f(5011、（20分）如圖所示，已知D、E、F分別為BC、AC、AB三等分點(diǎn)，并且EC=2AE,BD=2CD,AF=2BF.若S咨bc=1,試求Sqr.12、（20分）求證：對于任意的非負(fù)整數(shù)n, 19M8n +17 是合數(shù).第#頁共5頁2016級合肥一中數(shù)學(xué)競賽A班選拔試試卷參考答案、填空題(每題9分，共72分)1、2、3、4、5、6、7、3,八；：3;1 - .52 .;5；工 3 .33, -3 - 33A = 2,2 2 .;A=1,2,3,5,8.;58、A=(3,1,5),(4,1,7M5,2,17二、解答題9. (1)解法一

4、函數(shù)f x =(1- x2)(x2 ax b)的圖象關(guān)于直線f -1 = f(-3) f(1)= f(-5) 9-3a b = 0 25-5a b =0a = 8b =15一22 一f (x )=(1 -x2)(x2 +8x+15)解法二函數(shù)f (x ) = (1 -x2)(x2 + ax+ b)的圖象關(guān)于直線x = -2對稱10分x = -2對稱函數(shù)y = f(x)的圖像向右平移兩個(gè)單位得到的函數(shù)y= f (x-2)的圖像關(guān)于x = 0對稱 f(x-2) =1-(x-2)2(x-2) 2+a(x-2)+b是偶函數(shù)5分設(shè)g x) = f(x2) = -x4 +(8 a)x3 + (12a b

5、23) x2 +(28 11a + 4b) x + 8a 4bVg( -x) =g(x)8 -a=028 -11a 4b= 0f a = 8解得b =15_22f x = (1 - x )(x 8x 15)10分解法三函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)f(T)=0,f(1)=0f(x)圖象關(guān)于直線x=-2對稱f(-3)=0,f(-5)=02x+ax+b=(x+3)(x+5).a=8,b=15f x =(1 -x2)(x2 8x 15)10分(2)解法一(換元法)由(1)可知fx)：=(1-x2)(x28x15)=-(x1)(x-1)(x3)(x5)=-(x1)(x3)(x-1)(x5

6、)=-(x24x3)(x24x-5)15分令t=x2+4x.xG-2,3,Ate-4,2119分.f(x)=g(t)=-(t3)(t-5)=-t22t15,t1-4,21"X)max=g(1)=16,f(x)min=g(21)=384解法二(求導(dǎo)法)由(1)可知一2.2_._4_3.2_._fx=(1-x)(x8x15)=-x-8x-14x8x15一_3_2_3_2_2f'(x)-4x-24x-28x8-4(x6x7x-2)-4(x2)(x4x-1)令f'(x)=0得Xi=2-、.5,x2=2,必=一2、5二f(x)在(-g,-2-75),(-2,-2十V5)上是增函

7、數(shù),在區(qū)間(-2-J5,2),(-2+J5,+8)上是減函數(shù)f(x)在二2,-2+75上單調(diào)遞增，二2+75,3上單調(diào)遞減又f(-2)>f(3):f(X)max=f(-25)=16,f(x)min=f(3)=-38410.由X2-53x+196=(x4)(x49)90得4£49一10分15分目口0,4MxM49即f(x)=2(x-4)(x-49),x:二4,x4919分f(4)=f(5)=f(49)=0，f(1)f(2).f(50)=f(1)f(2)f(3)f(50)=66011.過E作EM/BC,交AD于MvEC=2AE.EM:CD=1:310分15分EM1DB6EP1=BP6,SABP:SPE=6:1c1c612,S&BE=3SBP=73=72同理S.BCQ=S.CAR=7c21-SPQR=1-3-=-7712.設(shè)A(n)=19父8n+17(1)當(dāng)n=2k(kCN)時(shí)A(n)=19父8n+17=19父82k+17=18父82k+(63+1)k+17三0(mod3)此時(shí)3|A(n),所以A(n)是合數(shù)5分(2)當(dāng)n=4k+1(kCN)時(shí)A(n)=19/84k書+17=13x84k書+39父84k+9m(651)2k+13+4三0(mod13)此時(shí)131A(n),所以A(n)是合數(shù)10分(3)當(dāng)n=4k+3(kCN)時(shí)A(n)=19父84k書+1