阿基米德多面體變異（課堂PPT）

1、1多面體的變異結(jié)構(gòu)多面體的變異結(jié)構(gòu)2 除了幾何形單體結(jié)構(gòu)外，在該五種多面體的基礎(chǔ)上，還可以進(jìn)行多面體的變異構(gòu)成，其變化的基本原理是：將各平面多面體的原型，切掉其頂角，在頂角被切割后，原來(lái)頂角所占有的位置，便可形成新增加的平面。一般情況下，頂角被切掉的越多，組成表面的平面，增加的數(shù)量也越多，其多面體便越接近于圓球。對(duì)于頂角的切割，可采取在相鄰棱線的中點(diǎn)間連線，也可以在棱線長(zhǎng)度的三分之一位置連線。由于切割棱線的部位不同，多面體所產(chǎn)生的新造型也有所不同。此外，多面體的變異構(gòu)成，還可以在原型上，或在各種變異造型上，進(jìn)行凹凸加工變化，或進(jìn)行曲線折曲和透雕造型，其變化豐富多彩。3 （一）（一） 切去頂角的

2、加工變異構(gòu)成切去頂角的加工變異構(gòu)成 1、十四面體的立體造型結(jié)構(gòu)，有三種構(gòu)成方法： 以正六面體為基礎(chǔ)，切去其頂角構(gòu)成的。即將正方體的立體造型的八個(gè)頂角，在相鄰棱線的中點(diǎn)處連接，把頂點(diǎn)切掉。 每個(gè)頂點(diǎn)所余下的平面，由于是三個(gè)面所組成的棱角，所以，切去棱角后，成為八個(gè)正三角形。加上原有的六個(gè)正方體的平面，便成為十四個(gè)平面組成的多面體。4 該立體為六個(gè)正方體，八個(gè)正三角形，有棱角頂點(diǎn)十二個(gè)，棱線二十四條。56 2、以正八面體為基礎(chǔ)，切掉其六個(gè)頂角。即：將原有的八個(gè)正三角形，由棱線的中點(diǎn)，向鄰邊的中點(diǎn)連線，使原有的正三角形，變成為八個(gè)小三角形，六個(gè)棱角轉(zhuǎn)換為六個(gè)正方形。7 3、將正八面體原有的八個(gè)三角形

3、棱邊，從三分之一處連線，將三角形轉(zhuǎn)換為正六角形，原有棱角所切下的四個(gè)邊，便形成為小的正方形。 該十四面體結(jié)構(gòu)，是由八個(gè)正六角形和六個(gè)正方形組成。棱角二十四個(gè)，棱線三十六條。89 4、三十二面體的立體造型 三十二面體球體結(jié)構(gòu)，是由十二個(gè)正五角形和二十個(gè)正六角形平面所組成，它是一個(gè)較好的球形結(jié)構(gòu)。 該球體是來(lái)源于正二十面體，或正十二面體的加工變化。其構(gòu)成原理，同上述球體結(jié)構(gòu)的變化一樣，都是通過(guò)對(duì)其頂角的切割而形成的。其具體的加工辦法，有如下四種四種： 以正二十面體為基礎(chǔ)進(jìn)行加工。 正二十面體的表面結(jié)構(gòu)，為正三角形平面二十個(gè)，棱線三十條，頂角十二個(gè)。 從其相鄰棱線的三分之一處連接，切割后其變化是：原

4、有的正三角形平面，改變?yōu)檎切?。原?lái)由五個(gè)三角形平面所組成的正五角形錐體，切割后的頂角，則改變?yōu)檎褰切纹矫妗?0 結(jié)果由正二十面體加工而成的，三十二面體表面結(jié)構(gòu)為：正六角形平面二十個(gè)，加上由十二個(gè)頂角轉(zhuǎn)換而來(lái)的正五角形平面十二個(gè)，共計(jì)三十二面。此結(jié)構(gòu)即為足球花體表面的構(gòu)成造型。1112 5、如果以正二十面體相鄰棱線的中點(diǎn)連線，進(jìn)行切割時(shí)，可產(chǎn)生等棱三十二面體。 原二十個(gè)正三角形，變換為轉(zhuǎn)體90的二十個(gè)小型正三角形。原被切割的十二個(gè)頂角，則成為增加的十二個(gè)正五角形平面，共計(jì)為三十二個(gè)平面。13146、以正十二面體為基礎(chǔ)，加工變化的三十二面體結(jié)構(gòu)，與上例中用正二十面體的棱線中間點(diǎn)加工，其結(jié)果是

5、一樣的。正十二面體表面，包括：正五角形平面十二個(gè)，棱線三十條，頂角二十個(gè)。將相鄰棱線從二分之一處連線，其原有頂角被切割后，轉(zhuǎn)換為正三角形，原來(lái)的正五角形，則改變?yōu)樾螤羁s小，并轉(zhuǎn)體72的正五角形，數(shù)量仍為十二個(gè)。加上頂角被切割后，增加的二十個(gè)平面，共為三十二個(gè)平面。15 上述各例，均由等邊、不等形的多面體表面結(jié)構(gòu)組成。此外，還可以構(gòu)成不等邊或多種形的組合結(jié)構(gòu)，以及在各種多面體原型結(jié)構(gòu)上，進(jìn)一步加工，將其部分平面加以擴(kuò)大或縮小，或者，將正等邊幾何形轉(zhuǎn)化為斜向幾何形（如：平行四邊形等）。另外，還可以在原有的立體表面平面圖形上，進(jìn)行凹凸的加工變化，及進(jìn)行透雕造型等，從而會(huì)產(chǎn)生更為豐富多彩的立體造型。1

6、6 （二）不等邊結(jié)構(gòu)及經(jīng)過(guò)修正加工的造型（二）不等邊結(jié)構(gòu)及經(jīng)過(guò)修正加工的造型 1、不等邊六面體造型結(jié)構(gòu) 以正方形對(duì)角線分割而成的等腰三角形為基本形，組成的菱形六面體的立體造型。其中含等腰三角形平面六個(gè)、棱線九條、錐頂四個(gè)，是一種非正多面體的變體造型。17 2、扁十面體立體造型 它是以十個(gè)正三角形為基本形，組成上、下相合的二個(gè)正五角錐體。其造型富于對(duì)比變化，是一種具有裝飾性的形體之一。18 3、二十六面體造型結(jié)構(gòu) 這是從十四面體加工而來(lái)的多面體立體造型。 十四面體是由六個(gè)正方形平面與八個(gè)正三角形平面組成。其中含四面組成的頂點(diǎn)角十二個(gè)，棱線二十四條。 對(duì)于十四面體的加工，是在相鄰棱線的中間點(diǎn)，進(jìn)行

7、連線并切割，其原有的四棱錐角十二個(gè)，被切割后，形成了不等邊的四邊形，在此基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)修正加工，可轉(zhuǎn)換成十二個(gè)正方形平面。原有的八個(gè)正三角形，轉(zhuǎn)換為縮小的八個(gè)正三角形。其結(jié)果為：正方形十八個(gè)，加上正三角形八個(gè)，共二十六個(gè)平面構(gòu)成。1920 4、十四面體轉(zhuǎn)換為二十六面體的另一種造型結(jié)構(gòu)，是在棱線三分之一處連線，使原有正方形改變?yōu)檎私切危械恼切?，改變?yōu)檎切?，原有四個(gè)平面組成的頂角，切割后轉(zhuǎn)換為不等邊的四邊形，經(jīng)過(guò)修正加工而成為正方形。 該二十六面體結(jié)構(gòu)表面，含正八角形六個(gè)，正六角形八個(gè)，正方形十二個(gè)。2122 5、三十八面體結(jié)構(gòu) 該多面體是由正方形、正三角形組成的二十六面體結(jié)構(gòu)，經(jīng)修正

8、加工而轉(zhuǎn)換來(lái)的。其加工方法是，將原有正方形平面，每相隔一個(gè)，改換為用二個(gè)正三角形合成的平行四邊形，從而形成為正方形間斜向銜接的三十八面體。該立體造型是由六個(gè)正方形平面，和三十二個(gè)正三角形平面組成，其棱角頂點(diǎn)二十四個(gè)，棱線四十八條。2324 6、六十二面體結(jié)構(gòu) 該立體造型，系有原三十二面體結(jié)構(gòu)（正五角形和正三角形組成）轉(zhuǎn)化而來(lái)。其加工方法是，將正五角形和正三角形的棱線，在中間點(diǎn)連線，從而切掉了五角形頂部四角錐，形成了不等邊的四邊形。在此基礎(chǔ)上再調(diào)整部分邊長(zhǎng)，將五角形棱線中點(diǎn)連線內(nèi)移，縮小五邊形，使長(zhǎng)方形修正加工為正方形。該結(jié)構(gòu)表面，是由正五角形十二個(gè)，正方形三十個(gè)，正三角形二十個(gè)所組成。2526

9、 7、除上例六十二面體結(jié)構(gòu)的造型外，再經(jīng)過(guò)切割加工，仍可塑造出另一種六十二面體結(jié)構(gòu)造型。這種造型是在上例六十二面體基礎(chǔ)上，擴(kuò)大其五邊形為十邊形，將五邊形的頂部，過(guò)角頂橫向切割，使原有的正三角形，改變?yōu)檎切?，原有的正方形平面在原位縮小，形成由正十邊形十二個(gè)，正方形三十個(gè)，正六角形二十個(gè)所組成的六十二面體結(jié)構(gòu)造型。2728 8、九十二面體結(jié)構(gòu) 它是目前球體等邊形構(gòu)成表面結(jié)構(gòu)數(shù)量最多的一種。它是由十二個(gè)正五角形平面，八十個(gè)正三角形平面所組成。 九十二面球體的形成，是由六十二面體，經(jīng)過(guò)修正加工轉(zhuǎn)換而來(lái)。其加工方法：是將五邊形每邊相連接的正方形，修改為二個(gè)顛倒的正三角形組成的平行四邊形。從而將六十二

10、面體結(jié)構(gòu)中的三十個(gè)正方形，改換為六十個(gè)正三角形，加上原有的二十個(gè)正三角形，合計(jì)為八十個(gè)。 其表面結(jié)構(gòu)的平面展開圖，是以十二個(gè)正五角形為中心，每個(gè)五角形的周圍，連接五個(gè)正三角形，組成一個(gè)正五角星，以此為單元進(jìn)行組合構(gòu)成。其中上半球和下半球各有六個(gè)單元，球頂和球底的兩個(gè)單元，除“五角星”外，每個(gè)角側(cè)再附加一個(gè)正三角形，即每個(gè)單元為一個(gè)正五角形，周圍為十個(gè)正三角形組成。其余的十個(gè)單元，每個(gè)單元附加一個(gè)正三角形。在整體排列上，以球體的單元為中心，周圍排列五個(gè)單元，該五個(gè)單元的外圍，又延伸一個(gè)單元，以此組成球體的下半部。293031 9、不等邊一百八十面體結(jié)構(gòu) 該造型是在三十二面體結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)修正加

11、工而成。其加工方法：將原有正五角形平面，改變?yōu)樯傧蛲馔钩龅谋馄叫挝褰亲刁w（由五個(gè)等腰三角形組成），將原有的正六角形平面，同樣改變?yōu)樯傧蛲馔钩龅谋馄叫瘟亲刁w（由六個(gè)等腰三角形組成）。合計(jì)為十二個(gè)五角錐（六十個(gè)三角形），二十個(gè)六角錐（一百二十個(gè)三角形）所組成。3233 （三）凹凸變異結(jié)構(gòu)造型（三）凹凸變異結(jié)構(gòu)造型 1、正二十面體的凹加工 它是在正二十面體相鄰棱線的四分之一點(diǎn)連線，并在其頂角部位向內(nèi)凹入所構(gòu)成。其結(jié)構(gòu)，含不等邊六角形平面二十個(gè)，在原有頂角部位，凹下五角形椎體十二個(gè)。34 2、在二十面體基礎(chǔ)上，從棱線三分之一處連線，將其頂角進(jìn)行曲線加工，使其向內(nèi)圓形凹入所形成的立體造型。35 3、是

12、按正十二面體結(jié)構(gòu)，在正五邊形的部位，用正圓形凹凸加工變化，所組成的立體造型。36 4、以三十二面體為基礎(chǔ)，在正五角形的部位，進(jìn)行五角錐形的凹入構(gòu)成 其加工方法：三十二面體表面包括正五角形十二個(gè)。其凹入的正五角形椎體加工，是以正六角形為一個(gè)單元，用其中五個(gè)正三角形，組成凹入的椎體，余下的一個(gè)三角形改為粘口而成，原三十二面體的正三角形，是在凹入五角錐的單元中間，間隔兩個(gè)對(duì)角的正三角形二十個(gè)所構(gòu)成。37 三十二面體正三角形部位凹入加工38 三十二面體正五角形部位凹入加工39 三十二面體五角凹凸造型效果圖40 三十二面體五角形凹入和三角形凸出加工效果圖41 二十六面體凹凸加工變化42 二十六面體角部凹

13、入造型效果圖43 六十二面體五角形凹入加工44 正十二面體五角形凸加工效果圖45 正十二面體五角凸加工效果圖46 三十八面體在八角形部位的凹凸加工造型47 二十六面體凹凸加工效果圖48在正六面體的基礎(chǔ)上，將各面凸出一個(gè)在正六面體的基礎(chǔ)上，將各面凸出一個(gè)四棱錐的四十八面體的造型。六個(gè)四棱四棱錐的四十八面體的造型。六個(gè)四棱錐的整體結(jié)構(gòu)，為一個(gè)穿插在正六面體錐的整體結(jié)構(gòu)，為一個(gè)穿插在正六面體中的正八面體。中的正八面體。正八面體的正四棱錐基本形，為正三角正八面體的正四棱錐基本形，為正三角形平面，而正六面體的三角錐的基本形，形平面，而正六面體的三角錐的基本形，為一個(gè)直角三角形。為一個(gè)直角三角形。49 上

14、圖頂角部位的凹凸加工變化50 該結(jié)構(gòu)用正三角形基本形所組成的立體造型51 六十二面體結(jié)構(gòu)，在正十角形與正六角形部位的凹入加工造型52 三十二面體凸加工造型53 正六面體凹凸造型54 正二十面體凹角加工造型55 正二十面體頂角凹凸加工造型56 正二十面體三角形凹入造型57 正二十面體三角形凸出造型58 六十二面體五角形部位凹凸加工造型效果圖5960本體變化本體變化 就是在多面體的造型上直接進(jìn)行加工，不除量，就是在多面體的造型上直接進(jìn)行加工，不除量，也不增形。也不增形。A A 棱邊處理棱邊處理 單線變復(fù)線，單線變復(fù)線，將多面體棱邊處理為雙線，這樣棱將多面體棱邊處理為雙線，這樣棱邊形成了一個(gè)狹窄棱面

15、，棱角由尖銳變成了平鈍。邊形成了一個(gè)狹窄棱面，棱角由尖銳變成了平鈍。61折痕線變形折痕線變形 將多面體原來(lái)筆直的棱邊折痕線變成曲線的處理，幅將多面體原來(lái)筆直的棱邊折痕線變成曲線的處理，幅度不宜過(guò)大，可使原來(lái)嚴(yán)肅的形體變得優(yōu)美起來(lái)。度不宜過(guò)大，可使原來(lái)嚴(yán)肅的形體變得優(yōu)美起來(lái)。棱邊壓屈棱邊壓屈 壓屈部分的壓幅不宜過(guò)大。壓屈部分的壓幅不宜過(guò)大。切挖切挖 在棱邊部位作直線或弧線切挖，切除部分的量，切挖的長(zhǎng)度在棱邊部位作直線或弧線切挖，切除部分的量，切挖的長(zhǎng)度和面積不宜過(guò)大，否則多面體的結(jié)構(gòu)會(huì)變形，甚至散架。和面積不宜過(guò)大，否則多面體的結(jié)構(gòu)會(huì)變形，甚至散架。62B 棱角處理 切角切角 將多面體的棱角部分作直線或弧線切割，將多面體的棱角部分作直線或弧線切割，將角去掉。將角去掉。角凹凸角凹凸 將多面體外棱角進(jìn)行折入或折入再凸出處理，折痕線可以處理將多面體外棱角進(jìn)行折入或折入再凸出處理，折痕線可以處理為直線，也可為弧線。為直線，也可為弧線。63表面