一元二次方程根的判別式教學(xué)案例及反思

1、教學(xué)基本信息課題（教材版本名稱(chēng)、章、節(jié)名稱(chēng)）九年級(jí)上冊(cè)第二十二章第二節(jié) 一元二次方程根的判別式整理及工作單位 隋立君 河北省三河市第九中學(xué)指導(dǎo)思想與理論依據(jù) 將自己在本節(jié)課教學(xué)中的亮點(diǎn)設(shè)計(jì)所依據(jù)的指導(dǎo)思想或者核心教育教學(xué)理論簡(jiǎn)述即可，指導(dǎo)思想和依據(jù)的教育理論應(yīng)該在后面的教學(xué)過(guò)程中明確體現(xiàn)出來(lái)。本部分內(nèi)容必須和實(shí)際的教學(xué)內(nèi)容緊密了解，避免出現(xiàn)照搬課標(biāo)中整個(gè)模塊的教學(xué)指導(dǎo)思想等情況本著“以學(xué)生發(fā)展為本”的教育理念，同時(shí)也為了使學(xué)生都能積極地參與到課堂教學(xué)中，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，本節(jié)課主要采用了引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、講練結(jié)合的教學(xué)方法，按照“實(shí)踐認(rèn)識(shí)實(shí)踐”的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)，以增加學(xué)生參與教學(xué)過(guò)程的機(jī)會(huì)和體驗(yàn)獲取

2、知識(shí)過(guò)程的時(shí)間，從而有效地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。教材分析（可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行闡述，不必面面俱到）l 課標(biāo)中對(duì)本節(jié)內(nèi)容的要求；本節(jié)內(nèi)容的知識(shí)體系；本節(jié)內(nèi)容在教材中的地位，前后教材內(nèi)容的邏輯關(guān)系。l 本節(jié)核心內(nèi)容的功能和價(jià)值（為什么學(xué)本節(jié)內(nèi)容），不僅要思考其他內(nèi)容對(duì)本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)的幫助，本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)科體系的建立、其他學(xué)科內(nèi)容學(xué)習(xí)的幫助；還應(yīng)該思考通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生學(xué)科能力甚至綜合素質(zhì)的幫助，以及思維方式的變化影響等?！耙辉畏匠痰母呐袆e式”是人教版新課標(biāo)中九年級(jí)上冊(cè)第二十二章中的一節(jié)。從定理的推導(dǎo)到應(yīng)用都比較簡(jiǎn)單。但是它在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位，既可以根據(jù)它來(lái)判斷一

3、元二次方程的根的情況，又可以為今后研究不等式，二次三項(xiàng)式，二次函數(shù)，二次曲線(xiàn)等奠定基礎(chǔ)，并且用它可以解決許多其它綜合性問(wèn)題。通過(guò)這一節(jié)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和觀察、分析、歸納的能力，以及邏輯思維能力、推理論證能力，并向?qū)W生滲透分類(lèi)的數(shù)學(xué)思想，滲透數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。學(xué)情分析（可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行闡述，但不需要格式化，不必面面俱到）教師主觀分析、師生訪談、學(xué)生作業(yè)或試題分析反饋、問(wèn)卷調(diào)查等是比較有效的學(xué)習(xí)者分析的測(cè)量手段。l 學(xué)生認(rèn)知發(fā)展分析：主要分析學(xué)生現(xiàn)在的認(rèn)知基礎(chǔ)（包括知識(shí)基礎(chǔ)和能力基礎(chǔ)），要形成本節(jié)內(nèi)容應(yīng)該要走的認(rèn)知發(fā)展線(xiàn)，即從學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)哪幾個(gè)環(huán)節(jié)，最終形成本節(jié)課要達(dá)到的知

4、識(shí)。l 學(xué)生認(rèn)知障礙點(diǎn)：學(xué)生形成本節(jié)課知識(shí)時(shí)最主要的障礙點(diǎn)，可能是知識(shí)基礎(chǔ)不足、舊的概念或者能力方法不夠、思維方式變化等。學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)一元二次方程的四種解法，并對(duì)的作用已經(jīng)有所了解，在此基礎(chǔ)上來(lái)進(jìn)一步研究作用，它是前面知識(shí)的深化與總結(jié)。從思想方法上來(lái)說(shuō)，學(xué)生對(duì)分類(lèi)討論、歸納總結(jié)的數(shù)學(xué)思想已經(jīng)有所接觸。所以可以通過(guò)讓學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦來(lái)培養(yǎng)學(xué)生探索精神和觀察、分析、歸納的能力，以及邏輯思維能力、推理論證能力。 教學(xué)目標(biāo)（教學(xué)目標(biāo)的確定應(yīng)注意按照新課程的三維目標(biāo)體系進(jìn)行分析） 知識(shí)和技能： 1、感悟一元二次方程的根的判別式的產(chǎn)生的過(guò)程； 2、能運(yùn)用根的判別式，判別方程根的情況和進(jìn)行有關(guān)的推理論證； 3

5、、會(huì)運(yùn)用根的判別式求一元二次方程中字母系數(shù)的取值范圍；過(guò)程和方法： 1、培養(yǎng)學(xué)生的探索、創(chuàng)新精神；2、培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力以及推理論證能力。情感態(tài)度價(jià)值觀：1、向?qū)W生滲透分類(lèi)的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美；2、加深師生間的交流，增進(jìn)師生的情感；3、培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作精神。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：根的判別式定理及逆定理的正確理解和運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)：根的判別式定理及逆定理的運(yùn)用。教學(xué)流程示意（按課時(shí)設(shè)計(jì)教學(xué)流程，教學(xué)流程應(yīng)能清晰準(zhǔn)確的表述本節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)，以及教學(xué)環(huán)節(jié)的核心活動(dòng)內(nèi)容。因此既要避免只有簡(jiǎn)單的環(huán)節(jié)，而沒(méi)有環(huán)節(jié)實(shí)施的具體內(nèi)容；還要避免把環(huán)節(jié)細(xì)化，一般來(lái)說(shuō)，一節(jié)課的主要環(huán)節(jié)最好控制在46個(gè)之間，這樣

6、比較有利于教學(xué)環(huán)節(jié)的實(shí)施。）序號(hào)教師學(xué)生1設(shè)計(jì)練習(xí)，創(chuàng)設(shè)情境動(dòng)手解題，親身感知2啟發(fā)引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論觀察分析、得出結(jié)論3引導(dǎo)學(xué)生，理論驗(yàn)證閱讀理解，自學(xué)教材4揭示定理內(nèi)涵加深認(rèn)識(shí)理解5應(yīng)用定理，解決問(wèn)題鞏固應(yīng)用，形成技能6歸納小結(jié)整體把握教學(xué)過(guò)程（教學(xué)過(guò)程的表述不必詳細(xì)到將教師、學(xué)生的所有對(duì)話(huà)、活動(dòng)逐字記錄，但是應(yīng)該把主要環(huán)節(jié)的實(shí)施過(guò)程很清楚地再現(xiàn)。）教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)預(yù)設(shè)學(xué)生行為設(shè)計(jì)意圖設(shè)置懸念，引發(fā)興趣同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了怎么解一元二次方程，對(duì)嗎？那么，現(xiàn)在章老師這兒還有一手絕活，就是：我隨便拿到一個(gè)一元二次方程的題目，我不用具體地去解它，就能很快知道它的根的大致情況，不信呀！同學(xué)們可以隨便

7、地出兩個(gè)題考考我。會(huì)爭(zhēng)先恐后地編題考老師這樣設(shè)計(jì)，能馬上激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，為后面發(fā)現(xiàn)結(jié)論創(chuàng)造一個(gè)最佳的心理狀態(tài)。設(shè)置練習(xí),創(chuàng)設(shè)情境。你們一定很想知道我的絕活是怎么回事吧？那么好，現(xiàn)在就請(qǐng)同學(xué)們用公式法解，以下三個(gè)一元二次方程；你們會(huì)很快發(fā)現(xiàn)我的奧秘。用公式法解一元二次方程（用投影儀打出） (注：找三名學(xué)生板演，其余學(xué)生在位上做)都在積極解答，尋找其中的奧秘。這樣設(shè)計(jì)，使學(xué)生親身感知一元二次方程根的情況，培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神，變“老師教”為“自己鉆”，從而發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動(dòng)性。啟發(fā)引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論請(qǐng)同學(xué)們觀察這三個(gè)方程的解題過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)：在把系數(shù)代入求根公式之前，每題都是先確定了a、

8、b、c的值，然后求出它的值，為什么要這樣做呢？（1）由此可見(jiàn)：在解 起著重要的作用，顯然我們可以根據(jù)的值的符號(hào)來(lái)判斷 的根的情況，因此，我們把 叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號(hào)“（讀作delta，它是希臘字母）”來(lái)表示，即=。我們說(shuō)在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中還會(huì)遇到：用一個(gè)簡(jiǎn)單的符號(hào)來(lái)表示一個(gè)數(shù)學(xué)式子的情況，同學(xué)們要逐漸適應(yīng)這一點(diǎn)，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。（3）通過(guò)解這三個(gè)方程，同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)一元二次方程根的情況有哪幾種，誰(shuí)能總結(jié)出來(lái)？會(huì)初步說(shuō)出 的作用是：它能決定方程是否可解。由于前面作了鋪墊，所以學(xué)生很快可以答出結(jié)論。這樣設(shè)計(jì)（1）是為了讓學(xué)生明白： 的值的符號(hào)在解一元二次方程中所起的重要作

9、用，從而很自然地引出了根的判別式概念。（2）是為了培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的觀察、分析與概括能力并使學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，真正體驗(yàn)自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論的成功樂(lè)趣。引導(dǎo)學(xué)生，理論驗(yàn)證一元二次方程根的情況果真有三種嗎？ 請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀課本P39的內(nèi)容，書(shū)上從理論方面給我們做了很好的解釋。帶著老師提出的問(wèn)題，會(huì)很認(rèn)真地去看書(shū)，尋找答案。這樣設(shè)計(jì)是為了培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，養(yǎng)成嚴(yán)格論證問(wèn)題的習(xí)慣以及自學(xué)能力的培養(yǎng)。揭示定理（1）由此我們就得出了關(guān)于若0 則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 若 =0 則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 若0則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 （2）我們說(shuō)：這個(gè)定理的逆命題也成立，即有如下的逆定理：若方程有兩

10、個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則0 若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， 則=0 若方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根， 則0 （3）定理與逆定理的用途不同 定理的用途是：在不解方程的情況下，根據(jù)值的符號(hào)，用定理來(lái)判斷方程根的情況。 逆定理的用途是：在已知方程根的情況下，用逆定理來(lái)確定值的符號(hào)，進(jìn)而可求出系數(shù)中某些字母的取值范圍。 （4）注意運(yùn)用定理和逆定理時(shí)，必須把所給的方程化成一般形式后方可使用。和教師一起揭示定理，并學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括。這樣設(shè)計(jì)是為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)闡述發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，如何將感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，以及加深學(xué)生對(duì)兩個(gè)定理的認(rèn)識(shí)，為定理及逆定理的正確運(yùn)用做好鋪墊。應(yīng)用定理，解決問(wèn)題下面我們就來(lái)學(xué)習(xí)兩個(gè)定理的

11、應(yīng)用。例1：不解方程判別下列方程根的情況（用投影儀打出）分析；要判別方程根的情況，根據(jù)定理可知；就是要確定值的符號(hào)，分析：我先提出兩個(gè)問(wèn)題：（1）是誰(shuí)決定了方程有無(wú)實(shí)數(shù)根？ （2）現(xiàn)在要證方程無(wú)實(shí)數(shù)根，只要證明什么就行了？ 例2是補(bǔ)充的一個(gè)用定理證明的題目，它含有字母系數(shù)，它的證明實(shí)際與例1的第（4）的解法類(lèi)似，但學(xué)生易于出錯(cuò)，往往錯(cuò)用逆定理來(lái)證。 小結(jié)：關(guān)于運(yùn)用根的判別式定理來(lái)判斷：含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況的一般步驟是：把方程化為一般形式，確定a、b、c的值，計(jì)算；用配方法等將變形，使之符號(hào)明朗化后，判斷的符號(hào)。根據(jù)根的判別式定理，寫(xiě)出結(jié)論。學(xué)生現(xiàn)獨(dú)立探究，然后小組交流，進(jìn)行展示以

12、上例題的設(shè)計(jì)，主要是為了給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)知識(shí)運(yùn)用遷移及鞏固的機(jī)會(huì)，同時(shí)也為了吸引和調(diào)動(dòng)全班同學(xué)參與到積極動(dòng)腦，各抒己見(jiàn)的活躍氣氛中來(lái)，并培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。歸納小結(jié)（1）今天我們是在一元二次方程解法的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)了根的判別式的應(yīng)用，它在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位，是中考命題的重要知識(shí)點(diǎn)，所以必須牢固掌握好它。 （2）注意根的判別式定理與逆定理的使用區(qū)別：一般當(dāng)已知值的符號(hào)時(shí)，使用定理；當(dāng)已知方程根的情況時(shí)，使用逆定理。這樣設(shè)計(jì)是為了使學(xué)生系統(tǒng)地了解和掌握本節(jié)課的內(nèi)容，與前后知識(shí)的了解以及它在教材中的地位，能起到提綱挈領(lǐng)的作用。布置作業(yè)1、閱讀課本P39的內(nèi)容；2、不解方程判定下列方

13、程根的情況（略）這樣設(shè)計(jì)是為了使學(xué)生能及時(shí)鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)學(xué)習(xí)的習(xí)慣。板書(shū)設(shè)計(jì)（需要一直留在黑板上主板書(shū)）一元二次方程根的判別式判別式的情況根 的 情 況定 理 與 逆 定 理000教學(xué)反思（教學(xué)反思的整理應(yīng)避免對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)思路、指導(dǎo)思想的再次重復(fù)。教學(xué)反思可以從以下幾個(gè)方面思考，不必面面俱到）：l 反思在備課過(guò)程中對(duì)教材內(nèi)容、教學(xué)理論、學(xué)習(xí)方法的認(rèn)知變化。l 反思教學(xué)設(shè)計(jì)的落實(shí)情況，學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中的問(wèn)題，出現(xiàn)問(wèn)題的原因是什么，如何解決等，避免空談出現(xiàn)的問(wèn)題而不思考出現(xiàn)的原因，也不思考解決方案。l 對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)中精心設(shè)計(jì)的教學(xué)環(huán)節(jié)，尤其是對(duì)以前教學(xué)方式進(jìn)行的改進(jìn)，通過(guò)設(shè)計(jì)教學(xué)反饋，實(shí)際的改進(jìn)效果如何。l 如果讓你重新上這節(jié)課，你會(huì)怎樣上？有什么新想法嗎？或當(dāng)時(shí)聽(tīng)課的老師或者專(zhuān)家對(duì)你這節(jié)課有什么評(píng)價(jià)？對(duì)你有什么啟發(fā)？在整個(gè)的設(shè)計(jì)過(guò)程中，始終體現(xiàn)以學(xué)生為中心的教育理念。在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行設(shè)問(wèn)和引導(dǎo)，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程。強(qiáng)調(diào)學(xué)生的品德、思維和心理等方面的發(fā)展。重視討論、交流和合作，重視探究問(wèn)題的習(xí)慣的培