第四章隨機變量的數(shù)字特征

1、第五章 大數(shù)定理及中心極限定理§1. 大數(shù)定理例子頻率穩(wěn)定性，算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性。定理1：（契比雪夫定理的特殊情況）設(shè)隨機變量滿足：記（即隨機變量的 算術(shù)平均），則對有： 算術(shù)平均值穩(wěn)定性注：隨機事件，時上述事件概率超過1，即對時不等式的概率很大。證明： ()， 定義：設(shè)是一隨機變量序列，對若有則稱序列依概率收斂于a，記做依概率收斂的序列的性質(zhì)：若 又在（a，b）連續(xù)，則定理1：設(shè)隨機變量滿足：， ，則序列依概率收斂于。定理2:（貝努利定理）設(shè)是次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的 次數(shù)，是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對有： or 頻率穩(wěn)定性。證明：令，易知：相互獨立 又，故：由定理

2、1知：，即：定理3:（辛欽定理）設(shè)隨機變量滿足： 則對有注：貝努力定理是辛欽定理的特殊情況§2 中心極限定理定理1:(獨立同分布的 中心極限定理)設(shè)隨機變量滿足：則隨機變量的分布函數(shù)對滿足：注：意義：大量相互獨立同分布的 隨機變量近似服從正態(tài)分布定理2:（李維普諾夫Liapunov定理）設(shè)隨機變量滿足：記 若存在 使，則隨即變量的分布函數(shù)對滿足：注：, , 定理3:（德莫佛拉普拉斯 De MoivreLaplace） 設(shè)隨機變量服從，則對 有證明：設(shè)均服從同一分布且相互獨立，則，其中:又:由定理1得注：當時 可由定理3求二項分布概率,下面舉個例子：例1、一加法器同時收到20個噪聲電壓

3、，設(shè)它們是相互獨立的隨機變量，且都在區(qū)間上服從均勻分布，記，求的近似值。解：，由定理1：即有：例2、一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于的概率為，若船舶遭受了90000次波浪沖擊，問其中有29500-30500次縱搖角度大于的概率是多少？解：次波浪沖擊中縱橫角大于3度的次數(shù)，則：，。例、某單位設(shè)置一電話機，共有200架電話分機。設(shè)每個電話分機是否使用外線通話是相互獨立的。設(shè)每時刻每個分機有5%的概率要使用外線通話。問總機需要多少外線才能以不低于90%的概率保證每個分機要使用外線時可供使用？解：電話機使用外線看作一次試驗。200架電話分幾種使用外線得數(shù)目。200，即: or，1.28，13.968或， 由于0.9032>0.9 可令例、現(xiàn)有一大批種子，某糧種占六分之一，現(xiàn)從中任取6000粒，試分別用切比雪夫不等式和中心極限定理計算這6000粒中良種所占比例于六分之一之差得絕對值