復(fù)數(shù)的基本知識

1、補(bǔ)充復(fù)數(shù)的基本知識:由于在實(shí)數(shù)集R內(nèi)負(fù)數(shù)不能開平方，所以在實(shí)數(shù)集內(nèi)方程x21 0無引入虛數(shù)，虛數(shù)單位符號為j，并規(guī)定j4n1；j4 n1j2、復(fù)數(shù)集其中a稱為復(fù)數(shù)Z的實(shí)部，Re(Z) a；b稱為復(fù)數(shù)Z的虛部，Im(Z) b；舉例：2 3j，-1 5j，3j的實(shí)部、虛部?有理數(shù)實(shí)數(shù)(b 0)無理數(shù) 復(fù)數(shù)a bj虛數(shù)(b 0)無純虛數(shù) (a 0)虛數(shù))非純虛數(shù)(a 0)3、復(fù)數(shù)的相等及共軛復(fù)數(shù)a bj c dj a c, b d定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)。1、虛數(shù)單位(1)它的平方等于-1,即j21;(2)j可以和實(shí)數(shù)一起進(jìn)行四則運(yùn)算,原有的加、減運(yùn)算

2、規(guī)律仍然成.立性質(zhì)：j1j；j21；般地，對于任意整數(shù)n，有:定義：形如a bj (a,bR)的數(shù)稱為復(fù)數(shù)。通常用大寫拉丁字母Z表示一個(gè)復(fù)數(shù)，即a bj (a,b R)定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部也相等,則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，即復(fù)數(shù)Z a bj的共軛復(fù)數(shù)記作Z a bj例：1 j, 2 3j的共軛復(fù)數(shù)注：(a bj)(a bj)a2b24、復(fù)數(shù)的幾何表示(復(fù)平面)任何一個(gè)復(fù)數(shù)a bj都可以由一對有序?qū)崝?shù) 佝b)唯一確定；反之，任何一對有序?qū)崝?shù)(a,b)都能唯一確定一個(gè)復(fù)數(shù)a bj;因此，復(fù)數(shù)Z a bj與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z(a,b)是-對應(yīng)關(guān)系。于是，可以在平面直角坐標(biāo)系中用橫坐標(biāo)為a

3、，縱坐標(biāo)為b的點(diǎn)Z(a,b)表示復(fù)數(shù)Z a bj。j虛軸a bjb-實(shí)軸用來表示復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)平面稱為 復(fù)平面。復(fù)數(shù)Z a bj與復(fù)平面上的點(diǎn)Z(a,b)是- 對應(yīng)關(guān)系。即復(fù)數(shù)Z a bj點(diǎn)Z(a,b)矢量(或向量)：既有大小又有方向。矢量可以用帶箭頭的有向線段來 表示，箭頭的方向表示矢量的方向，線段的長度表示矢量的大小。如下圖所示：相等矢量：大小相等且方向相同的矢量。(1) 矢量的大小稱為矢量的模；矢量0Z的模r稱為復(fù)數(shù)Z a bj的模，記作：|Z或a bj即：r |Z |a bjva2b2(2) 矢量的方向以實(shí)軸的正半軸為始便，矢量0Z所在的射線為終邊的角，稱為復(fù)數(shù)Z a bj的輻角。非零

4、復(fù)數(shù)的輻角有無窮多個(gè)值，他們彼此相差2的整數(shù)倍。通常適合 于的輻角稱為主輻角，值稱為輻角的主值。規(guī)定：要用主輻角表示復(fù)數(shù)Z a bj的輻角。模和主輻角可以唯一確定一個(gè)非零復(fù)數(shù)。5、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式tanarctaZ a bj r (cosjsin )cos sinrbrb2Z a bj r(cos j sin )rej稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式歐拉公式：ejcos j sin例如：ej3 cosj sin 333對于任何一個(gè)復(fù)數(shù):例：123. .j_j cosi sine323335jj；。)34嚴(yán)叫7、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式(Z a bj)的加減法(a bj) (c dj) a c (b d

5、) j復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減(2)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法(a bj )(c dj) ac bd (ad bc) j按多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行，把所得結(jié)果中j2換成-1，并且把實(shí)部、虛部分別合并。例：(2 3j)(1 j) 1 5j (43j)(2 3j)17 6j(3)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法分子與分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，分母實(shí)數(shù)化后，所得結(jié)果要化簡。c dj (cdj )(abj)acbdad bc:a bj (abj)(abj)a2b2a2b2j例:1 j51 . j3 2j 1313(4) 復(fù)數(shù)指數(shù)形式(Zrej) 的乘除運(yùn)算令Z11；Z2r2!ej2則Z1?Z2r1ej1r2

6、ej2r1r2心(12)Z1r1e丿11 j(e12)Z2r2eJ 2r2Z a bj r(cos j sin )rej稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式.4例：(1j)(3 4j)5.2ej(4arctan3戸ej(I 7)e右j1 j(5)復(fù)數(shù)極坐標(biāo)形式(Z r)的乘除運(yùn)算設(shè)復(fù)數(shù) 1,Z2r22Zi?Z2rir2(i2)號口（iZ2r2&方程根的求解一元二次方程根的求解。一元二次方程有兩個(gè)根，可以是兩個(gè)實(shí)數(shù)根, 也可以是復(fù)數(shù)根（共軛復(fù)根）例：x27x 6 0 xi1，xi6；2x2X 20 xi,2補(bǔ)充題:i、計(jì)算下列各式，并作幾何表示(i)(22j)(i2j)(2)(35j)(32j)(2 2j)(i2j)3 4jarctan453.ir 5在復(fù)平面上描述3(3 5j)(3 2j)3j90r 3在復(fù)平面上描述2、計(jì)算