第二章 函數(shù)與極限2-3ppt課件

1、上頁下頁鈴結束返回首頁上頁下頁鈴完畢返回首頁高等數(shù)學教研室高等數(shù)學教研室上頁下頁鈴結束返回首頁第三節(jié) 高階導數(shù)一、高階導數(shù)的定義二、高階導數(shù)求法舉例三、小結 思考題上頁下頁鈴結束返回首頁問題問題: :變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度. .),(tfs 設設)()(tftv 則瞬時速度為則瞬時速度為的的變變化化率率對對時時間間是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta定義定義.)() )(,)()(lim) )(,)()(0處的二階導數(shù)處的二階導數(shù)在點在點為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱存在存在即即處可導處可導在點在點的導數(shù)的導數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)xxfxfxxfxxfxfxxfxf

2、x 一、高階導數(shù)的定義上頁下頁鈴結束返回首頁記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 記記作作階階導導數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)階階導導數(shù)數(shù)的的導導數(shù)數(shù)稱稱為為的的函函數(shù)數(shù)一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù)三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù), 二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).)(;)(,稱稱為為一一階階導導數(shù)數(shù)稱稱為為零零階階導導數(shù)數(shù)相相應應地地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù)二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù),.,),(44)4()4(

3、dxydyxf上頁下頁鈴結束返回首頁例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求設設解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.直接法直接法: :由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù)由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù).二、 高階導數(shù)求法舉例上頁下頁鈴結束返回首頁例例2 2.),()(nyRxy求求設設 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為自然數(shù)為自然數(shù)若若,n )()()(

4、nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 上頁下頁鈴結束返回首頁例例3 3.),1ln()(nyxy求求設設 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 求求n n階導數(shù)時階導數(shù)時, ,求出求出1-31-3或或4 4階后階后, ,不要急于合不要急于合并并, ,分析結果的規(guī)律性分析結果的規(guī)律性, ,寫出寫出n n階導數(shù)階導數(shù).(.(數(shù)學歸納數(shù)學歸納法證明法證明) )上頁下頁鈴結束返回首頁例例4 4.,sin)(nyxy求求設設 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)

5、22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得上頁下頁鈴結束返回首頁例例5 5.),(sin)(naxybabxey求求為為常常數(shù)數(shù)設設 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)( nbxebayaxnn)arctan(ab 上頁下頁鈴結束返回首頁2. 高階導數(shù)的運算法則高階導數(shù)的運算法

6、則:則則階階導導數(shù)數(shù)具具有有和和設設函函數(shù)數(shù),nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 萊布尼茲公式萊布尼茲公式上頁下頁鈴結束返回首頁例例6 6.,)20(22yexyx求求設設 解解則由萊布尼茲公式知則由萊布尼茲公式知設設,22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxx

7、exexe)9520(22220 xxex上頁下頁鈴結束返回首頁3.3.間接法間接法: :常用高階導數(shù)公式常用高階導數(shù)公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()( 利用已知的高階導數(shù)公式利用已知的高階導數(shù)公式, 通過四則通過四則1)(!)1()1( nnnxnx運算運算, 變量代換等方法變量代換等方法, 求出求出n階導數(shù)階導數(shù).上頁下頁鈴結束返回首頁例例7 7.,11)5(2yxy求求設設

8、 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx上頁下頁鈴結束返回首頁例例8 8.,cossin)(66nyxxy求求設設 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn上頁下頁鈴結束返回首頁高階導數(shù)的定義及物理意義高階導數(shù)的定義及物理意義;高階導數(shù)的運算法則高階導數(shù)的運算法則(萊布尼茲公式萊布尼茲公式);n階導數(shù)的求

9、法階導數(shù)的求法;1.直接法直接法;2.間接法間接法.三、小結三、小結上頁下頁鈴結束返回首頁思考題思考題設設 連續(xù)，且連續(xù)，且 ，)(xg )()()(2xgaxxf 求求 .)(af 上頁下頁鈴結束返回首頁思考題解答思考題解答)(xg可導可導)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定義求故用定義求)(af )(af axafxfax )()(lim0)( afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 上頁下頁鈴結束返回首頁一、一、 填空題：填空題： 1 1、 設設tetysin 則則y =_.=_. 2 2、 設設xyta

10、n , ,則則y = =_._. 3 3、 設設xxyarctan)1(2 ，則，則y = =_._. 4 4、 設設2xxey , ,則則y = =_._. 5 5、 設設)(2xfy , ,)(xf 存在，則存在，則y = =_. . 6 6、 設設6)10()( xxf, ,則則)2(f =_.=_. 7 7、 設設nnnnnaxaxaxax 12211 ( (naaa,21都是常數(shù)都是常數(shù)) )，則，則)(ny= =_. . 8 8、設、設)()2)(1()(nxxxxxf , , 則則)()1(xfn = =_._. 練練 習習 題題上頁下頁鈴結束返回首頁二二、求求下下列列函函數(shù)數(shù)的

11、的二二階階導導數(shù)數(shù)： 1 1、 xxxy423 ； 2 2、 xxylncos2 ； 3 3、 )1ln(2xxy . . 三三、試試從從ydydx 1，導導出出： 1 1、 322)(yydyxd ； 2 2、 5233)()(3yyyydyxd . . 四四、驗驗證證函函數(shù)數(shù)xxececy 21 ( ( , ,1c , ,2c是是常常數(shù)數(shù)） 滿滿足足關關系系式式02 yy . . 上頁下頁鈴結束返回首頁上頁下頁鈴結束返回首頁一、一、1 1、tetcos2 ； 2 2、xxtansec22； 3 3、212arctan2xxx ； 4 4、)23(222xxex ； 5 5、)(4)(2222xfxxf ； 6 6、207360207360； 7 7、!n； 8 8、)!1( n. .二、二、1 1、3258434 xx；2 2、22cos2sin2