數(shù)值分析作業(yè)及參考答案

1、數(shù)值分析第一次作業(yè)及參考答案1. 設，假定是準確的，而對的測量有秒的誤差，證明當增加時的絕對誤差增加，而相對誤差卻減少。解： 2. 設且，求證解：由插值余項為 3. 已測得函數(shù)的三對數(shù)據(jù)：（0，1），（1，5），（2，1），（1）用Lagrange插值求二次插值多項式。（2）構造差商表。（3）用Newton插值求二次插值多項式。解：(1)Lagrange插值基函數(shù)為同理 故 （2）令，則一階差商、二階差商為 實際演算中可列一張差商表：一階差商二階差商011542121 （3）用對角線上的數(shù)據(jù)寫出插值多項式 4. 在上給出的等距節(jié)點函數(shù)表，若用二次插值求的近似值，要使截斷誤差不超過，問使用函數(shù)表

2、的步長應取多少？解： 5. 求在a,b上的分段線性插值函數(shù)，并估計誤差。解： 6. 已知單調連續(xù)函數(shù)的如下數(shù)據(jù)0.110.001.501.801.230.101.171.58用插值法計算約為多少時（小數(shù)點后至少保留4位）解：作輔助函數(shù)則問題轉化為為多少時，此時可作新的關于的函數(shù)表。由單調連續(xù)知也單調連續(xù)，因此可對的數(shù)值進行反插。的牛頓型插值多項式為故 7. 設函數(shù)在區(qū)間0,3上具有四階連續(xù)導數(shù),試用埃爾米特插值法,求一個次數(shù)不高于3的多項式，使其滿足，, 。并寫出誤差估計式。解：由所給條件可用埃爾米特插值法確定多項式， 由題意可設為確定待定函數(shù)，作輔助函數(shù)： 則在0,3上存在四階導數(shù)且在0,3

3、上至少有5個零點為二重零點），反復應用羅爾定理，知至少有一個零點使，從而得。故誤差估計式為8. 設函數(shù)在節(jié)點的函數(shù)值均為零，試分別求滿足下列邊界條件下的三次樣條插值函數(shù)：（1） （2）解：（1）取處的一階導數(shù)作為參數(shù)，。由于以及由三轉角方程 得 由于從而 解之可得故 （2）取處的二階導數(shù)作為參數(shù)，。由于以及由三彎矩方程 由于代入方程可得 故 9編程實現(xiàn)題：略。10、試求最佳一次一致逼近多項式，一致被逼近函數(shù)為（1） （2）解：（1）因為在內不變號，故最佳一次一致逼近多項式為 式中 從而 （2）在內不變號，故最佳一次一致逼近多項式為 得從而 11、給定，試利用最小零偏差定理，即切比雪夫多項式的最

4、小零偏差性質，在上求的三次最佳一致逼近多項式。解：令設為在上的三次最佳一致逼近多項式，由于的首項系數(shù)為，故 12、設，分別在上求一函數(shù)，使其為的最佳平方逼近，并比較其結果。解： 由結果知（1）比（2）好。13、用最小二乘法求一個形如的經驗公式，使它與下列數(shù)據(jù)擬合，并計算均方誤差。 192531384419.032.349.073.397.8解：14、用格拉姆施密特方法構造正交多項式求在0，1上的二次最佳平方逼近多項式。（參考講義與參考書）解： 構造正交多項式 于是 所以，在0，1上的二次最佳平方逼近多項式為15、求在1，1上的三次最佳平方逼近多項式。（參考講義與參考書，利用Legendre正交

5、多項式）解 先計算。 ； ； ；又有 ， ，得 均方誤差 16、 A、B、C三點連成一條直線，AB長為，BC長為，某人測量的結果為米，米，為控制丈量的準確性，又測量米，試合理地決定和的長度。（小數(shù)點后取四位有效數(shù)字）解：令為AB的所求值，為BC的所求值，則在最小二乘意義下，要達到極小，即求的極小點。令解的。故應取。17、求函數(shù)在區(qū)間1，1上的近似3次最佳一致逼近多項式有哪幾種方法？選一種方法解本題，并估計誤差。（參考講義與參考書）解：三種方法，見參考講義。（1） 截斷切比雪夫級數(shù) 由富利葉級數(shù)系數(shù)公式得，它可用數(shù)值積分方法計算，得到 由 及的公式得到（2） 拉格朗日插值余項的極小化由的4個零點

6、 做插值點可求得 ， （3） 臺勞級數(shù)項數(shù)的節(jié)約應用的臺勞展開，取，得作為的近似，其誤差為，由于 則 其中 用做的逼近多項式，其誤差為 若再用代入可求出18.編出用正交多項式(格拉姆施密特)作最小二乘擬合的程序或框圖。（參考講義與參考書） 略。19 確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構造出的求積公式所具有的代數(shù)進度。1）2）3）4）解：（1）三個參數(shù)，代入（2）三個參數(shù)，代入20、已知，（1） 推導以這三個點為求積節(jié)點在0，1上的插值型求積公式。（2） 求上述求積公式的代數(shù)精確度。（3） 用上述公式計算。解：（1）過三點的二次插值為故有 其中 故求積公式為 （2）因為上

7、述由二次插值推出，故至少具有二次代數(shù)精度，將代入有故該求積公式的代數(shù)精度為3次。 （3）21、如果要用復化梯形公式計算積分，試問應將積分區(qū)間a,b分成多少份，才能保證誤差不超過。解：已知將a,b分成n份的復化梯形公式的余項為記，則按要求應滿足 故 ，為上取整。22、對積分作Romberg數(shù)值計算，并自上而下地一行一行算出數(shù)表，是近似值穩(wěn)定至小數(shù)后第5位。（精確值）解：記，編制數(shù)表如下：第一行： 第二行： 第三行： 第四行： 上面的與數(shù)值已穩(wěn)定至小數(shù)點后5位，故可取。23、已知勒讓德（Legendre）正交多項式有三項遞推關系式：試確定三點的高斯勒讓德（GL）求積公式 的求積系數(shù)和節(jié)點，并利用此公式寫出的計算式（無需計算結果）。解：由遞推關系式得三次勒讓德正交多項式令，其三個零點為則所求的高斯求積公式為因三點的高斯