《振動(dòng)力學(xué)》習(xí)題集(含答案)

1、振動(dòng)力學(xué)習(xí)題集（含答案）1.1 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)由長度為l、質(zhì)量為m1的均質(zhì)細(xì)桿約束在鉛錘平面內(nèi)作微幅擺動(dòng)，如圖E1.1所示。求系統(tǒng)的固有頻率。mlm1x圖E1.1解：系統(tǒng)的動(dòng)能為：其中I為桿關(guān)于鉸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：則有：系統(tǒng)的勢能為：利用和可得：1.2 質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)柱體在水平面上作無滑動(dòng)的微幅滾動(dòng)，在CA=a的A點(diǎn)系有兩根彈性剛度系數(shù)為k的水平彈簧，如圖E1.2所示。求系統(tǒng)的固有頻率。kkACaR圖E1.2解：如圖，令為柱體的轉(zhuǎn)角，則系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能分別為：利用和可得：1.3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的圓盤由三段抗扭剛度分別為，和的軸約束，如圖E1.3所示。求系統(tǒng)的固有頻率。k1k2k3J圖E1.

2、3解：系統(tǒng)的動(dòng)能為：和相當(dāng)于串聯(lián)，則有：以上兩式聯(lián)立可得：系統(tǒng)的勢能為：利用和可得：1.4 在圖E1.4所示的系統(tǒng)中，已知，橫桿質(zhì)量不計(jì)。求固有頻率。k2k1abk3m mgabx1x2x0圖E1.4答案圖E1.4解：對m進(jìn)行受力分析可得：，即如圖可得：則等效彈簧剛度為：則固有頻率為：1.7 質(zhì)量在傾角為的光滑斜面上從高h(yuǎn)處滑下無反彈碰撞質(zhì)量，如圖E1.7所示。確定系統(tǒng)由此產(chǎn)生的自由振動(dòng)。hkm1m2 x0x2xx12圖E1.7答案圖E1.7解：對由能量守恒可得（其中的方向?yàn)檠匦泵嫦蛳拢?，即對整個(gè)系統(tǒng)由動(dòng)量守恒可得：，即令引起的靜變形為，則有：，即令+引起的靜變形為，同理有：得：則系統(tǒng)的自由

3、振動(dòng)可表示為：其中系統(tǒng)的固有頻率為：注意到與方向相反，得系統(tǒng)的自由振動(dòng)為：1.9 質(zhì)量為m、長為l的均質(zhì)桿和彈簧k及阻尼器c構(gòu)成振動(dòng)系統(tǒng)，如圖E1.9所示。以桿偏角為廣義坐標(biāo)，建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，給出存在自由振動(dòng)的條件。若在彈簧原長處立即釋手，問桿的最大振幅是多少？發(fā)生在何時(shí)？最大角速度是多少？發(fā)生在何時(shí)？是否在過靜平衡位置時(shí)？kacO 圖E1.9 答案圖E1.9解：利用動(dòng)量矩定理得：，1.12 面積為S、質(zhì)量為m的薄板連接于彈簧下端，在粘性流體中振動(dòng)，如圖E1.12所示。作用于薄板的阻尼力為，2S為薄板總面積，v為速度。若測得薄板無阻尼自由振動(dòng)的周期為，在粘性流體中自由振動(dòng)的周期為。求系數(shù)

4、。圖E1.12解：平面在液體中上下振動(dòng)時(shí)：，2.1 圖E2.2所示系統(tǒng)中，已知m，c，和。求系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。c1c2k1k2x2x1mk2c2k1c1mx1m圖E2.1 答案圖E2.1(a) 答案圖E2.1(b)解：等價(jià)于分別為和的響應(yīng)之和。先考慮，此時(shí)右端固結(jié)，系統(tǒng)等價(jià)為圖（a），受力為圖（b），故： （1），（1）的解可參照釋義（2.56），為： （2）其中：，故（2）為：考慮到的影響，則疊加后的為：2.1 一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面作自由振動(dòng)，如圖T 2-1所示。已知，m = 1 kg，k = 49 N/cm，開始運(yùn)動(dòng)時(shí)彈簧無伸長，速度為零，求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。mk mgx0x 圖

5、 T 2-1 答案圖 T 2-1解：，cmrad/scm2.2 如圖T 2-2所示，重物懸掛在剛度為k的彈簧上并處于靜平衡位置，另一重物從高度為h處自由下落到上而無彈跳。求下降的最大距離和兩物體碰撞后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。khW2W1 xx0x1x12平衡位置 圖 T 2-2 答案圖 T 2-2解：， 動(dòng)量守恒：，平衡位置：，故：故：2.4 在圖E2.4所示系統(tǒng)中，已知m，和，初始時(shí)物塊靜止且兩彈簧均為原長。求物塊運(yùn)動(dòng)規(guī)律。k2mk1x1x2m圖E2.4 答案圖E2.4解：取坐標(biāo)軸和，對連接點(diǎn)A列平衡方程：即： （1）對m列運(yùn)動(dòng)微分方程：即： （2）由（1），（2）消去得：（3）故：由（3）得：2.5在

6、圖E2.3所示系統(tǒng)中，已知m，c，k，和，且t=0時(shí)，求系統(tǒng)響應(yīng)。驗(yàn)證系統(tǒng)響應(yīng)為對初值的響應(yīng)和零初值下對激勵(lì)力響應(yīng)的疊加。ckm圖E2.3解：， 求出C，D后，代入上面第一個(gè)方程即可得。2.7 由一對帶偏心質(zhì)量的等速反向旋轉(zhuǎn)齒輪構(gòu)成的振動(dòng)機(jī)械安裝在彈簧和阻尼器構(gòu)成的支承上，如圖E2.7所示。當(dāng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為時(shí)，偏心質(zhì)量慣性力在垂直方向大小為。已知偏心重W = 125.5 N，偏心距e = 15.0 cm，支承彈簧總剛度系數(shù)k = 967.7 N/cm，測得垂直方向共振振幅，遠(yuǎn)離共振時(shí)垂直振幅趨近常值。求支承阻尼器的阻尼比及在運(yùn)行時(shí)機(jī)器的垂直振幅。圖E2.7解：，s=1時(shí)共振，振幅為：（1）遠(yuǎn)

7、離共振點(diǎn)時(shí)，振幅為：（2）由（2）由（1），故：2.7 求圖T 2-7中系統(tǒng)的固有頻率，懸臂梁端點(diǎn)的剛度分別是及，懸臂梁的質(zhì)量忽略不計(jì)。mk1k2k3k4 無質(zhì)量mk1k2k3k4 圖 T 2-7 答案圖 T 2-7解：和為串聯(lián)，等效剛度為：。（因?yàn)榭傋冃螢榍蠛停┖蜑椴⒙?lián)（因?yàn)榈淖冃蔚扔诘淖冃危?，則：和為串聯(lián)（因?yàn)榭傋冃螢榍蠛停?，故：故?.9 如圖T 2-9所示，一質(zhì)量m連接在一剛性桿上，桿的質(zhì)量忽略不計(jì)，求下列情況系統(tǒng)作垂直振動(dòng)的固有頻率：（1）振動(dòng)過程中桿被約束保持水平位置；（2）桿可以在鉛錘平面內(nèi)微幅轉(zhuǎn)動(dòng)；（3）比較上述兩種情況中哪種的固有頻率較高，并說明理由。k2k1ml1l2 mg

8、l1l2x1x2x 圖 T 2-9 答案圖 T 2-9解：（1）保持水平位置：（2）微幅轉(zhuǎn)動(dòng)：故：2.10求圖T 2-10所示系統(tǒng)的固有頻率，剛性桿的質(zhì)量忽略不計(jì)。k1k2mal F1mgx1xA 圖 T 2-10 答案圖 T 2-10解：m的位置：，2.11 圖T 2-11所示是一個(gè)倒置的擺。擺球質(zhì)量為m，剛桿質(zhì)量可忽略，每個(gè)彈簧的剛度為。（1）求倒擺作微幅振動(dòng)時(shí)的固有頻率；（2）擺球質(zhì)量m為0.9 kg時(shí)，測得頻率為1.5 Hz，m為1.8 kg時(shí)，測得頻率為0.75 Hz，問擺球質(zhì)量為多少千克時(shí)恰使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？almk/2k/2 零平衡位置 零平衡位置 圖 T 2-1 答案圖

9、 T 2-11(1) 答案圖 T 2-11(2)解：（1）利用，-（2）若取下面為平衡位置，求解如下：，2.17 圖T 2-17所示的系統(tǒng)中，四個(gè)彈簧均未受力，k1= k2= k3= k4= k，試問：（1）若將支承緩慢撤去，質(zhì)量塊將下落多少距離？（2）若將支承突然撤去，質(zhì)量塊又將下落多少距離？k1k2k3k4m圖 T 2-17解：（1），（2），2.19 如圖T 2-19所示，質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓盤在水平面上可作無滑動(dòng)的滾動(dòng)，鼓輪繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，忽略繩子的彈性、質(zhì)量及各軸承間的摩擦力，求此系統(tǒng)的固有頻率。m1m2IR2R1k2k1r圖 T 2-19解：系統(tǒng)動(dòng)能為：系統(tǒng)動(dòng)能為：根據(jù)：，2.2

10、0 如圖T 2-20所示，剛性曲臂繞支點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I0，求系統(tǒng)的固有頻率。k3k2m2m1k1abl圖 T 2-20解：系統(tǒng)動(dòng)能為：系統(tǒng)動(dòng)能為：根據(jù)：，2.24 一長度為l、質(zhì)量為m的均勻剛性桿鉸接于O點(diǎn)并以彈簧和粘性阻尼器支承，如圖T 2-24所示。寫出運(yùn)動(dòng)微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)和無阻尼固有頻率的表達(dá)式。kalcO 圖 T 2-24 答案圖 T 2-24解：利用動(dòng)量矩方程，有：，2.25 圖T 2-25所示的系統(tǒng)中，剛桿質(zhì)量不計(jì)，寫出運(yùn)動(dòng)微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)及阻尼固有頻率。kalbcm abl 圖 T 2-25 答案圖 T 2-25解：，由2.26 圖T 2-26所示的系統(tǒng)中，m

11、 = 1 kg，k = 144 N / m，c = 48 Ns / m，l1 = l = 0.49 m，l2 = 0.5 l， l3 = 0.25 l，不計(jì)剛桿質(zhì)量，求無阻尼固有頻率及阻尼。l1mkcl2l3mO圖 T 2-26答案圖 T 2-25解：受力如答案圖T 2-26。對O點(diǎn)取力矩平衡，有：4.7 兩質(zhì)量均為m的質(zhì)點(diǎn)系于具有張力F的弦上，如圖E4.7所示。忽略振動(dòng)過程中弦張力的變化寫出柔度矩陣，建立頻率方程。求系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)，并計(jì)算主質(zhì)量、主剛度、簡正模態(tài)，確定主坐標(biāo)和簡正坐標(biāo)。mmlllFFFy1y2FF圖E4.7 答案圖E4.7(1)解：，根據(jù)和的自由體動(dòng)力平衡關(guān)系，有：故：

12、當(dāng)=時(shí)，令：，代入矩陣方程，有：，根據(jù)得：，1.01.01.0-1.0第一振型第二振型答案圖E4.7(2)4.11 多自由度振動(dòng)系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K均為正定。對于模態(tài)和及自然數(shù)n證明：，解：，等號兩邊左乘，等號兩邊左乘，當(dāng)時(shí)重復(fù)兩次：，等號兩邊再左乘，等號兩邊左乘，當(dāng)時(shí)重復(fù)n次得到：，等號兩邊左乘故：，等號兩邊左乘，當(dāng)時(shí)即，當(dāng)時(shí)重復(fù)運(yùn)算：，當(dāng)時(shí)重復(fù)n次。2.10圖T 4-11所示的均勻剛性桿質(zhì)量為m1，求系統(tǒng)的頻率方程。k1k2m1bam2 圖 T 4-11k21m2m1k11x答案圖 T 4-11(1)解：先求剛度矩陣。令，得：k22m2m1k12答案圖 T 4-11(2)令，得：答則

13、剛度矩陣為：再求質(zhì)量矩陣。m21m2m1m11答案圖 T 4-11(3)令，得：，令，得：，則質(zhì)量矩陣為：故頻率方程為：5.1質(zhì)量m、長l、抗彎剛度EI的均勻懸臂梁基頻為3.515(EI / ml3)1/2，在梁自由端放置集中質(zhì)量m1。用鄧克利法計(jì)算橫向振動(dòng)的基頻。解：，5.2不計(jì)質(zhì)量的梁上有三個(gè)集中質(zhì)量，如圖E5.2所示。用鄧克利法計(jì)算橫向振動(dòng)的基頻。l/4l/4l/4l/4mm3m圖E5.2解：當(dāng)系統(tǒng)中三個(gè)集中質(zhì)量分別單獨(dú)存在時(shí)：，5.3在圖E5.3所示系統(tǒng)中，已知m和k。用瑞利法計(jì)算系統(tǒng)的基頻。k2kmk2mm圖E5.3解：近似選取假設(shè)模態(tài)為：系統(tǒng)的質(zhì)量陣和剛度陣分別為：，由瑞利商公式：

14、5.9在圖E5.9所示系統(tǒng)中，已知k和J。用傳遞矩陣法計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)。kkJJ/212(1)(2)圖E5.9解：兩端邊界條件為：固定端：，自由端：。由自由端邊界條件得頻率方程：， 代入各單元狀態(tài)變量的第一元素，即：得到模態(tài)：，5.10在圖E5.10所示系統(tǒng)中，已知GIpi ( i = 1 , 2)，li ( i = 1 , 2)和Ji ( i = 1 , 2)。用傳遞矩陣法計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)。J1GIp1J2l1l2GIp2圖E5.10解：兩自由端的邊界條件為：，。其中：，。由自由端邊界條件得頻率方程：，代入各單元狀態(tài)變量的第一元素，即：得到模態(tài)：，5.11在圖E5.11所示系

15、統(tǒng)中懸臂梁質(zhì)量不計(jì)，m、l和EI已知。用傳遞矩陣法計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率。mEIl(1)(0)圖E5.11解：引入無量綱量：，定義無量綱的狀態(tài)變量：邊界條件：左端固結(jié)：，右端自由：根據(jù)傳遞矩陣法，有：其中點(diǎn)傳遞矩陣和場傳遞矩陣分別為：，得：利用此齊次線性代數(shù)方程的非零解條件導(dǎo)出本征方程：5.12在圖E5.12所示系統(tǒng)中梁質(zhì)量不計(jì)，m、l和EI已知，支承彈簧剛度系數(shù)k = 6EI / l3。用傳遞矩陣法計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率。klEIml(1)(0.5)(0)圖E5.12解：引入無量綱量：，定義無量綱的狀態(tài)變量：邊界條件：左端鉸支：，右端自由：根據(jù)傳遞矩陣法，有：在支承彈簧處：注意到上式中為桿左端的轉(zhuǎn)角，故在支承彈簧處的位移為：因此有：6.3圖E6.3所示階梯桿系統(tǒng)中已知m，S，E和k。求縱向振動(dòng)的頻率方程。kmES圖E6.3解：模態(tài)函數(shù)的一般形式為：題設(shè)邊界條件為：，邊界條件可化作：，導(dǎo)出C2 = 0及頻率方程：，其中6.4長為l、密度為、抗扭剛度為GIp的的等直圓軸一端有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的圓盤，另一端連接抗扭剛度為k的彈簧，如圖E6.4