高數(shù)-不定積分ppt課件

1、第四章第四章 不定積分不定積分教學(xué)目的要求 1、理解原函數(shù)的概念，不定積分的概念、幾何意義及性質(zhì)。 2、掌握不定積分的基本公式，不定積分的換元積分法和分部積分法。 3、了解簡單有理函數(shù)的積分方法。學(xué)習(xí)重點和難點 重點 不定積分的計算 難點 不定積分的換元積分法和分部積分法。 原函數(shù) 的逆運算。或微分的問題。這顯然是求導(dǎo)求，歸結(jié)為：已知從數(shù)學(xué)的角度看，可以)( )( )()( xFxfxF上的一個原函數(shù)。在區(qū)間為則稱，或，使得存在函數(shù)上的已知函數(shù)，若是定義在區(qū)間設(shè)定義 )( )()()( )()( )( )( xfxFdxxfxdFxfxFxFxf的原函數(shù)。是都，為任意常數(shù)，其中，原函數(shù)。又因為

2、的一個是函數(shù)所以，例如，因為 2 C 3 1 C 2)C(2) 3(2) 1( 2 2)( 22222222xxxxxxxxxxxxxx 定理原函數(shù)存在定理）上的原函數(shù)必定存在。在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間如果函數(shù) )( )( xfxf差是一個常數(shù)。之?dāng)?shù)，且任意兩個原函數(shù)則它必有無窮多個原函，上有一個原函數(shù)在區(qū)間若定理)( )( xFxf意常數(shù)。為任的全部原函數(shù)，其中是的一個原函數(shù)，則是若推論 C )( )( )( )( xfCxFxfxF 不定積分的概念積分微元。叫做叫做積分變量，叫做被積表達(dá)式，被積函數(shù)，叫做”叫做積分號，上式中“，其中的不定積分，記為叫做的全體原函數(shù)函數(shù)定義 )( )( )

3、()()()( )( )( )( dxxdxxfxfxfxFCxFdxxfxfCxFxf不是不定積分。的只是一個原函數(shù)，而”，否則求出，切記要“時注：求Cdxxf )( 不定積分的幾何意義xyCxFy)()(xFy 0線。應(yīng)，稱為積分曲平面曲線與之對何上，就有一條的原函數(shù)，在幾就對應(yīng)一個確定，確定一個常數(shù)為任意常數(shù)，每， )()( CCCxFdxxf 不定積分的性質(zhì) 性質(zhì)1 不定積分與求導(dǎo)數(shù)或微分互為逆運算，即；或、dxxfdxxfdxfdxxf)()( )()( ) 1.)()()()( )2CxFxdFCxFdxxF或、 性質(zhì)2 被積表達(dá)式中的非零常數(shù)因子，可以移到積分號前，即，常數(shù)），（

4、0)()(kdxxfkdxxfk 性質(zhì)3 兩個函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于兩個函數(shù)的不定積分的代數(shù)和，即.)()()()(dxxgdxxfdxxgxf這一結(jié)論可以推廣到任意有限多個函數(shù)的代數(shù)和的情形，即dxxfdxxfdxxfdxxfxfxfnn )( )( )()()()( 2121 基本積分公式 由于不定積分是求導(dǎo)數(shù)或微分的逆運算，那么就自然可以從導(dǎo)數(shù)公式得到相應(yīng)的積分公式。積分法。接質(zhì)的積分方法稱之為直套用基本積分公式和性基礎(chǔ)，必須熟記。式，是求不定積分的以上十三個基本積分公見于是的一個原函數(shù)是例如： .79.) 1( 1 1 1 111pagCxdxxxxxxdxxx 1 2求例題來求不定

5、積分。）的形式，利用公式（先化為解：2 72125 27125252122xCxCxdxxdxxdxxxdxxx)5( 2 2求例題Cxxdxxdxxdxxxdxxx2327212521252325725)5)5( （解：注: 1)、分項積分后，每個不定積分的結(jié)果都含有任意常數(shù)。由于任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此總的只寫一個任意常數(shù)。 2)、檢驗積分結(jié)果是否正確，只要把結(jié)果求導(dǎo)，看它的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)。dxxx23) 1 3 （求例題Cxxxxxdxdxxdxxdxdxxxxdxxxxxdxxx1 ln332 133 )133( 133) 1 22222323（解：dxexx2 4 求例題

6、CeCeedxedxeeeexxxxxxxxx2ln12)2ln()2( )2(2 )3( 2 )2(2 得，利用積分公式看作把解：dxxx 1 5 24求例題 解：基本公式中沒有這種類型的積分，經(jīng)過變形化為表中所列類型，就可以逐項求積分：Cxxxdxxdxdxxdxxxdxxxxdxxxdxxxarctan3 11)111( 11) 1)(1( 111 1 322222222424dxxxdx2sin 2) tan 1 6 22）求下列不定積分例題Cxxdxxdxdxxxdxtansec) 1(sectan 1) : 222解Cxxxdxdxdxxdxx)sin(21cos21)cos1 (

7、21 2sin (2) 2 換元積分法 換元積分法是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)的逆運算，根據(jù)被積函數(shù)的不同特點將分為第一類和第二類換元積分法。 第一類換元積分法湊微分法）xdxxcossin 2求例如CxCuduuxdxxduuxxdxuxddxxxxdxx332222222sin3131cossin)(sinsin sin )(sinsin)(sinsincossin 回代，于是有則，令但直接積分法不能求出，解：CxFdxxxfxuCuFduufufuF)()()( )()()( )( )( 則有具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且的一個原函數(shù)，即為設(shè)定理 通常用以下步驟應(yīng)用上述定理：CxFCuFduufxdxfdxxxf

8、ux)()()()()()()( 回代）（令這種求不定積分的方法通常叫做第一類換元積分法湊微分法）dxx 232 1 求例題CxCuduuxdxdxxux23ln ln 1 )23( 231232 )23(回代令解：dxxx 1 2 2求例題 )131 3121 )1 (121 1 232232112222CxCuduuxdxdxxxux（解：回代令 方法熟悉后，可略去中間換元步驟，直接湊微分公式的形式見pag.83 湊微分）)0( 3 22axadx求例題12 1 arcsin )()(11)(1 2222利用了公式解：Caxaxdaxaxadxxadx2 arctan1 22類似可得Cax

9、axadxxdxtan 4 求例題Cxxxddxxxxdxcoslncos)(cos cossintan 解：Cxdxx sin ln cot 類似可得xdxsec 5 求例題Cxxxxxxddxxxxxxdxxxxxxxdxtanseclntansec)tan(sectansectansecsec tansec)tan(secsecsec 2解：Cxxxdxcotcsclncsc 類似可得dxax221 6 求例題CaxaxaCaxaxaaxaxdaxaxdadxaxaxadxaxln21lnln21)()(21 )11(211 : 22解本題中七個積分，可以作為公式使用 在求解不定積分時，

10、經(jīng)常需要先用代數(shù)運算或三角變換對被積函數(shù)做適當(dāng)變形，另外要多做題，掌握更多的積分技巧。xdx3sin 7 求例題Cxxxxdxdxdxxdxxxdx32223cos31cos )(coscos)(cos )(cos)cos1 ( sinsinsin 解：xdx2cos 8 求例題Cxxxxddxxdxdxdxxxdx42sin2 )2(2cos4121 2cos21 22cos1cos 2倍角公式解：Cxxxdx42sin2sin 2類似可得dxex 11 9 求例題Cexeeddxdxeedxeeedxexxxxxxxxx)1ln( 1)1 ()11 ( 11 11 解：xdxx2cos3c

11、os 10 求例題CxxxxdxdxdxxxxdxxBABABA5sin101sin21 )5(5cos51cos21 )5cos(cos212cos3cos )cos()cos(21coscos 于是公式利用三角中的積化和差解： 第二類換元積分法無理代換找出路，被積函數(shù)帶根號，例如 22dxxaCxFCtFdtttfdxxfCtFdtttfxttxxtxxf)( )()()( )( )()()( 3 )( )( 2 )( )( 1 )( 11還原變量則）存在，的反函數(shù)）連續(xù)，可導(dǎo)，且）連續(xù)，如果設(shè)函數(shù)定理 這類求不定積分的方法，稱為第二類換元積分法xdx21 1 求例題CxxCxxCtttd

12、tdtdttdtttxdxdttdxtxtx)21ln(2 )21ln(21ln )11 (121 ) 1( 2) 1( 21 12還原變量，則，設(shè)解：xedx1 2 求例題CeeCtttdtdttttedxdtttdxtxtetexxxxx1111ln11ln212 12 12 1 12 ) 1ln( 1 1 22222還原，設(shè)解：dxxx 1 3 3求例題CxxCttdttdttdtttdttttdxxxdttdxtxxt256 )35(6 6 ) 1(661 1 6 653524225323566，設(shè)解：)0( 4 22adxxa求例題來化去根式利用三角公式解： 1cossin 22tt

13、CtttaCttadttatdtatdtataadxxatdtadxttax)cossin(2)2sin21(222cos1 coscossin cos 22(sin 2222222222于是），則設(shè)xat22xa ，于是，作直角三角形，則有根據(jù)axataxtaxttax22cossinarcsin sin Cxaxaxadxxa222222arcsin2)0( 5 22aaxdx求例題來化去根式利用三角公式解： sectan1 22tt aCCCaxxCaxaaxCtttdtdttataaxdxtdtadxttaxln )ln()ln( tansecln secsecsec sec22(ta

14、n 12212213P.832222其中，于是），則設(shè)）公式（t22ax axCaxxCaaxaxtttdtdtatattaaxdx)ln( )ln( tansecln sec sectansec 2212222222類似可得設(shè) tansec sec tdttadxtaxx22ax ta 分部積分法分部積分法。方法積分），就采用另一種基本即兩個函數(shù)乘積的積分等類型的積分，形如(sincos xdxexdxxdxxexx。為易，化繁為簡的目的來計算，從而達(dá)到化難易求的化為比較容于把比較難求的分部積分公式的作用在vduudv 分部積分公式兩邊積分，得移項得公式分具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由微，設(shè) )( )(

15、 )()( vduuvudvvduuvdudvvduudvuvdxvvxuu: 積分歌部積分法，編寫了分部為了便于掌握、記憶分是關(guān)鍵，和時，恰當(dāng)選取應(yīng)用分部積分法求積分vu容易湊 dv 冪三指選冪冪三指選冪 （若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，設(shè)冪函數(shù)為u，其余為dv) 冪反對選反對）冪反對選反對） （若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和三角函數(shù)的乘積，設(shè)反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)為u，其余為dv) 三角指數(shù)可任選三角指數(shù)可任選可化簡 du 出現(xiàn)循環(huán)移項解出現(xiàn)循環(huán)移項解現(xiàn)舉例說明uxdxx冪三選冪為求例題 sin 1 Cxxxxdxxxxdxxxvdxduxdxdvxusin

16、cos coscossincos sin 設(shè)解：u 2 冪指選冪為求例題dxxexCxeCexedxexedxxeevdxdudxedvxuxxxxxxxx) 1( 設(shè)解：dxexx2 3 求例題dxxeexdxexevxdxdudxedvxuxxxxx2 2 222設(shè)解：可化簡就可以了。于是再使用一次分部積分法知，對低了一次，由例題中的冪次前次比后者降數(shù)容易求積分，因被積函比這里duCxxeCxeexdxxeexdxexdxxedxexdxxexxxxxxxxx )22( ) 1(22 2 22222uxdxx冪對選對為求例題 ln 4 Cxxxdxxxxxdxxxvdxxduxdxdvxu

17、4ln2 21ln2ln 2 1 ln 2222設(shè)解：冪反選反求例題 arccos 5 xdx容易湊設(shè)解：dvCxxxxxdxxdxxxxxxdxxvdxxdudxdvxu 1arccos )1 ()1 (21arccos 1arccosarccos 11 arccos 2212222冪反選反求例題 arctan 6 xdxxCxxxxdxxdxxxdxxxxxdxxxxxxdxxxvxdxdvxdxdvxu)arctan(21arctan2 1121arctan2 11121arctan2 121arctan2arctan 2 1 arctan 22222222222設(shè)解：三角指數(shù)可任選求例

18、題 sin 7 xdxexxdxexexdxexvxdxdvdxedueuxxxxxcoscossin cossin : ，；，設(shè)解 等式左端的積分與右端的積分是同一類型，對右端積分再用一次分部積分法，出現(xiàn)循環(huán)移項解，便得再兩端同除以把它移到等號左端去，就是所求的積分由于上式右端的第三項，；，又設(shè) )cos(sin21sin 2 sin sinsincossin sincos Cxxexdxexdxexdxexexexdxexvxdxdvdxedueuxxxxxxxxx 簡單有理函數(shù)積分 （有理可分解）有理函數(shù)是指由兩個多項式的商所表示的函數(shù)，即)00( )()(00110110babxbxbaxaxaxQxPmmmnnn，式。時，稱有理函數(shù)是假分當(dāng)式；反之，時，稱有理函數(shù)是真分若mnmn 一般地，利用多項式除法，總可把假分式化為多項式真分式之和，例如12111232235xxxxxxxx 多項式部分可逐項積分，因此以下只討論真分式的積分法。 有理真分式積分有以下三種形式，現(xiàn)舉例說明：dxaxA 1. dxxxx653 1 2求例題）（）（兩端去分母后，得方法一：定系數(shù)法求出：為待定常數(shù)，可以用待、其中真分式解：分解2 )23()(3 or 1 )2()3(3 32)3)(2(3653 2BAxBAxxBxAxBAxBxAxxxxxx這是恒