一高階導數(shù)及其運算法則ppt課件

1、8. 高階導數(shù)與高階微分高階導數(shù)與高階微分YunnanUniversity1一、高階導數(shù)及其運算法那么一、高階導數(shù)及其運算法那么，其其速速度度物物體體運運動動規(guī)規(guī)律律)(tss .lim)(0tstsvt一階導數(shù)一階導數(shù)).() )()(lim)(0tststvtvtat 時間內(nèi)在t于是于是,212gts 自由落體運動,)()()()(ttsttsttvttvtva.) )()()()21()(2gtststvagtgttsv ，例如：二階導數(shù)的物理意義二階導數(shù)的物理意義8. 高階導數(shù)與高階微分高階導數(shù)與高階微分YunnanUniversity2Def :，即即，或或，或或的的二二階階導導數(shù)數(shù)

2、，記記為為在在的的導導數(shù)數(shù)，稱稱為為（一一階階導導數(shù)數(shù)）在在的的導導數(shù)數(shù)22)()()()(dxydxfyxxfxxfyxfy ，即即，或或，或或階階導導數(shù)數(shù)，記記為為的的在在的的導導數(shù)數(shù)稱稱為為在在階階導導數(shù)數(shù)的的一一般般地地，nnnnndxxdxfynxxfxxfnxfy)()()(1)()()()1( .) )()()(lim)(0 xfxxfxxfxfyx.)()()()(33dxydxfyxxfxxfxfy，或或，或或?qū)?shù)數(shù)，記記為為的的三三階階在在的的導導數(shù)數(shù)稱稱為為在在的的二二階階導導數(shù)數(shù) .) )()()(lim)()1()1()1(0)()(xfxxfxxfxfynnnxn

3、n8. 高階導數(shù)與高階微分高階導數(shù)與高階微分YunnanUniversity3.次次逐逐階階進進行行一一階階導導數(shù)數(shù)的的方方法法，階階導導數(shù)數(shù)就就是是反反復復運運用用求求根根據(jù)據(jù)定定義義，求求統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為高高階階導導數(shù)數(shù)二二階階與與二二階階以以上上的的導導數(shù)數(shù)nn.)(110nnnaxaxaxPn次次多多項項式式.0)()(.!123)2)(1()()2()1(00)(xPxPanannnxPnnn例1.)2)(1() 1()(,) 1()(3312012110 nnnnnnaxannxannxPaxanxnaxP.,!)(0階階的的導導數(shù)數(shù)皆皆為為零零其其高高于于階階導導數(shù)數(shù)是是常常數(shù)數(shù)的的

4、次次多多項項式式nannxPn8. 高階導數(shù)與高階微分高階導數(shù)與高階微分YunnanUniversity4).,constaeyax（例2.例3.cos,sinxyxy.,)(2axnnaxaxeayeayaey ),2sin(cos)(sinxxxy),22sin()2cos(sin xxxy).2sin()(sin)()(nxxynnxnxee)()(8. 高階導數(shù)與高階微分高階導數(shù)與高階微分YunnanUniversity5),22cos()2sin(cos),2cos(sin)(cos xxxyxxxy,)1 ()(xxf)(R逐階整理法例4.，21)1)(1()()1 ()( xxf

5、xxf.)1)(1()2)(1()()(nnxnxf).2cos()(cos)()(nxxynn8. 高階導數(shù)與高階微分高階導數(shù)與高階微分YunnanUniversity6高階導數(shù)的運算法那么高階導數(shù)的運算法那么 ).()()()()()()(xvxuxvxunnn)()()1(1)()0()()()(knkknnnnnvuCvuCvuxvxu.)!( !) 1() 1()0()0(knknkknnnCvvuukn，1.2. Leibniz 公式：其中其中nkkknknnnnnvuCvuvuC0)()()0()()1(1,8. 高階導數(shù)與高階微分高階導數(shù)與高階微分YunnanUniversit

6、y7注注1. 比較二項式展開公式比較二項式展開公式,)(01110vuvuCvuvunnnnn階階導導數(shù)數(shù)knvu)()()(nvu 記憶：記憶：注注2. 法那么法那么1，2成立的條件是成立的條件是)(xu)(xv與均存在 n 階導數(shù).次次冪冪，kvu) 1(008. 高階導數(shù)與高階微分高階導數(shù)與高階微分YunnanUniversity8例例5.cos)50(2yxxy，求).2cos(cos)(nxuxun，)248cos(2250 xC解：解：.cos2450sin100cos2xxxxx)249cos(2)250cos(1502)50(xxCxxy.0222 vvxvxv，8. 高階導數(shù)

7、與高階微分高階導數(shù)與高階微分YunnanUniversity9.ln)(nxyxay，求).10(aa，,)(ln)()(nxnxaaa,)!1()1()(ln1)(nnnxnx例6.nkkknxknnxaCy0)()()()(ln)(nkkkknxknxkaaC01.)!1() 1()(ln解：解：注注3. 求復合函數(shù)、參數(shù)方程及隱函數(shù)等的高階導數(shù)，仍是求復合函數(shù)、參數(shù)方程及隱函數(shù)等的高階導數(shù)，仍是反復運用一階導數(shù)的法那么反復運用一階導數(shù)的法那么. 如：如：8. 高階導數(shù)與高階微分高階導數(shù)與高階微分YunnanUniversity10:)()() 1 (的的二二階階導導數(shù)數(shù)，復復合合函函數(shù)數(shù)

8、xguufy.)(22222dxuddudydxduduyd)()(22dxdududydxddxdydxddxyd)()(dxdudxddudydxdududydxd,dxdududydxdy8. 高階導數(shù)與高階微分高階導數(shù)與高階微分YunnanUniversity11:)()()2(的的二二階階導導數(shù)數(shù)，參參數(shù)數(shù)方方程程tytx.)()(ttdxdyy)()()()()()()()()(222tttttttdtdttdtddxydxdydy .)()()()()(3ttttt 8. 高階導數(shù)與高階微分高階導數(shù)與高階微分YunnanUniversity12.sincos22dxydtbyta

9、x，求求，例7.解：解：，ctgtabdxdy.cscsin)csc()cos()()(32222tabtatabtactgtabdtdxdxdydtddxyd例8.cos22dxyddxdyxeyxy，求求設設8. 高階導數(shù)與高階微分高階導數(shù)與高階微分YunnanUniversity13求求導導，有有對對方方程程兩兩端端關關于于x解：解：得求求導導，又又有有式式兩兩端端關關于于對對x)(.cossinsincoscos)(2xexyexyexyexyeyyyyyy )(,sincos1xexyeyyy.cos1sin1xexedxdyyyy.)cos1 ()sin22cos(3222xexe

10、xeedxydyyyyy 得8. 高階導數(shù)與高階微分高階導數(shù)與高階微分YunnanUniversity14二、高階微分二、高階微分Def:的的二二階階微微分分，的的微微分分稱稱為為)()(的微分)(xfdxxfdyxfy的的的的微微分分稱稱為為階階微微分分的的一一般般地地，記記為為)(1)(.12xfydnxfydny = f (x) 的各階微分：的各階微分：,)(dxxfdy,)()()()(22dxxfdxxfddxxfddydyd .)()()(3223dxxfdxxfdyddyd .統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為高高階階微微分分二二階階及及二二階階以以上上的的微微分分階階微微分分，記記為為ydnn8.

11、高階導數(shù)與高階微分高階導數(shù)與高階微分YunnanUniversity15普通地，,)()()()(1)1(1nnnnnndxxfdxxfdyddyd即：).()(xfdxydnnn對于復合函數(shù)，上述公式不成立.，有有，則則對對于于，設設)()()(tgfytgxxfydxxfdttgxfdy)()()(.)()(22xdxfdxxf )()()()(2dxdxfdxxfddxxfdyd8. 高階導數(shù)與高階微分高階導數(shù)與高階微分YunnanUniversity16.)()(的的函函數(shù)數(shù)是是，不不是是自自變變量量，因因為為tdttgdxtgxx, 0) 1 ()(2dxddxdxdx是是自自變變量

12、量時時，有有而而當當.這這兩兩式式一一般般不不相相等等.)(22dxxfyd 此此時時變變性性高高階階微微分分不不具具有有形形式式不不8. 高階導數(shù)與高階微分高階導數(shù)與高階微分YunnanUniversity17留意留意: : ，)()(nnnnxddxdxdx(1)表表示示微微分分的的冪冪，ndx)(；指指冪冪的的微微分分，即即；簡簡記記為為dxnxxdxddxnnnn1)()(.階階微微分分的的是是而而nxxdn求高階微分時，假設求高階微分時，假設 x 是自變量，那么由于是自變量，那么由于 dx 是不依是不依賴于賴于 x 的恣意的數(shù)，故關于的恣意的數(shù)，故關于 x 微分時，必需視微分時，必需

13、視 dx為常數(shù)因子為常數(shù)因子.假設假設 x 不是自變量，而是某一變量的函數(shù)，不是自變量，而是某一變量的函數(shù)，如如.)()(的的函函數(shù)數(shù)是是，則則tdttgdxtgx(3) 求 n 階微分本質(zhì)上就是求 n 階導數(shù).(2)8. 高階導數(shù)與高階微分高階導數(shù)與高階微分YunnanUniversity18例9：.22ydxy，求解：解：.2222dxydxdxdyx，是是自自變變量量時時，當當，則則不不是是自自變變量量時時，如如設設當當2txx.12422234dttyddttdyty，.128)2(222322222dttdtttdtdxyd而而.422232dtttdttxdxdy.222222dtxdtdtdxtxxy，.1222)2(22222222222dttdtttdtxxddxyd128. 高階導數(shù)與高階微分高階導數(shù)與高階微分YunnanUniversity19例10. ydexynxn，求解：解：).(,) 1() 1()()(nkxknnnxknknnkknknxknnxnxeCex0)()()()()()(.) 1() 1(0nk