普通光纖基礎(chǔ)理論3

1、1.5 圓錐形光纖圓錐形光纖 圓錐形光纖圓錐形光纖:如果直圓柱形光纖兩端的直徑不相如果直圓柱形光纖兩端的直徑不相等，并且其直徑隨長(zhǎng)度線性變化。等，并且其直徑隨長(zhǎng)度線性變化。 嚴(yán)格的說(shuō)，嚴(yán)格的說(shuō)，每根光纖兩端的直徑都不可能完每根光纖兩端的直徑都不可能完全相等全相等，只是差別大小而已，但是這種直徑的，只是差別大小而已，但是這種直徑的差別對(duì)光的傳播是有影響的，尤其對(duì)于有些特差別對(duì)光的傳播是有影響的，尤其對(duì)于有些特殊應(yīng)用這種影響不能不考慮，因而對(duì)直圓柱形殊應(yīng)用這種影響不能不考慮，因而對(duì)直圓柱形光纖的直徑變化有時(shí)就規(guī)定了一個(gè)范圍，不能光纖的直徑變化有時(shí)就規(guī)定了一個(gè)范圍，不能超越，否則就不能應(yīng)用。超越，否

2、則就不能應(yīng)用。 另一方面，另一方面，一定錐度的錐形光纖有聚光的能一定錐度的錐形光纖有聚光的能力力，光線從小端入射，在大端出射光強(qiáng)度會(huì)提，光線從小端入射，在大端出射光強(qiáng)度會(huì)提高。高。 圖圖9表示的是子午光線通過(guò)錐形光纖的表示的是子午光線通過(guò)錐形光纖的光路。光路。設(shè)設(shè)為錐形光纖的錐角為錐形光纖的錐角。由圖可知，在。由圖可知，在錐形光纖中，光線在纖芯和包層界面內(nèi)壁上的錐形光纖中，光線在纖芯和包層界面內(nèi)壁上的反射次數(shù)增加而逐漸減小。當(dāng)光線以反射次數(shù)增加而逐漸減小。當(dāng)光線以角入射角入射 圖9 錐形光纖1于錐形光纖的大端時(shí)，折射角為于錐形光纖的大端時(shí)，折射角為1，在錐角，在錐角=0時(shí)，纖芯和包層界面內(nèi)壁上

3、的反射如下時(shí)，纖芯和包層界面內(nèi)壁上的反射如下的數(shù)學(xué)式來(lái)表示角的數(shù)學(xué)式來(lái)表示角 =90 1 。由于錐角。由于錐角0，所以光線在內(nèi)壁上發(fā)生第一次反射，所以光線在內(nèi)壁上發(fā)生第一次反射后，反射角就減小后，反射角就減小，從第二次反射開(kāi)始，從第二次反射開(kāi)始，以后每次反射后，反射角就減小以后每次反射后，反射角就減小 。112190902 (28)又又 (29)將式將式(29)代入式代入式(28)可得可得:31190390nn011sinsinnn011arcsin(sin )nn (30) 這個(gè)公式說(shuō)明，這個(gè)公式說(shuō)明，當(dāng)光線從錐形光纖的大端當(dāng)光線從錐形光纖的大端入射時(shí)，全反射條件很容易被破壞。入射時(shí)，全反射

4、條件很容易被破壞。因?yàn)樵诠庖驗(yàn)樵诠饫w中發(fā)生全反射的條件是纖中發(fā)生全反射的條件是 ，而錐形光纖，而錐形光纖的反射角的反射角 是一直在減小，所以總會(huì)在某一是一直在減小，所以總會(huì)在某一次反射后，全反射條件不滿(mǎn)足了。光線也就會(huì)次反射后，全反射條件不滿(mǎn)足了。光線也就會(huì)從光纖的側(cè)壁逸出去。即使在錐角從光纖的側(cè)壁逸出去。即使在錐角很小的情很小的情況下，只要反射次數(shù)足夠多，就會(huì)在某一次反況下，只要反射次數(shù)足夠多，就會(huì)在某一次反0190arcsin(sin )nnnncn射后出現(xiàn)射后出現(xiàn) ，而使全反射條件受到破壞。，而使全反射條件受到破壞。同時(shí)，由于內(nèi)壁上的反射角逐步減小，光線從同時(shí)，由于內(nèi)壁上的反射角逐步減小

5、，光線從錐形光纖大端入射時(shí)，小端的錐形光纖大端入射時(shí)，小端的出射光出現(xiàn)發(fā)出射光出現(xiàn)發(fā)散，散，這是由于此時(shí)出射光錐角比入射的大。反這是由于此時(shí)出射光錐角比入射的大。反之，之，當(dāng)光線從錐形光纖小端入射時(shí)，從纖芯和當(dāng)光線從錐形光纖小端入射時(shí)，從纖芯和包層界面內(nèi)壁上的反射角經(jīng)每次反射后就會(huì)增包層界面內(nèi)壁上的反射角經(jīng)每次反射后就會(huì)增加，所以大多數(shù)的光線都會(huì)滿(mǎn)足全反射條件加，所以大多數(shù)的光線都會(huì)滿(mǎn)足全反射條件，這是和上面情況相反的。同樣此時(shí)的出射光錐這是和上面情況相反的。同樣此時(shí)的出射光錐角比入射的小，因而角比入射的小，因而出射光又會(huì)聚作用出射光又會(huì)聚作用。圖。圖10就表示了這兩種情況。就表示了這兩種情況

6、。nc 圖5.10 錐形光纖大端與小端進(jìn)光的比較 要使光線都能從光纖另一端出射，則應(yīng)滿(mǎn)要使光線都能從光纖另一端出射，則應(yīng)滿(mǎn)足足: 對(duì)于大端入射的情況對(duì)于大端入射的情況:a1和和a2分別時(shí)光纖出分別時(shí)光纖出1122121sin()1 ()2anana1a2l射端射端(小端小端)和入射端和入射端(大端大端)的半徑，的半徑，若若 ，則由上式可得，則由上式可得:這是一般情況下錐形光纖聚光條件，再利用這是一般情況下錐形光纖聚光條件，再利用:cos()12112212111 ()sinsin()2cosanan21sin()2aall是光纖長(zhǎng)度，可得是光纖長(zhǎng)度，可得:上式上式為使錐形光纖聚光，光纖有最小長(zhǎng)

7、度為使錐形光纖聚光，光纖有最小長(zhǎng)度l0 另外，錐形光纖兩端孔徑角不一樣，大端另外，錐形光纖兩端孔徑角不一樣，大端孔徑角小，小端孔徑角大，兩者滿(mǎn)足關(guān)系式孔徑角小，小端孔徑角大，兩者滿(mǎn)足關(guān)系式:21111221212()cos121 ()sinaalanan2010sinsinaa式中式中: 由此可見(jiàn)，由此可見(jiàn)，錐形光纖可以改變孔徑角，因錐形光纖可以改變孔徑角，因而可用于耦合。而可用于耦合。122121220122201201sin()1sin()anna nnnn1.6 光纖的集光本領(lǐng)光纖的集光本領(lǐng) 數(shù)值孔徑是表征光纖集光能力大小的一個(gè)數(shù)值孔徑是表征光纖集光能力大小的一個(gè)參數(shù)。數(shù)值孔徑越大即孔徑

8、角越大，光纖的集參數(shù)。數(shù)值孔徑越大即孔徑角越大，光纖的集光能力就越強(qiáng)，也就是說(shuō)能進(jìn)入光纖的光通量光能力就越強(qiáng)，也就是說(shuō)能進(jìn)入光纖的光通量就越多。就越多。 光纖和普通的光學(xué)透鏡相比，它的數(shù)值孔光纖和普通的光學(xué)透鏡相比，它的數(shù)值孔徑大是一個(gè)顯著的特點(diǎn)。徑大是一個(gè)顯著的特點(diǎn)。設(shè)光學(xué)透鏡的口徑為設(shè)光學(xué)透鏡的口徑為d，焦距為，焦距為f，如圖，如圖5.11所所示，示，透鏡數(shù)值孔徑透鏡數(shù)值孔徑可表可表示為示為:01. .sin22()mdN Anffd圖5.11 透鏡的數(shù)值孔徑上式說(shuō)明了光學(xué)透鏡的數(shù)值孔徑由上式說(shuō)明了光學(xué)透鏡的數(shù)值孔徑由f/d決定決定(f/d為為f數(shù)。數(shù)。d/f稱(chēng)為稱(chēng)為相對(duì)孔徑相對(duì)孔徑)。(

9、31)n0=1時(shí)，時(shí)，f數(shù)與數(shù)與N.A.的關(guān)系如下表所示的關(guān)系如下表所示: 可看出在可看出在n0=1時(shí)光學(xué)透鏡要使孔徑角達(dá)到時(shí)光學(xué)透鏡要使孔徑角達(dá)到90是很難做到的。是很難做到的。但是光纖的數(shù)值孔徑可但是光纖的數(shù)值孔徑可以做得很大。只要選取合適的芯材料和包層以做得很大。只要選取合適的芯材料和包層材料，其數(shù)值可以達(dá)到材料，其數(shù)值可以達(dá)到1。f數(shù)數(shù)N.A.f/2.8110.18f/1.9150.26f/0.5901m 從式從式(4)可知，可知，由于由于 的數(shù)值的數(shù)值可以大于可以大于1，從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，max的值只可的值只可能為能為90，但從物理意義上來(lái)說(shuō)，表明光纖，但從物理意義上來(lái)說(shuō)，

10、表明光纖的集光能力特別強(qiáng)的集光能力特別強(qiáng)，不但在，不但在n0=1時(shí)時(shí)max可可以達(dá)到以達(dá)到90，而且在，而且在n01時(shí)，時(shí)，max仍有可仍有可能達(dá)到能達(dá)到90，這在實(shí)際的應(yīng)用中是很有意，這在實(shí)際的應(yīng)用中是很有意義的。義的。2212nn朗伯光源朗伯光源:發(fā)光強(qiáng)度發(fā)光強(qiáng)度dIcos,亮度與方向無(wú)關(guān)?，F(xiàn)在我們亮度與方向無(wú)關(guān)?，F(xiàn)在我們 來(lái)計(jì)算來(lái)計(jì)算 光纖對(duì)朗伯光源發(fā)出的光的聚集能力。光纖對(duì)朗伯光源發(fā)出的光的聚集能力。圖5.12 朗伯光源的發(fā)光如圖如圖12所示，朗伯光源處于半徑為所示，朗伯光源處于半徑為r的半球面的的半球面的球心球心O處，則通過(guò)立體角處，則通過(guò)立體角 到到 (圖中環(huán)形陰圖中環(huán)形陰影區(qū)域影

11、區(qū)域)的光通量的光通量dF為為:d02cosIdFdSr(32)陰影區(qū)域的陰影區(qū)域的面積面積2sindSrdr且且于是可得于是可得:02sincosdFId (33)由于光纖的可接受角范圍是由于光纖的可接受角范圍是0max ，對(duì)于式，對(duì)于式(33)積分后有積分后有:由于從面光源由于從面光源O點(diǎn)發(fā)出的總光能流為點(diǎn)發(fā)出的總光能流為 ，所，所以光纖的集光效率為以光纖的集光效率為 。 由上面的討論可以看出，光纖的數(shù)值孔徑由上面的討論可以看出，光纖的數(shù)值孔徑和集光本領(lǐng)有密切關(guān)系，和集光本領(lǐng)有密切關(guān)系，當(dāng)當(dāng)N.A. 1時(shí)，子午時(shí)，子午光線的集光本領(lǐng)與數(shù)值孔徑光線的集光本領(lǐng)與數(shù)值孔徑N.A.的平方成正比的平

12、方成正比；當(dāng)；當(dāng)N.A. 1時(shí)，集光本領(lǐng)達(dá)到最大值時(shí)，集光本領(lǐng)達(dá)到最大值1。由由于光纖的于光纖的N.A. 可以比光學(xué)鏡頭的大得多，所可以比光學(xué)鏡頭的大得多，所以與一般光學(xué)鏡頭比較，光纖的集光本領(lǐng)高。以與一般光學(xué)鏡頭比較，光纖的集光本領(lǐng)高。max200max02sincossinFIdI 0I2maxsin(34)2 偏射光線的傳播偏射光線的傳播 偏射光線偏射光線:是一些和光纖中心軸即不平行，也不是一些和光纖中心軸即不平行，也不相交的光線，它們和光纖中心軸是相交的光線，它們和光纖中心軸是異面直線異面直線。 偏射光線在光纖中進(jìn)行一次全反射，平面的方偏射光線在光纖中進(jìn)行一次全反射，平面的方位就要改變

13、一次。其光路軌跡是空間的螺旋折線，位就要改變一次。其光路軌跡是空間的螺旋折線，在端面上的投影可以是在端面上的投影可以是左旋折線左旋折線，也可以是，也可以是右旋右旋折線折線，并且這些螺旋折線和光纖的中心軸是等距，并且這些螺旋折線和光纖的中心軸是等距的。的。右旋 左旋 圖5.13 斜光線在光纖端面上的投影 2.1 全反射條件全反射條件 如圖如圖14所示，所示，QK為為入射在光纖內(nèi)的斜光線，入射在光纖內(nèi)的斜光線，QK和光纖中心和光纖中心oo是既不平是既不平行，又不相交的異面直線。行，又不相交的異面直線。H為為K在橫截面在橫截面(或端面或端面)上上的投影。的投影。QKH= 是是斜斜光線和光纖軸之間的夾

14、角光線和光纖軸之間的夾角，內(nèi)壁上的入射角內(nèi)壁上的入射角KQT ，軸傾角軸傾角HQT= 是斜光線是斜光線在入射點(diǎn)橫截面上的投影在入射點(diǎn)橫截面上的投影QH 圖5.14 斜光線的全 反射條件和法線和法線QT之間的夾角。之間的夾角。HToT，則，則QT垂直垂直于于KHT平面。這樣，平面。這樣，QTH， QKT， QKH均為直角三角形。均為直角三角形。在在QTH中，中，QTQHcos ，在，在QKH中，中，QKQH/sin ，在，在QKT中中: (35)上式說(shuō)明這三個(gè)角度之間的關(guān)系。上式說(shuō)明這三個(gè)角度之間的關(guān)系。顯然光線在顯然光線在光纖內(nèi)壁發(fā)生全反射時(shí)光纖內(nèi)壁發(fā)生全反射時(shí) 是不變的是不變的，由于，由于c

15、oscos sinQTQK ，而，而 ，這樣，這樣就可以得到斜光線的全反射條件為就可以得到斜光線的全反射條件為: (36)因此，在光纖中傳播的斜光線必須滿(mǎn)足如下條因此，在光纖中傳播的斜光線必須滿(mǎn)足如下條件件: (37)21sin/nn221cos1 ()nn221cos sin1 ()nn221cos sin1 ()nn如果用光線在光纖端面上入射角如果用光線在光纖端面上入射角來(lái)代替折射來(lái)代替折射角角 ，則上式可以改寫(xiě)成，則上式可以改寫(xiě)成: (38)如果入射光線是子午光線，則如果入射光線是子午光線，則QH和和QT相重合相重合， =0，公式變成，公式變成: (39)221201sincosnnn2

16、2122120sin1 ()1sinnnnnn我們從公式我們從公式(38)就可以得到斜光線的數(shù)值就可以得到斜光線的數(shù)值孔徑為孔徑為: (40)由于由于cos 1，因而，因而斜光線的數(shù)值孔徑要比子斜光線的數(shù)值孔徑要比子午光線的數(shù)值孔徑大午光線的數(shù)值孔徑大。由于。由于 的數(shù)值依賴(lài)于入的數(shù)值依賴(lài)于入射角射角的取向，所以在斜光線的情況下的取向，所以在斜光線的情況下max總有可能為總有可能為90，但此時(shí)相應(yīng)的，但此時(shí)相應(yīng)的 的數(shù)值應(yīng)的數(shù)值應(yīng)滿(mǎn)足下式滿(mǎn)足下式:22120maxN.A.sincosnnn斜M (41)從式從式(40)可以得到軸傾角可以得到軸傾角 ，令其為，令其為 即有即有: (42)這里的這

17、里的 為偏射光線在光纖內(nèi)壁全反射時(shí)的臨為偏射光線在光纖內(nèi)壁全反射時(shí)的臨界角。在全反射的條件下界角。在全反射的條件下， 的取值范圍為的取值范圍為 。 討論偏射光線的傳播，可以使我們理解所討論偏射光線的傳播，可以使我們理解所01sinMnn00sincoscossincMccM謂子午孔徑外的黑帶現(xiàn)象。如果我們用謂子午孔徑外的黑帶現(xiàn)象。如果我們用范圍內(nèi)的平行光線入射于光纖的內(nèi)壁，則范圍內(nèi)的平行光線入射于光纖的內(nèi)壁，則 角角的取值就是的取值就是 至至90的范圍，這樣，在光纖的范圍，這樣，在光纖端面上就出現(xiàn)黑帶現(xiàn)象。端面上就出現(xiàn)黑帶現(xiàn)象。 利用公式利用公式(42)還可以求出在全反射時(shí)還可以求出在全反射時(shí)偏射光線到光纖中心軸之間的距離。在圖偏射光線到光纖中心軸之間的距離。在圖14中，作中，作OMQH，又，又OMKH，所以，所以O(shè)M垂直于偏射光線垂直于偏射光線QK所在的平面，而所在的平面，而OM就是偏就是偏射光線至光纖中心軸的距離，射光線至光纖中心軸的距離，D為光纖直徑。為光纖直徑。 在在OQM中中:cM0 (43)如果如果 ，則，則OM即為我們所要求的斜光線即為我們所要求的斜光線到中心軸的最小距離，利用到中心軸的最小距離，利用 和和 的關(guān)的關(guān)系，上式可改寫(xiě)為系，上式可改寫(xiě)為:1222sin/22cos1