索洛經(jīng)濟(jì)增長模型

1、第二章 索洛經(jīng)濟(jì)增長模型一、問題的提出1.什么因素決定了經(jīng)濟(jì)增長？2.經(jīng)濟(jì)增長的一般趨勢是什么？3.為什么國家或地區(qū)之間存在著收入差異？4.窮國能否趕上富國？二、生產(chǎn)函數(shù)1.投入與產(chǎn)出的函數(shù)形式其中，Y為產(chǎn)量，K為資本，L為勞動(dòng)力，A為知識或勞動(dòng)的有效性，t表示時(shí)間注意：AL為有效勞動(dòng)，此種形式的技術(shù)進(jìn)步為“勞動(dòng)增進(jìn)型”或“哈羅德中性”思考：如果知識進(jìn)入的形式不是Y=F(K,AL)（哈羅德中性），而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（?？怂怪行裕Y(jié)果會有何不同？ 只有勞動(dòng)增進(jìn)型技術(shù)進(jìn)步被證明與穩(wěn)態(tài)的存在相一致2.生產(chǎn)函數(shù)的特性假設(shè)（1）規(guī)模報(bào)酬不變：F(cK,cAL)=cF

2、(K,AL)，對于c0含義：經(jīng)濟(jì)足夠大，專業(yè)化收益被窮盡；其他投入品（如自然資源）相對不重要令c=1/AL,則令有效勞動(dòng)的人均資本k=K/AL，有效勞動(dòng)人均產(chǎn)量y=Y/AL，則y=f(k),總產(chǎn)量Y=ALf(k)（2）邊際產(chǎn)品遞減：f(k)滿足f(0)=0,f(k)>0,f”(k)<0，f(k)是資本的邊際產(chǎn)品【證明】Y=ALf(k)兩邊分別對K、L求導(dǎo)數(shù)：資本的邊際產(chǎn)品為：有效勞動(dòng)的邊際產(chǎn)品為：（3）稻田條件：,一個(gè)滿足上述條件假設(shè)的新古典生產(chǎn)函數(shù)圖示f(k) f(k)k一個(gè)特殊的生產(chǎn)函數(shù)：C-D生產(chǎn)函數(shù)，思考：試證明C-D生產(chǎn)函數(shù)滿足3個(gè)特性假設(shè)。3生產(chǎn)投入品的變動(dòng)假設(shè)時(shí)間t是

3、連續(xù)的（非離散的）（1）勞動(dòng)力的增長：（2）知識的增長：其中n為人口增長率，g為技術(shù)進(jìn)步率，均為外生參數(shù)，表示不變增長速度思考：L，A為何種形式的增長方式？（指數(shù)形式增長，證明）（3）資本的增長：其中s為儲蓄率，為資本折舊率，均為外生變量三、平衡增長路徑1k的動(dòng)態(tài)學(xué)（1）k(t)的動(dòng)態(tài)方程已知 , 先做變換，兩邊取自然對數(shù)對t求導(dǎo)數(shù)，得： 代入，有： 是索洛模型的基本微分方程，它表明是的方程。含義說明：人均實(shí)際投資用于兩方面：一是“資本的深化”，即，二是“資本的廣化”（“持平投資”），即。（2）穩(wěn)態(tài)均衡定義“穩(wěn)態(tài)”：一種其中各種數(shù)量都以不變速度增長的狀況，即=0。當(dāng)>時(shí)，>0（儲蓄

4、大于投資）當(dāng)<時(shí)，<0（儲蓄小于投資）當(dāng)=時(shí)，=0（儲蓄等于投資），即實(shí)際投資與持平投資相等。無論k從何處開始，它都收斂于k*。（3）圖示： 穩(wěn)態(tài)均衡圖示1k* k穩(wěn)態(tài)均衡圖示2 k* k證明：穩(wěn)態(tài)均衡圖示3（k的相圖） k* k2.平衡增長路徑當(dāng)k=k*時(shí)，模型中的各個(gè)變量將如何變動(dòng)？變量含義平衡增長速度備注證明絕對量K資本存量n+gk=K/ALL勞動(dòng)力nA知識或技術(shù)gAL有效勞動(dòng)n+gY總產(chǎn)出n+gF(cK,cAL)=cF(K,AL)C總消費(fèi)n+gC=(1-s)Y相對量k(Y/AL)有效勞動(dòng)的平均資本0K/L人均資本gy(Y/AL)有效勞動(dòng)的人均產(chǎn)出0y=f(k)=Y/ALY/

5、L人均產(chǎn)出gc(Y/AL)有效勞動(dòng)的人均消費(fèi)0c=(1-s)f(k)C/L人均消費(fèi)gK/Y資本產(chǎn)出比0注意：區(qū)分各變量（X）與時(shí)間（t）之間的變化關(guān)系，即X(t)、lnX(t)、 dX(t)/dt/X(t)。結(jié)論：在索洛模型中，無論從任何一點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)濟(jì)向平衡增長路徑收斂，在平衡增長路徑上，每個(gè)變量的增長率都是常數(shù)，且是外生決定的。特別是，在該路徑上，人均產(chǎn)出的增長率僅取決于技術(shù)進(jìn)步率。四、非均衡動(dòng)態(tài)與收斂考察兩個(gè)非均衡問題：（1）當(dāng)經(jīng)濟(jì)增長處在非穩(wěn)態(tài)時(shí)（kk*時(shí)）各變量如何向穩(wěn)態(tài)調(diào)整？（如何收斂？）（2）向穩(wěn)態(tài)調(diào)整有多快？（收斂的速度和時(shí)間？）1非均衡動(dòng)態(tài)定義k的增長率，當(dāng)>時(shí)，>

6、0；當(dāng)<時(shí)，<0。非穩(wěn)態(tài)動(dòng)態(tài)圖示1增長率<0 增長率>0k* k非穩(wěn)態(tài)動(dòng)態(tài)圖示2增長率<0 增長率<0 k* k這表明k離k*越遠(yuǎn)，其增長率（正或負(fù)）越大，即。（思考：這意味著什么樣的理論預(yù)測？與現(xiàn)實(shí)是否相符？）接下來，可以證明索洛模型中的其他變量X的非均衡動(dòng)態(tài)增長率（）與保持比例或線形關(guān)系，例如：因此，對k的非均衡動(dòng)態(tài)分析可以同樣適用于X，即。結(jié)論（索洛模型的收斂性）：每個(gè)經(jīng)濟(jì)都收斂于其自身的穩(wěn)態(tài)，而且這一收斂的速度與其離穩(wěn)態(tài)的距離成反比，或者說，經(jīng)濟(jì)離其自身的穩(wěn)態(tài)值越遠(yuǎn)，其增長率就越快。2絕對收斂與相對收斂對索洛模型的收斂性的實(shí)證檢驗(yàn)（樣本的同質(zhì)性與異質(zhì)

7、性），產(chǎn)生絕對收斂與相對收斂的概念。條件收斂的圖示： k(0)poor k*poor k(0)rich k*rich k 含義：當(dāng)窮國人均初始資本存量較小，而富國的儲蓄率較高時(shí)，富國會比窮國有更高的增長率。因此，一旦控制了穩(wěn)態(tài)的決定的情況下，條件收斂將成立。3收斂的速度考察收斂的速度的意義在于如果收斂的速度很快，就集中研究穩(wěn)態(tài)情況，如果收斂的速度很緩慢，研究動(dòng)態(tài)過程就更有意義。關(guān)鍵在考察k 以多快的速度趨近k *。由平衡增長的條件可知：，在k=k*處對作一階泰勒級數(shù)近似，可得：因此含義：在平衡增長路徑上，k向k*收斂的速度與k與k*之間的距離成比例。令，“收斂系數(shù)”，則，所以x的路徑為（指數(shù)增

8、長），即：可以證明，。舉例：假設(shè)，=1/3，則（表示k和y向k*和y*每年移動(dòng)剩余距離的4%），因此走完平衡增長路徑距離（即消除與初始收入差距）的一半約需18年時(shí)間。證明：，五、黃金分割律、最優(yōu)消費(fèi)和黃金率資本存量水平產(chǎn)出、儲蓄和消費(fèi)的關(guān)系：有效勞動(dòng)的平均消費(fèi)令c=c*（處在平衡增長路徑上），則：由于=，所以，目標(biāo)為人均消費(fèi)最大化，令，則，即為最優(yōu)消費(fèi)的一階條件，該 為黃金資本存量水平，最優(yōu)消費(fèi)，這被稱為“黃金分割律”。圖示： c gold k*gold k 再考慮儲蓄率s變化對消費(fèi)c*的影響。由平衡增長路徑的穩(wěn)定條件可知：，由此兩邊對s求導(dǎo)，有：>0,因此的符號決定于與的大小。當(dāng)，&g

9、t;, >0當(dāng)，<,<0因此s與c*的關(guān)系為：c* cgold sgold s六、儲蓄率變動(dòng)的影響下面考察政策控制變量s的變動(dòng)的影響，包括：（1） 對穩(wěn)態(tài)均衡的影響；（2） 兩個(gè)穩(wěn)態(tài)均衡之間的動(dòng)態(tài)路徑；（3） 對長期增長的影響程度；（4） 對長期增長的影響持續(xù)時(shí)間。1儲蓄率變化的比較靜態(tài)均衡 圖示1 k* k* k圖示2 k* k* k2. 儲蓄率變化的動(dòng)態(tài)影響（1） 對k的影響：先增加，并逐步收斂于新的更高水平。 k t 思考：s與k的動(dòng)態(tài)變化有何不同？（2）對Y/L的影響：先暫時(shí)性的增加，但隨后收斂于原來的平衡增長速度。思考：如何證明？提示：Y/L=Af(k)。 Y/L增

10、長率 tln(Y/L) t思考：儲蓄率變動(dòng)對K 、Y、K/Y的動(dòng)態(tài)影響如何？結(jié)論：（1）儲蓄率的變化只會暫時(shí)性地影響增長率，而不會永久性地影響?；蛘哒f，儲蓄率的變化只有水平效應(yīng)，而沒有增長效應(yīng)。（2） 只有技術(shù)進(jìn)步率的變化有增長效應(yīng)。（3） 政策含義：投入驅(qū)動(dòng)的增長不會持續(xù)。 3.儲蓄率變化對產(chǎn)出的長期影響考察儲蓄率s變化對有效勞動(dòng)人均產(chǎn)出y的影響（彈性分析）。由可知：由平衡增長的條件得到：兩邊對s求導(dǎo)數(shù)，解得：則兩邊同乘s/y*，并用代換s，得到：定義為k=k*處的產(chǎn)出的資本彈性，它也是資本收入占總收入的份額。（思考：為什么？）因此，為產(chǎn)出的儲蓄率彈性。舉例：設(shè)=1/3，則=1/2，當(dāng)儲蓄率

11、增加10%時(shí)，人均產(chǎn)出長期內(nèi)僅變化5%。結(jié)論：儲蓄率的顯著變化對平衡增長路徑上的產(chǎn)出變化只有較小的影響。4儲蓄率變化的影響時(shí)間注意“收斂系數(shù)”與s無關(guān)。前例：假設(shè)，=1/3，則（表示k和y向k*和y*每年移動(dòng)剩余距離的4%），因此走完平衡增長路徑距離的一半約需18年時(shí)間。因此，當(dāng)儲蓄率增加10%時(shí)，人均產(chǎn)出長期內(nèi)僅變化5%。第1年增長0.04(5%)=0.2%，18年后增長0.5(5%)=2.5%。結(jié)論：儲蓄率變化對人均產(chǎn)出變化的作用較緩慢。七、對索洛模型的總結(jié)和評論1主要結(jié)論（1）無論從任何一點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)濟(jì)向平衡增長路徑收斂，在平衡增長路徑上，每個(gè)變量的增長率都是常數(shù)。（2）在其他外生變量相似的條件下，人均資本低的經(jīng)濟(jì)有更快的人均資本的提高，人均收入低的經(jīng)濟(jì)有更高的增長率。（3）人均產(chǎn)出（Y/L）的增長來源于人均資本存量和技術(shù)進(jìn)步，但只有技術(shù)進(jìn)步才能夠?qū)е氯司a(chǎn)出的永久性增長。（4）通過調(diào)節(jié)儲蓄率可以實(shí)現(xiàn)人均最優(yōu)消費(fèi)和最優(yōu)資本存量的“黃金律”增長。（5）儲蓄率的變化只會暫時(shí)性地影響增長率，而不會永久性地影響；儲蓄率的顯著變化對平衡增長路徑上的產(chǎn)出變化只有較小的影響，且作用緩慢。2批評（1）未能夠解釋長期經(jīng)濟(jì)增長的真正來源。把技術(shù)進(jìn)步（勞動(dòng)的有效性）看成為外生給定的，而這恰恰是