概率與概率分布單元基礎(chǔ)知識總結(jié)

1、第六章 概率與概率分布*【學(xué)習(xí)目的與要求】通過本章學(xué)習(xí)，要求了解在深刻理解隨機事件、隨機變量和概率分布等概念的基礎(chǔ)上，熟練掌握幾種常用隨機變量性質(zhì)、特點及其概率分布規(guī)律，尤其是正態(tài)分布的性質(zhì)及應(yīng)用；明確大數(shù)定理和中心極限定理的意義?！緦W(xué)習(xí)重點和難點】概率的定義幾種常用的概率分布及應(yīng)用大數(shù)定律和中心極限定理的意義概率的基本運算和概率分布及應(yīng)用【課堂講授內(nèi)容】概率分布是統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)。概率分布與統(tǒng)計推斷之間的聯(lián)系紐帶是抽樣分布。當(dāng)我們掌握了概率分布及大數(shù)定理和中心極限定理之后，就能理解某個樣本的抽取是隨機的，作為其反映數(shù)量特征的樣本指標(biāo)就是隨機變量，而隨機變量的概率分布是理解抽樣分布的關(guān)鍵。第一節(jié)

2、 隨機變量及其概率分布一、隨機變量的概念所謂隨機變量，就是隨機試驗的定量描述。如果一個變量在隨機試驗中可以取得不同的數(shù)值，這些數(shù)值在試驗前無法確定，而對于一次具體的試驗它的取值又是確定的，則稱這樣的變量為隨機變量。 隨機變量用大寫字母X、Y、Z等表示，其具體取值常用小寫字母x、y、z來表示。隨機變量具有兩個特點：一是取值的隨機性，即事先不能確定取哪個值；二是取值的統(tǒng)計規(guī)律性，即隨機變量取值的可能性大小(概率)是完全可以確定的。隨機變量按其取值情況可以分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量兩類。如果一個隨機變量的所有可能取值都可以逐個列舉出來，則稱這樣的隨機變量為離散隨機變量。如果一個隨機變量的可能

3、取值不能一一列出，而是取某一區(qū)間的全部數(shù)值，則稱這樣的變量為連續(xù)隨機變量。二、隨機變量的概率分布隨機變量X的所有可能取值與其對應(yīng)的概率P（X）構(gòu)成的概率分布規(guī)律，叫做隨機變量的概率分布。（一）離散型隨機變量的概率分布分布列設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為 取這些值的概率分別為：，則稱 （k=1，2，3，）為離散型隨機變量X的概率分布或分布列。用表格直觀表示如下：XP由概率的性質(zhì)可知，任一分布都必須滿足以下兩個條件：（1）01 k=1，2，3， （2）對于離散隨機變量X，稱為X的分布函數(shù)。（二）連續(xù)型隨機變量的概率分布由于連續(xù)型隨機變量的取值是某個區(qū)間，無法一一列舉，因此不能用分布列來描述這類隨機

4、變量的統(tǒng)計規(guī)律。通常我們用數(shù)學(xué)函數(shù)的形式或分布函數(shù)的形式來描述。若函數(shù)f（x）滿足下列兩個條件：（1）（2），則稱為連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)。稱為連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)。 易見，分布函數(shù)具有下列性質(zhì)：， 為非降函數(shù)，即若，則第二節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征之所以稱期望，是因為對未來的不確定的數(shù)求平均數(shù)。一、隨機變量的數(shù)學(xué)期望隨機變量的數(shù)學(xué)期望或均值，是反映隨機變量集中趨勢的一種重要統(tǒng)計指標(biāo)，一般用E（X）或來表示，其又分為：離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望： （當(dāng)X的取值有限時） （當(dāng)X的取值無限時）注意：實際上就是X的各個可能取值以其概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均值。連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望：數(shù)學(xué)期望

5、反映了隨機變量X可能取值的平均水平，是刻畫隨機變量性質(zhì)的一個重要特征。數(shù)學(xué)期望具有如下重要性質(zhì)：（1）設(shè)C是常數(shù)，則E（C）=C；（2）設(shè)C是常數(shù)，X是隨機變量，則E（CX）=CE（X）；（3）設(shè)為n個隨機變量，則有（4）設(shè)X和Y為兩個相互獨立的隨機變量，則E（XY）=E（X）E（Y）二、隨機變量的方差隨機變量的方差是用來反映隨機變量取值的離散程度的統(tǒng)計指標(biāo)，它是每一個隨機變量取值與其期望值的離差平方的期望值。一般用D（X）或2表示，方差的平方根叫標(biāo)準(zhǔn)差，一般用表示。其計算公式為：D（X）=EXE（X） 2可簡化為：D（X）=E（X2）E（X） 2離散型隨機變量：連續(xù)型隨機變量：方差和標(biāo)準(zhǔn)差反

6、映了隨機變量X的可能取值在其均值周圍的分散程度。方差具有以下幾個重要性質(zhì)：（1）設(shè)C為常數(shù)，則D（C）=0（2）設(shè)C是常數(shù)，X是隨機變量，則D（CX）=C2D（X）；（3）設(shè)為n個相互獨立的隨機變量，則有第三節(jié) 幾種重要的離散型概率分布一、二項分布二項分布是最重要的概率分布之一，它是從著名的貝努里試驗中推導(dǎo)出來的。所謂貝努里試驗，是指只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗。如果貝努里試驗在相同條件下重復(fù)n次，并且各次的實驗結(jié)果相互獨立，則這樣的系列試驗稱為n重貝努里試驗。在每個特定的n重貝努里試驗中，設(shè)每次試驗成功的概率為p（p值不變），失敗的概率為q=1p，則成功次數(shù)X是一個離散型隨機變量，它的可能取值

7、是0，1，2，n。可以求出隨機變量X的分布列為： k=1，2，3，n。這種概率分布便稱為二項分布。這里是在n次試驗中成功次數(shù)的組合數(shù)，其計算公式為：二項分布列中的是對應(yīng)于k值的每一種組合出現(xiàn)的概率。當(dāng)一個隨機變量X的分布為二項分布時，就稱隨機變量X服從二項分布，記作Xb（n，p）。二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差分別為： 和 根據(jù)二項分布，不僅可以知道隨機變量概率分布的全貌，而且還可以推算出隨機變量在某一區(qū)間取值的概率：（1）事件A至多出現(xiàn)m次的概率為：（2）事件A至少出現(xiàn)m次的概率為：（3）事件A出現(xiàn)的次數(shù)不小于h不大于m的概率為：（4）事件A恰好出現(xiàn)m次的概率為：二、兩點分布在一次貝努里試驗中，成

8、功的次數(shù)X是只可能取0和1兩個值的離散隨機變量，它的分布列為P（X=1）=p ，P（X=0）=q這種概率分布稱為兩點分布。注意：兩點分布實際上是二項分布的一個特例，即b（1，p），它的數(shù)學(xué)期望和方差分別為： 和 二項分布在抽樣推斷中，成數(shù)及其方差的計算依據(jù)。三、泊松分布若隨機變量X具有如下分布列： k=1，2，3， （其中0，e=2.7183是個常數(shù)）則稱X服從參數(shù)為泊松分布。泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差分別為： 和 在=np恒定的情況下，當(dāng)n趨于無窮，同時p趨向于0時，二項分布趨向于泊松分布。這個結(jié)論表明，當(dāng)n很大，p很小時，有如下的近似公式： 其中=np，通常當(dāng)n20，p0.05時，就可采用該

9、近似公式。四、超幾何分布設(shè)一批產(chǎn)品共N件，其中有M件不合格，從中任意取出n件，其中不合格品數(shù)X是一個隨機變量，它的可能取值是0，1，2，min（n，N），可以導(dǎo)出X的分布列為： k=1，2，3，min（n，N）這種概率分布稱為超幾何分布。超幾何分布的數(shù)學(xué)期望和方差分別為： 和 其中為產(chǎn)品的不合格率。當(dāng)N很大，n相對較小時，超幾何分布近似于二項分布。即用二項分布來近似計算超幾何分布的各項概率，可以簡化計算。第四節(jié) 幾種重要的連續(xù)型概率分布 一、正態(tài)分布如果連續(xù)隨機變量X的密度函數(shù)為：，-x+則稱X服從參數(shù)為，的正態(tài)分布，記作XN（，），其中為隨機變量的均值，為隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)概率密度函數(shù)的

10、定義，可以求得隨機變量X的正態(tài)分布函數(shù)為： -x+特別當(dāng)=0，=1時，稱隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N（0，1）。此時X的密度函數(shù)記為：，x+ 分布函數(shù)記為：，x+正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線的特點（1），即整個密度曲線都在軸的上方；（2）曲線的圖形是一個單峰鐘型曲線，它相對于直線對稱。（3）曲線在處達到最高點，往正負兩個方向下降，無限逼近軸。這條曲線與軸之間的面積等于1。而且，曲線下在與之間的面積為0.6826，在與之間的面積為0.9545，在與之間的面積為0.9973。（4）曲線的陡緩程度完全由決定，越大，曲線越平緩，越小，曲線越陡峭；正態(tài)分布的數(shù)學(xué)性質(zhì)（1）若X服從正態(tài)分布，則對任意常

11、數(shù)a（a0），b，Z=a+bX也服從正態(tài)分布；（2）若X、Y皆服從正態(tài)分布，且相互獨立，則對任意的常數(shù)a、b（a、b不全為0），則Z=aX+bY也服從正態(tài)分布。根據(jù)正態(tài)分布的數(shù)學(xué)性質(zhì)，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。設(shè)XN（，2 ），則Z=（X）/N（0，1）將一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布后，通過查表，就可以解決正態(tài)分布的概率計算問題。一般地，設(shè)XN（， 2 ），ab則有：二項分布的正態(tài)近似：二項分布B（n，p），當(dāng)n很大，p和q都不太小時，不能用泊松分布近似計算。理論研究表明，當(dāng)n很大，而0p1是一個定值時，二項分布的隨機變量近似地服從正態(tài)分布N（np，npq）

12、。二、分布設(shè)隨機變量X1，X2，· · · ，Xn皆服從N（0，1）分布，且相互獨立，則隨機變量X=Xi2 所服從的分布稱為分布。其數(shù)學(xué)期望和方差分別為： 分布可用于方差估計和檢驗，以及非參數(shù)統(tǒng)計中擬合優(yōu)度檢驗和獨立性檢驗等。三、t分布設(shè)隨機變量XN（0，1），Y，且X和Y相互獨立，則隨機變量的分布稱為自由度為n的t分布。其數(shù)學(xué)期望和方差分別為： t分布可用于總體方差未知時正態(tài)總體均值的估計和檢驗，以及線性回歸模型中回歸系數(shù)的顯著性檢驗等。第五節(jié) 大數(shù)定律與中心極限定理一、大數(shù)定律大數(shù)定律是指在隨機試驗中，每次出現(xiàn)的結(jié)果不同，但是大量重復(fù)試驗出現(xiàn)結(jié)果的平均值卻幾乎

13、總是接近于某個確定的值的一系列定律的總稱。大數(shù)定律也稱大數(shù)法則。其中最著名的是切貝雪夫大數(shù)定律和貝努里大數(shù)定律。（一）切貝雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機變量X1，X2，相互獨立，且服從同一分布，它們的數(shù)學(xué)期望E（Xk）=，方差D（Xk）=2（k=1，2，），則對任意正數(shù)，有：由該定律可知，對于同一隨機變量X進行n次獨立觀察，則所有觀察值的平均數(shù)依概率收斂于隨機變量的期望值。該定律用于抽樣推斷有如下結(jié)論：隨著樣本單位數(shù)的增加，樣本平均數(shù)將有接近總體平均數(shù)的趨勢。大數(shù)定律為抽樣推斷中依據(jù)樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)提供了理論基礎(chǔ)，它是我們通過偶然現(xiàn)象，揭示必然性、規(guī)律性的工具。（二）貝努里大數(shù)定律設(shè)n次獨立試驗中

14、，事件A發(fā)生的次數(shù)為m，事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為P，則對于任意的正數(shù)，有：即當(dāng)試驗次數(shù)足夠多時，“事件A發(fā)生的頻率與事件A的概率之差，就其絕對值來說，可以充分小”的概率趨于1；也就是說，當(dāng)試驗次數(shù)很多時，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小。將該定律用于抽樣推斷有如下結(jié)論：隨著樣本單位數(shù)的增加，樣本成數(shù)（比率）將有接近總體成數(shù)（比率）的趨勢。這為抽樣推斷中依據(jù)樣本比率估計總體比率平均數(shù)提供了理論基礎(chǔ)。二、中心極限定理中心極限定理是指在一定條件下，大量相互獨立的隨機變量的分布是以正態(tài)分布為極限的一系列定理的總稱。中心極限定理確定了樣本推斷總體的可能性；確定了樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之

15、差的可能范圍；確定了樣本標(biāo)準(zhǔn)差替代總體標(biāo)準(zhǔn)差的可能性。最常用的中心極限定理有：（一）辛欽中心極限定理如果隨機變量X1，X2，Xn相互獨立，且服從同一分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差 2，則隨機變量X=Xk/n，在n無限大時，服從參數(shù)為和2/n 的正態(tài)分布，即n趨于無窮大時，XN（，2/n）將該定理用于抽樣推斷有如下結(jié)論：不管總體是什么分布，只要其均值和方差存在，當(dāng)樣本單位數(shù)足夠大（一般要大于30個）時，樣本平均數(shù)的分布就趨于數(shù)學(xué)期望為，方差為2/n的正態(tài)分布。（二）德棣莫佛拉普拉斯中心極限定理設(shè)n是n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，且事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為p，則當(dāng)n無限大時，頻率 n/n的

16、分布就趨于數(shù)學(xué)期望為p，方差為pq/n的正態(tài)分布。將該定理用于抽樣推斷有如下結(jié)論：不管總體是什么分布，只要樣本單位數(shù)n足夠大（一般要大于30個），那么樣本的頻率（成數(shù)）分布就趨于數(shù)學(xué)期望為p，方差為pq/n的正態(tài)分布?！局R要點網(wǎng)絡(luò)圖】隨機變量分布列分布函數(shù)期望方差連續(xù)離散概率分布二項分布二點分布泊松分布超幾何分布正態(tài)分布分布分布逼近大數(shù)定律中心極限定理【隨堂練習(xí)】1一張考卷中有15道單項選擇題，每題4個備選答案，只有1個正確答案。試求：答對5至10題的概率；至少答對9題的概率；答對的期望值。2某車間為保證設(shè)備正常工作，要配備適量的維修工。設(shè)各臺設(shè)備發(fā)生的故障是相互獨立的，且每臺設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01。試求：若由一個人負責(zé)維修20臺